数学模型第四版课后答案姜启源版

1、数学模型作业答案第二章 (1) （2012 年 12 月 21 日）1 学校共 1000 名学生， 235 人住在 A宿舍， 333 人住在 B宿舍， 432 人住在 C宿舍 .学生们要组织一个10 人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（ 1） . 按比例分配取整数的名额后 , 剩下的名额按惯例分给小数部分较大者 ;（ 2）. § 1 中的 Q值方法；（ 3） .d Hondt 方法：将 A、 B、 C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3, 相除，其商数如下表：12345A235117.578.358.75B333166.511183.25C43221614410886.4将所

2、得商数从大到小取前 10 个（ 10 为席位数） ，在数字下标以横线，表中A、 B、 C 行有横线的数分别为 2， 3， 5，这就是 3 个宿舍分配的席位 . 你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10 个人增至 15 人，用以上3 种方法再分配名额，将3 种方法两次分配的结果列表比较.解： 先考虑 N=10的分配方案，方法一（按比例分配）分配结果为：n13,n23,n34方法二（ Q值方法）9 个席位的分配结果（可用按比例分配）为：第 10 个席位：计算 Q值为Q3 最大，第10 个席位应给C.分配结果为n12,n23,n35方法三（ d Hondt 方法）此方法的分配结果为：n12,n23

3、,n35此方法的道理是： 记 pi 和 ni 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表 A、B、C 宿舍） . pi 是每席位代表的人数，取ni 1,2, 从而得到的 pi 中选较大者，可使对所nini有的 i , pi 尽量接近 .ni再考虑 N 15 的分配方案，类似地可得名额分配结果. 现将 3 种方法两次分配的结果列表如下：宿舍 （1）（ 2）（3） （ 1）（ 2）（ 3）322443333A45555BC566710101515总计10152 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型 .解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t. 其模型的假设见课本.

4、考虑 t 到 tt 时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt (r wkn)2 kdn,两边积分，得tn0vdt 2 k (r wkn)dn0数学模型作业解答第三章 1（2008 年 10 月 14 日）1. 在 3.1 节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用, 重新确定最优订货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少解：设购买单位重量货物的费用为k , 其它假设及符号约定同课本10对于不允许缺货模型，每天平均费用为：令 dC0，解得T *2c1dTc2 r由 QrT，得 Q2c1rrTc2与不考虑购货费的结果比较，

5、、的最优结果没有变2 0对于允许缺货模型，每天平均费用为：C0T令， 得到驻点：C0Q与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k ，销售速率为常数 r ， kr 在每个生产周期内，开始的一段时间0 tT0 一边生产一边销售，后来的一段时间 (T0 t T ) 只销售不生产，画出贮存量g(t ) 的图形 .设每次生产准备费为c1 ，单位时间每件产品贮存费为c2 ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论kr 和 kr 的情况 .解：由题意可得贮存量g(t) 的图形如下：nT(kr )T0T贮存费为c2limg(t) dtg( i ) tic2

6、0c22t 0i 1又(k r )T0r (T T0 )rOr ( kr )TTT0T ,贮存费变为c2k2k于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为dCc1c2r ( k r ).dTT 22k令 dC0 ,得 T2c1kdTc2 r (k r )易得函数 C (T )在 T 处 取得最小值，即最优周期为：2c1kTc2 r (k r )当kr 时，T2c1 .相当于不考虑生产的情况 .c2 r当 kr 时 ，T.此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章 2（2008 年 10 月 16 日）3 在 3.3 节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势

7、b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解： 考虑灭火速度与火势 b 有关，可知火势 b 越大，灭火速度将减小，我们作如下假设 :(b)k，b1分母 b 1中的 1是防止 b0时而加的 .c1t12c12 t12 (b1)c2t1 x(b1)3 x总费用函数 C x22(kxb)kxbc最优解为c1kb 22c2b(b1)(b1)(b1)x2c3 k 2k5 在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设q(t )q0t ，为增长率.又设单位时间的销售量为xabp( p为价格).今将销售期分为0tT 2和T2tT 两段，每段的价格固定，记作p1 , p2 .

8、求p1 , p2 的最优值，使销售期内的总利润最大. 如果要求销售期T内的总售量为Q0 ，再求 p1 , p2 的最优值 .解：按分段价格，单位时间内的销售量为又q(t )q0t . 于是总利润为=( a bp ) p t q tTTt22(a bp ) p t q tt211022202T02=( a bp1 )( p1T q0TT 2 )(a bp2 )( p2T q0 t 3 T 2 )228228令0,0 ,得到最优价格为 :p1p2在销售期 T 内的总销量为于是得到如下极值问题：利用拉格朗日乘数法，解得：即为 p1, p2 的最优值 .第三章 3（2008 年 10 月 21 日）6

9、. 某厂每天需要角钢 100 吨，不允许缺货 . 目前每 30 天定购一次，每次定购的费用为 2500 元. 每天每吨角钢的贮存费为 0.18 元 . 假设当贮存量降到零时订货立即到达 . 问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量 r=100( 吨 ); 每次订货费 c1 2500（元） ;每天每吨角钢的贮存费c2 0.18 （元） . 又现在的订货周期T 0 30（天）根据不允许缺货的贮存模型：C(T )c11 c2 rT krT225009T 100k得： C(T )T令 dC0 ，解得：T*250050dT93由实际意义知：当 T *50 （即订货周期为50

10、 ）时，总费用将最小 .33又C(T*)3 2500950100k 300 100k2500503C(T0 )9 30100k =353 33 100k30*) （ 353.33 100k）（100k） 25333.C (T0) C(T3003故应改变订货策略 . 改变后的订货策略 （周期）为 T* = 50 ，能节约费用约5333 元.3数学模型作业解答第四章（ 2008 年 10 月 28 日）1. 某厂生产甲、乙两种产品 , 一件甲产品用 A 原料 1 千克 , B 原料 5 千克；一件乙产品用 A原料 2千克,B原料 4千克. 现有 A原料 20千克,B原料 70千克. 甲、乙产品每件

11、售价分别为20 元和 30 元 . 问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品x 件 , 乙产品 y 件，相应的利润为S则此问题的数学模型为：max S=20x+30yx2y20s.t.5x4 y70x, y0, x, y Z这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线l1 ：x+2y=20,l 2 :5x+4y 70l 2y以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.直线l ： 20x+30y=c在可行域内l平行移动.易知：当l 过 l 1 与 l2 的交点时，l1xS 取最大值.由x5x2y4 y2070解得x10y5此时Sm ax 2010305 350（元）2. 某厂拟用集

12、装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：体积重量利润货物（立方米/ 箱）（百斤 /箱）（百元 /箱）甲5220乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24 立方米，重量不超过13 百斤 . 试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解 : 设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1 , x2 , 所获利润为z .则问题的数学模型可表示为这是一个整线性规划问题用图解法求解 .可行域为：由直线l 2 : 2x15x213及 x1.0, x20组成直线l : 20 x110x2c 在此凸四边形区域内平行移动.易知：当 l 过 l 1 与 l 2 的交点时，z

13、取最大值由 5x14x224解得x142x15x213x21zmax20410190 .3 某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉. 已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3 和2 个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2 和3 个单位, 所需工时分别为4 和2个单位. 若允许使用原料为100个单位, 工时为120 个单位 ,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6 台和12 台.试建立一个数学模型, 确定生产甲型、乙型微波炉的台数, 使获利润最大并求出最大利润 .解：设安排生产甲型微波炉x 件 , 乙型微波炉y 件 , 相应的利润为S.则此问题的数学模型为：max S=

14、3x +2y2x3y100s.t.4x2 y120x6, y12, x, y Z这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线l1 ： 2x+3y=100,l 2 :4x+2y 120及 x=6,y=12 组成的凸四边形区域 .直线 l ： 3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动.易知：当 l 过 l1 与 l 2 的交点时, S 取最大值 .由 2 x3y100解得4 x2 y120x 20 .y 20Sm ax 320220 100.数学模型作业解答第五章 1（2008 年 11 月 12 日）1. 对于 5.1 节传染病的 SIR 模型，证明：（ 1）若 s01 ,则 i (

15、t )先增加，在 s 1 处最大 ，然后减少并趋于零； s(t ) 单调减少至 s .（ 2） 若 s0 1 ,则 i (t )单调减少并趋于零， s(t)单调减少至 s .解：传染病的 SIR模型（ 14）可写成（1） 若 s01 . 由 s(t)单调减少 .s(t)s0 .（2） 若 s01 , 则 s t1 ,从而 s -10. di0.dta4 在 5.3 节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为4.b初始兵力 x0 与 y0 相同 .(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少 , 乙方取胜的时间如何确定 .(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援 , 重新建立模

16、型 , 讨论如何判断双方的胜负.解 : 用 x t , y t 表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数 , 则正规战争模型可近似表示为 :现求 (1) 的解 : (1)的系数矩阵为0aA0bx t2abt2abt .1的通解为C1 1eC2 1ey t再由初始条件，得又由 1 可得 dybx .dxay其解为ay 2bx 2k,而 kay02bx023(1) 当 x t1kay02bx02b30时， y t1ay0 1y0 .aa2即乙方取胜时的剩余兵力数为3 y0 .2又令x t1由（ ）得x0y0eabt1x0y0 eabt10.0,222注意到 x0y02 abt1x02 y0.e2abt

17、13,t1ln 3,得 ex0.2 y04b(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援 . 则由 4 得 dxay r ,即 bxdxaydy rdy . 相轨线为 ay 22ry bx 2k,dybx2bx 2r 2k ay022ry0bx.20或 a yrk.此相轨线比书图11 中的轨线上移了r.aaa2br 2r2乙方取胜的条件为 k0,亦即y0aax0a2 .第五章 2（2008 年 11 月 14 日）6. 模仿 5.4 节建立的二室模型来建立一室模型 （只有中心室） ，在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为）和口服或肌肉注射3 种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度

18、曲线的图形 .中心室C t , x t解 : 设给药速率为 f 0 t ,中心室药量为 x t ,血药浓度为 C t ,容积为 V ,(1) 快速静脉注射 :设给药量为 D 0 , 则 f 0 t 0,C 0D 0 ,解得 C tD 0 e kt .VV(2) 恒速静脉滴注 ( 持续时间为):设滴注速率为k0，则 f0 tk0 , C 00, 解得(3)口服或肌肉注射 :f 0 tk01 D 0 e k01 t 见 5.4节（13）式 ，解得3 种情况下的血药浓度曲线如下：(1)(2)(3)Ot第五章 3（2008 年 11 月 18 日）8. 在 5.5 节香烟过滤嘴模型中 ,(1)设 M8

19、00mg,l 180mm,l 220 mm, b0.02,0.08,50mm / s, a0.3求 Q和Q1 / Q2.(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟 , 参数同上 , 比较全部吸完和只吸到 l 1 处的情况下，进入人体毒物量的区别 .l2a / bl10.3 10 50 e解 Qaw0 v e v1 e va / b0.7 0.020.08200.70.0280501 e50229.857563(毫克 )其中 w0M / l1 10 ，aw0va 'bl(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟, 全部吸完的毒物量为vQ31 ea baw0 vbl 2a 'bl1只吸到 l1 处就扔

20、掉的情况下的毒物量为 Q4e v 1e va' b4 在 5.3 节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为a4.b初始兵力 x0 与 y0 相同 .(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少 , 乙方取胜的时间如何确定 .(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援 , 重新建立模型 , 讨论如何判断双方的胜负.解 : 用 x t , y t 表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数 , 则正规战争模型可近似表示为 :现求 (1) 的解 : (1)的系数矩阵为0aA0b1的通解为 x t2eabt2abt .y tC1 1C2 1 e再由初始条件，得又由 1 可得 dyb

21、x .dxay其解为ay 2bx 2k,而 kay02bx023(1) 当 x t1kay02bx02b30时， y t1ay0 1y0 .aa2即乙方取胜时的剩余兵力数为3 y0 .2又令x t1由（ ）得x0y0eabt1x0y0 eabt10.0,222注意到 x0y02 abt1x02 y0.e2abt13,t1ln 3,得 ex0.2 y04b(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援 . 则由 4 得 dxay r ,即 bxdxaydy rdy . 相轨线为 ay 22ry bx 2k,dybx2bx 2r 2k ay022ry0bx.20或 a yrk.此相轨线比书

22、图11 中的轨线上移了r.aaa2br 2r2乙方取胜的条件为 k0,亦即y0aax0a2 .数学模型作业解答第六章（ 2008 年 11 月 20 日）1. 在 6.1 节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h(1) 分别就 hrN / 4 ， hrN / 4 ， hrN / 4 这 3 种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况(2) 如何获得最大持续产量，其结果与6.1 节的产量模型有何不同解：设时刻 t 的渔场中鱼的数量为 x t ，则由题设条件知： x t 变化规律的数学模型为记 F (x)rx (1xh)N(1). 讨论渔场鱼量的平衡

23、点及其稳定性：由 F x 0 ，得 rx (1x ) h 0 N即rx 2rx h01Nr 24rhr (r4h)，NNN14h N(1) 的解为： x1, 2rN2当 hrN / 4 ，0 ，(1)无实根，此时无平衡点；当 hrN / 4，0，(1)有两个相等的实根，平衡点为x0N .2F ' ( x)r (1x )rxr2rx ， F ' ( x0 )0不能断定其稳定性 .NNN但 x x0及 xx0均有 F ( x)rx (1x )rN0，即 dx0 x0 不稳定；N4dt当 h rN / 4 ，0 时，得到两个平衡点：N14h NN14h Nx1rN，x2rN22易知：

24、 x1N， x2N， F ' (x1 )0， F ' ( x2 )022平衡点 x1不稳定，平衡点x2 稳定 .(2) 最大持续产量的数学模型为即 max h rx (1 x ) ，N易得 x0*N此时 hrN ，24但 x0*N 这个平衡点不稳定这是与 6.1节的产量模型不同之处2要获得最大持续产量，应使渔场鱼量xN ，且尽量接近 N ，但不能等于 N 2222. 与 Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：x' trx lnN 其中 r和 N的意义与 Logistic模型相同x设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h

25、Ex 讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm 及获得最大产量的捕捞强度Em 和渔场鱼量水平x0* 解： x t 变化规律的数学模型为记F (x)rx ln NExx0 ，得 rx ln NE 令 F xEx 0x0Ne r ， x0 x1平衡点为 x0, x1 .又F 'x r lnNE ， F ' x0r 0, F ' x1rx平衡点 xo 是稳定的，而平衡点x1 不稳定 .最大持续产量的数学模型为：E由前面的结果可得hENe rdhEENEdhdENe rre r ，令 dE0.0得最大产量的捕捞强度Em r 从而得到最大持续产量hm rN / e ，此

26、时渔场鱼量水平 x0* N e3设某渔场鱼量 x(t) ( 时刻 t 渔场中鱼的数量 ) 的自然增长规律为：dx(t )rx (1x )dtN其中 r 为固有增长率 , N 为环境容许的最大鱼量.而单位时间捕捞量为常数h .1 0 求渔场鱼量的平衡点, 并讨论其稳定性 ;2 0 试确定捕捞强度Em , 使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm , 求此时渔场鱼量水平 x0* .解：1 0 x(t) 变化规律的数学模型为dx (t)rx (1x )hdtN记 f ( x)rx (1x )h , 令 rx (1x )h0，即rx 2rx h0 - （ 1）NNN2 4rh4hN14h Nr， （ 1）

27、的解为： x1,2rNr (r)2NN 当0 时，（ 1）无实根，此时无平衡点； 当0 时，（ 1）有两个相等的实根，平衡点为x0N .x )rx2rx ， f ' ( x02f '(x)r (1r)0不能断定其稳定性 .NNNx )rN，即 dx但xx0及 xx0均有 f ( x)rx (100x0 不稳定；N4dt 当0时，得到两个平衡点：NN4hNN14h1rNx1rN，x222易知x1N，x2Nf' (1) 0，2022xf ' ( x )平衡点 x1 不稳定 ，平衡点 x2 稳定 .2 0 最大持续产量的数学模型为：max hs.t. f ( x)0即

28、 max hrx (1x ) ，易得 x0*N此时 hrN，但 x0*N 这个平衡点不稳N242定 .要获得最大持续产量，应使渔场鱼量xN , 且尽量接近 N , 但不能等于 N .222数学模型第七章作业（ 2008年 12月 4日）1对于 7.1 节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 k1时段的价格 yk 1 由第 k1和第 k 时段的数量 xk 1 和 xk 决定，如果仍设 xk 1 仍只取决于 yk ，给出稳定平衡的条件，并与7.1 节的结果进行比较 .2已知某商品在 k 时段的数量和价格分别为xk 和 yk ，其中

29、1 个时段相当于商品的一个生产周期 . 设该商品的需求函数和供应函数分别为ykf ( xk ) 和 xk 1 g( ykyk 1 ) . 试建立关2于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为xk 和yk ，其中1 个时段相当于商品的一个生产周期 . 设该商品的需求函数和供应函数分别为yk 1f ( xk 12xk) 和 xk 1g ( yk ). 试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.数学模型作业解答第七章（ 2008 年 12 月 4 日）2 对于 7.1 节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也

30、会影响到下一时段的价格，所以第k时段的价格yk 1由第 k1和第 k 时段的数量 xk 1 和 xk 决定，如果仍1设 xk 1 仍只取决于yk ，给出稳定平衡的条件，并与7.1 节的结果进行比较 .（2）若除了 yk 1 由 x k 1 和 xk 决定之外， x k 1 也由前两个时段的价格yk 和 yk 1 确定 .试分析稳定平衡的条件是否还会放宽 .解：（ 1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：在 P0 (x0 , y0 ) 点附近用直线来近似曲线f , h ，得到由（ 2）得xk 2x0( yk 1y0 )(3)（ 1）代入（ 3）得 xk 2 x0( xk 1xkx0 )2对应

31、齐次方程的特征方程为2 20()28特征根为1, 24当8 时，则有特征根在单位圆外，设8 ，则即平衡稳定的条件为2 与 P207 的结果一致 .（ 2）此时需求函数、供应函数在P0 ( x0 , y0 ) 处附近的直线近似表达式分别为：由（ 5）得，(xx)(y2yyk 1y0)(6)2 k 30k0将（ 4）代入（ 6），得对应齐次方程的特征方程为43220(7)代数方程（ 7）无正实根，且,不是（ 7）的根 . 设（ 7）的三个非零根2,4分别为 1, 2,3 ，则对（ 7）作变换：,则12其中 p1 (22 2 ), q1(8332 2)412412363qq 2p 33qq 2p 312()( )2( ) ()2323用卡丹公式：2w3q(q ) 2( p )3w2 3q( q ) 2( p ) 32232233w2 3q( q ) 2( p )3w3q( q ) 2( p ) 3223223其中 w1 i 3 ,2求出1,2 , 3 ，从而得到1 , 2 , 3 ，于是得到所有特征根1的条件 .2已知某商品在k 时段的数量和价格分别为xk 和 yk ，其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期 .设该商品的需求函数和供应函数分别为ykf ( xk ) 和xk 1g( ykyk 1 ) .试建立关于商品数