信号与系统第三章

1、FOURIER SERIES REPRESENTATION OF PERIODIC SIGNALS第第3章章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示Signals and Systems13.0 引言引言 Introduction v卷积和、卷积积分表示、分析卷积和、卷积积分表示、分析LTILTI系统是基于：系统是基于： 将信号表示成一组将信号表示成一组移位单位脉冲移位单位脉冲/ /冲激冲激的线的线性组合；性组合； 根据根据叠加性质叠加性质，LTILTI系统对任意一个由基本系统对任意一个由基本信号的线性组合而成的输入信号的响应等于系信号的线性组合而成的输入信号的响应等于系统对这些基本

2、信号单个响应的线性组合。统对这些基本信号单个响应的线性组合。23.1历史的回顾历史的回顾 （A Historical Perspective）任何科学理论任何科学理论, , 科学方法的建立都是经过许科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而得来的多人不懈的努力而得来的, , 其中有争论其中有争论, , 还有人还有人为之献出了生命。为之献出了生命。 历史的经验告诉我们历史的经验告诉我们, , 要想要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这

3、一理论时，有人折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。31748年欧拉研究年欧拉研究振动弦振动弦：(1)若某一时刻振动弦的形状是标准振动模式的线性组合，那若某一时刻振动弦的形状是标准振动模式的线性组合，那么在其后任何时刻，振动弦的形状都是这些振动模式的线么在其后任何时刻，振动弦的形状都是这些振动模式的线性组合；性组合；(2)在该线性组合中，后面时间的加权系数可以直接从前面时在该线性组合中，后面时间的加权系数可以直接从前面时间的加权系数导出

4、。间的加权系数导出。1753年，伯努利声称：年，伯努利声称：(1)一根弦的实际运动都可以用标准振荡模的线性组合来表示一根弦的实际运动都可以用标准振荡模的线性组合来表示;(2)但未从数学上深入探索下去，并且其想法也未得到广泛接受。但未从数学上深入探索下去，并且其想法也未得到广泛接受。欧拉本人也放弃了三角级数的想法。欧拉本人也放弃了三角级数的想法。拉格朗日强烈批评使用三角级数研究振动弦的主张，拉格朗日强烈批评使用三角级数研究振动弦的主张，其基于自己的信念：不可能用三角级数来表示一个其基于自己的信念：不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。具有间断点的函数。4v17681768年年3 3月月21

5、21日日生于法国；生于法国；v18071807年提出年提出“任何周期信号任何周期信号都可以用正弦函数的级数来都可以用正弦函数的级数来表示表示”；v拉格朗日反对发表；拉格朗日反对发表；v18221822年首次发表年首次发表“热的分析热的分析理论理论”；v18291829年狄里赫利第一个给出年狄里赫利第一个给出收敛条件；收敛条件；v2020世纪世纪6060年代，库利、图基年代，库利、图基发现发现FFTFFT算法。算法。傅里叶生平傅里叶生平176818305傅里叶的两个最重要的贡献傅里叶的两个最重要的贡献v“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和号的

6、加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点v“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点62. 具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。 1. 本身简单，且本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。系统对它的响应能简便得到。以使得系统对任意输入信号的响应有一个很方便的以使得系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表示式。表示式。v 基本信号单元必须满足两个要求：基本信号单元必须满足两个要求：3.2 LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应The R

7、esponse of LTI Systems to Complex Exponentials7由时域分析方法有由时域分析方法有:stenz( )h tste( )y tnzv 考查考查LTI系统对系统对复指数信号复指数信号 和和 的响应的响应nhnynkknkknkzzHzkhzkhzkhknxny)(stssttsesHdehedhedhtxty)()()()()()()(8 可见可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得系统对复指数信号的响应是很容易求得的。这说明的。这说明 和和 符合对基本单元信号的第一符合对基本单元信号的第一项要求。项要求。stenz特征函数特征函数 (Eigenfu

8、nction)和特征值和特征值(Eigenvalue)v 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的以一个常数，则称该信号是这个系统的 特征函数特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的应的 特征值特征值。特征函数特征函数特征值特征值9nzzHny)(stesHty)()(结论：结论：v 复指数函数复指数函数 、 是一切是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。 、 分别是分别是LTI系统与复指数信号相对应的特系统与复指数信号相对应的特征值。征值。stenz(

9、)H s( )H zkkzkhzH)(nkknkknkzzHzkhzkhzkhknxny)(stssttsesHdehedhedhtxty)()()()()()()(dehsHs)()(10利用系统的齐次性与叠加性利用系统的齐次性与叠加性同理同理：tskkkkesHaty)()(tskkkeatx)(即：即：tststsesHaesHaesHatytx321)()()()()(332211所以有所以有111( )s ts teH s e222()s ts teH s e333( )s ts teH s e由于由于对时域的任何一个信号对时域的任何一个信号 或者或者 , ,若能将若能将其表示为下列

10、形式：其表示为下列形式：( )x ttststseaeaeatx321321)(nxknkkzanxknkkkzzHany)(11例例. 对对LTI系统系统 ，当输入如下时，当输入如下时 ) 3()(txtytjetx2)(分别求其特征函数和特征值。分别求其特征函数和特征值。)7cos()4cos()(tttx(1)(2)12* *问题：问题： 究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？性组合来表示？131. 1. 下面几节对下面几节对周期信号周期信号来研究：先连续后离散；来研究：先连续后离散；2. 2. 第第4 4、5 5章推广到章推广到非

11、周期信号非周期信号；3. 3. 连续时间下取连续时间下取s=j,s=j,离散时间下取离散时间下取z=ez=ejj 。Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，一一. 连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数 (周期信号周期信号) 成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集: ，其中每个信号都是以，其中每个信号都是以 为周期的，它们的公共周期为为周期的，它们

12、的公共周期为 ，且该集合，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。中所有的信号都是彼此独立的。 0( )jktkte02k020, 1, 2,k 14 时，分别为常数、基波分量时，分别为常数、基波分量( (一次谐波分量一次谐波分量) )、二次谐波分量，、二次谐波分量，N N次谐波分量。次谐波分量。 显然显然 也是以也是以 为周期的为周期的。该级数就是。该级数就是 傅里叶级数傅里叶级数 , , 称为傅立叶级数的系数称为傅立叶级数的系数 。 02( )x tka0( ),0, 1, 2jktkkx ta ek有有傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数Nk,.,2, 1, 0 这表明用傅里

13、叶级数可以表示连续时间周期信号，这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即即: : 连续时间周期信号连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐可以分解成无数多个复指数谐波分量波分量。15例例2 2：00( )cos2cos3x ttt00003312jtjtjtjteeee显然该信号中，有两个谐波分量，显然该信号中，有两个谐波分量， 为相应为相应分量的加权因子分量的加权因子即傅立叶级系数即傅立叶级系数112a在该信号中，有四个谐波分量，即在该信号中，有四个谐波分量，即, 3, 1 k时对应的谐波分量。时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以连续时间周期信号可以

14、按傅里叶按傅里叶级数级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。例例1 1：0( )cosx tt001122jtjtee160( ),0, 1, 2jktkkx ta ek二二. .频谱频谱（Spectral）的概念的概念 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度幅度，用，用线段的位置表示相应的线段的位置表示相应的频率频率。t( )kt 信号集信

15、号集 中的每一个信号，除了成谐波关中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间系外，每个信号随时间 的变化规律都是一样的，的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。差别仅仅是频率不同。170( )jktkte0( ),0, 1, 2jktkkx ta ek01分量分量 可表示为可表示为0jte 因此，当把周期信号因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数表示为傅里叶级数 时时，就可以将就可以将 表示为表示为( )x t( )x t0( )jktkkx ta e这样绘出的图这样绘出的图称为称为频谱图频谱图1212000000a1a2a3a3a2a1a0001cos()2jtjttee表示为表示为频

16、谱图频谱图18 频谱图其实就是将频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，随频率的分布表示出来，即即 的关系。由于的关系。由于信号的频谱完全代表了信号的频谱完全代表了信号信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为这种表示信号的方法称为频域表示法频域表示法 。kaka三.傅里叶级数的其它形式傅里叶级数的其它形式 0000*( )jktjktjktjktkkkkkkkkx ta ea ea ea ekkaa或或*kkaa 若若 是是实信号实信号, ,则有则有)()(txtx，于是，于是( )x t频域表示法频域表示法1910)(00ktj

17、kktjkkeaeaatx推导傅里叶级数的另一种形式：推导傅里叶级数的另一种形式：以以 取代取代*kaka1*0)(00ktjkktjkkeaeaatx由于括号内两项互为共轭由于括号内两项互为共轭1002)(ktjkkeaeatxkjkkeAa将将 以极坐标表示以极坐标表示ka1001)(0)cos(22)(0kkkktkjktkAaeAeatxk傅里叶级数的傅里叶级数的三角函数表示式三角函数表示式200( ),0, 1, 2jktkkx ta ekkkkaBjC 若令若令则则00101( )()()jktjktkkkkkkx taBjC eBjC e0001()()jktjktkkkkkaB

18、jCeBjCekkkkBjCBjC因此因此kkBBkkCC0001( )()()jktjktkkkkkx taBjCeBjCe00012cossinkkkaBktCkt傅里叶级数的另一种傅里叶级数的另一种三角函数表示式三角函数表示式21*kkaa22四四. .连续时间傅里叶级系数的确定连续时间傅里叶级系数的确定00()( )jntj k ntkkx t ea e对两边同时在一个周期内积分，有对两边同时在一个周期内积分，有0000()00( )TTjntj kntkkx t edtaedt0( ),jktkkx ta e002T( )x t则有则有如果周期信号如果周期信号 可以表示为傅里叶级数可

19、以表示为傅里叶级数230000()00000cos()sin()TTTj k ntedtkntdtjkntdt0000( )Tjntnx t edta T00001( )Tjntnax t edtT即即00,Tknkn 在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为0001( )jktkTax t edtT0001( )Tax t dtT是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a240( ),0, 1, 2jktkkx ta

20、 ek0001( )jktkTax t edtT综合公式综合公式分析公式分析公式250( ),0, 1, 2jktkkx ta ek0001( )jktkTax t edtT习题：确定下列信号的傅里叶级系数。习题：确定下列信号的傅里叶级系数。(1) (1) ttx0sin)(2) (2) )42cos(cos2sin1)(000ttttx公式：公式：26ktjkkeatx0)(10T0Tt( )x t五五. .周期性矩形脉冲信号的频谱周期性矩形脉冲信号的频谱1001110 100 00 02sin11Tjktjkt TkTTkTaedteTjkTkT 101111010010002sin222

21、Sa()sinc()TkTTTTkTkTkTTTTsinSa( )xxxsinsinc( )xxx其中其中占空比占空比27 0001( )jktkTax t edtT 根据根据 可绘出可绘出 的频谱图。见课本图的频谱图。见课本图3.73.7ka( )x t0( )Sa x1x0121sin ( )c x1x1sinSa( )xxxsinsinc( )xxx2810212TT10214TT10218TT不变不变 时时0T1T 考查周期考查周期 和脉冲宽度和脉冲宽度 改变时改变时频谱频谱的变化：的变化：0T12T 当当 改变，改变， 不变时，随不变时，随 占空比减小，占空比减小，幅度下降，幅度下降

22、，谱线间隔不变谱线间隔不变。频谱的包络主瓣变宽频谱的包络主瓣变宽, ,包络改变包络改变。主瓣。主瓣内包含的谐波数量也增加。内包含的谐波数量也增加。1T 0T1T29横坐标是横坐标是10212TT10214TT10218TT1T不变不变 时时0T 当当 不变，改变不变，改变 时，随时，随 占空比减小，占空比减小，幅度下降，幅度下降，谱线间隔变小谱线间隔变小。但。但频谱包络的形状不变频谱包络的形状不变，包络主瓣内包，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。含的谐波分量数增加。1T0T 0T303.4 连续时间傅里叶级数的收敛连续时间傅里叶级数的收敛 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍这一节来研究用傅

23、氏级数表示周期信号的普遍性问题，即性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数傅里叶级数。一一. . 傅里叶级数是对信号的最佳近似傅里叶级数是对信号的最佳近似若若 以以 为周期为周期0( )jktkkx ta e002T( )x t0T用有限个谐波分量近似用有限个谐波分量近似 时，有时，有( )x t0( )NjktNkkNxta eConvergence of the Fourier series31误差为误差为( )( )( )NNe tx tx t 以以均方误差均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为作为衡量误差的准则，其均方误差为00220011

24、( )( )( )( )NNNTTEtetdtx txtdtTT000*01( )( )NNjktjktkkTkNkNx ta ex ta edtT 结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对周是对周期信号的最佳近似。期信号的最佳近似。N趋于无穷大时，趋于无穷大时，EN极限为零。极限为零。 在均方误差最小的准则下，可以证明，此时在均方误差最小的准则下，可以证明，此时应满足：应满足：ka0001( )jktkTax t edtT这就是傅氏级数的系数这就是傅氏级数的系数 0001( )jktkTax t edtT二二. . 傅里叶级数的收敛傅里叶级数的收敛

25、傅里叶级数收敛的两层含义傅里叶级数收敛的两层含义： 是否存在是否存在? ? 级数是否收敛于级数是否收敛于 ? ?( )x tka 两组条件：两组条件： 1.平方可积条件：平方可积条件： 如果如果 则则 必存在。必存在。 在在一个周期内一个周期内能量能量有限有限， 一定存在。一定存在。02( )Tx tdt ka0001( )jktkTax t edtT0( ),jktkkx ta e)(txka33x(t)x(t)什么时候才确实具有一个傅里叶级数表示？什么时候才确实具有一个傅里叶级数表示？ 2. Dirichlet(狄里赫利狄里赫利)条件：条件： ，在任何周期内信号，在任何周期内信号绝对可积绝

26、对可积。 在任何有限区间内，只有在任何有限区间内，只有有限个极值有限个极值(最大、最最大、最小值小值)点，且极值为有限值点，且极值为有限值。 在任何有限区间内在任何有限区间内只有有限个不连续点，且在不只有有限个不连续点，且在不连续点上函数值为有限值，取不连续点处平均值连续点上函数值为有限值，取不连续点处平均值。0( )Tx tdt 0000011( )( )jktkTTax t edtx t dtTT 因此，信号绝对可积就保证了因此，信号绝对可积就保证了 的存在。的存在。ka0001( )jktkTax t edtT34这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数这两组条件并不完全等价。它们都是

27、傅里叶级数收敛的收敛的充分条件充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性有相当的普遍适用性。几个不满足几个不满足Dirichlet条件的信号条件的信号3536三三. .Gibbs (吉伯斯吉伯斯)现象现象 满足满足 Dirichlet 条件条件的信号，其傅里叶级数是如的信号，其傅里叶级数是如何收敛于何收敛于 的。特别当的。特别当 具有间断点时，在间具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于断点附近，如何收敛于 ? ? 1898 1898年，美国米切尔森做了一台谐波分析

28、仪。年，美国米切尔森做了一台谐波分析仪。( )x t( )x t( )x t371N 3N 7N 19N 38100N 39 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的在间断点附近不可避免的会会出现出现振荡和超量振荡和超量。超。超量的量的幅度幅度不会随所取项数的增加而减小，只是随不会随所取项数的增加而减小，只是随着项数的增多，振荡着项数的增多，振荡频率频率变高，并向间断点处压变高，并向间断点处压缩，从而使它缩，从而使它所占有的能量减少所占有的能量减少。Gibbs现象表明：现象表明：40Properties of Continuous-

29、Time Fourier Series3.5 连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。行级数展开。一一. . 线性：线性：若若 和和 都是都是以以 为周期为周期的信号，且的信号，且( )Fkx ta ( )Fky tb ( )x t( )y tT则则( )( )FkkAx tBy tAaBb 41 线性性可以推广到具有相同周期的任意多线性性可以推广到具有相同周期的任意多个信号的线性组合中去。个信号的线性组合中去。二二. .时移时移: :三三. .反转反转: :0 00()jktFkx tta

30、 e ( )Fkx ta 若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tT则则02T若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tT( )Fkx ta 则则()Fkxta 四四. .尺度变换尺度变换: : 若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tT( )Fkx ta 则则 以以 为周期，于是为周期，于是()x at/T a0/()()jkatFkTaax atbx at edtT 42 0001( )jktkTax t edtTP104P105令令 ，当，当 在在 变化时，变化时， 从从 变化，变化，att0 /T a0T于是有：于是有：01(

31、)jkkkTbxedaT ( )Fkkx atba 43 0001( )jktkTax t edtT0/()()jkatFkTaax atbx at edtT 虽系数未变，但基波频率变化，故傅里叶级数改变！虽系数未变，但基波频率变化，故傅里叶级数改变！五五. 相乘相乘: 若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )Fkx ta ( )Fky tb ( )x t( )y tT则则01( )( )( ) ( )jktFkTx ty tCx t y t edtT g001( )jltjktklTlCa ey t edtTg也即也即 ktjkkeatx0)(0()1( )j k l

32、tkllk lTllCay t edta bT( ) ( )Flk lkklx t y ta bab 六六. .共轭对称性共轭对称性: :若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tT( )Fkx ta 则则katx)(由此可推得，由此可推得，对实信号有对实信号有： 或或kkaakkaakjkkaA e时有：时有：kkkkAA 当当kkkaBjC时有：时有：kkkkBBCC 当当44001( )jltjktklTlCa ey t edtTg 0001( )jktkTax t edtT七七. .Parseval (帕斯瓦尔帕斯瓦尔) 定理：定理：kkTadttxT22)(1表明：

33、表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波谐波分量分量的平均功率之和的平均功率之和. .* * 掌握表掌握表3.145左边：周期信号左边：周期信号x(t)x(t)在一个周期内的平均功率；在一个周期内的平均功率；右边：右边：222110kTkTtjkkadtaTdteaT为第为第k k次谐波平均功率。次谐波平均功率。习题：求下列信号的傅里叶级数系数。习题：求下列信号的傅里叶级数系数。例例1kkTttx)()(-T1tT0)(tx)(tg101T1T-TTt例例2：周期性矩形脉冲：周期性矩形脉冲46例例1：kkTttx)()(-T1tT0)(tx0/2/211(

34、 )TjktkTat edtTT01( )jktkx teT02T)(tg101T1T-TTt例例2：周期性矩形脉冲：周期性矩形脉冲将其将其微分后微分后，可，可利用例利用例1表示表示为为47 0001( )jktkTax t edtTktjkkeatx0)(设设( )( )FFkkg tcg tb 0kkbjkc根据时移特性根据时移特性0 10 10 12sinjkTjkTkkkbaeejakT由例由例1知知1/kaT02 /T0 10 11000 12sinsin2kkbkTkTTcjkkTTkT( )g t 1t01T1T1TT1TT)()()(11TtxTtxtg由时域微分性质由时域微分

35、性质48-T1tT0)(txFourier Series Representation of Discrete-Time Periodic Signals一一. .离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数（DFS） Discrete-Time Fourier Series 考察成谐波关系的复指数信号集考察成谐波关系的复指数信号集: : 该信号集中每一个信号都以该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中为周期，且该集合中只有只有 个信号是彼此独立的个信号是彼此独立的。 NN3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示2knNjken492)/2()/2)(neeenkn

36、jnNjknNNkjNk 这个级数就称为这个级数就称为离散时间傅里叶级数（离散时间傅里叶级数（DFS），其中其中 称为傅里叶级系数，也称为周期信号称为傅里叶级系数，也称为周期信号 的频谱。的频谱。ka二二. . 傅里叶级系数的确定傅里叶级系数的确定给给 两边同乘以两边同乘以 ，得：，得：2jrnNe 将这将这 个独立的信号线性组合起来，一定能表个独立的信号线性组合起来，一定能表 示一个以示一个以 为周期的序列。即：为周期的序列。即：其中其中 为为 个相连的整数个相连的整数NNNkNkknNjkeanx2nxNkknNjkeanx250 仍是以仍是以 为周期的，对为周期的，对两边求和两边求和NN

37、knrkNjkrnNjeaenx)(22rnNjenx2 NnnrkNjNkkNnNknrkNjkNnrnNjeaeaenx)(2)(22kNNkNeNnnNjk其余0,.2, 0251NkknNjkeanx2即即或或 显然上式满足显然上式满足 ，即，即 也是以也是以 为周为周期的期的，或者说，或者说 中只有中只有 个是独立的个是独立的。kNkaakakaNNNnrnNjrenxNa21NnknNjkenxNa21rNnrnNjNaenx2NnnNjkNnnjkkenxNenxNa2110NknNjkkNknjkkeaeanx2052对实信号同样有对实信号同样有：kkaa习题：习题： 如下信号

38、，周期为如下信号，周期为N，求其傅里叶级系数及，求其傅里叶级系数及傅里叶级数。傅里叶级数。)24cos()2cos(3)2sin(1nNnNnNnx 对实周期序列的离散时间傅里叶级数，可有与对实周期序列的离散时间傅里叶级数，可有与连续时间傅里叶级数式连续时间傅里叶级数式3.31和式和式3.32相类似的两种等相类似的两种等效表达形式。效表达形式。53nnx0sin（1）（2）P1131001)(0)cos(22)(0kkkktkjktkAaeAeatxk0001( )()()jktjktkkkkkx taBjCeBjCe00012cossinkkkaBktCkt54 三三. .周期性方波序列的频

39、谱周期性方波序列的频谱112121()()221jkjkNjkNNNNjkjkjkNNNeeeNeee211112(1)22111jkNNjNkNNjknNkjknNNeeaeNNe55NnnNjkNnnjkkenxNenxNa2110 显然显然 的包络具有的包络具有 的形状。的形状。kasinsinxx121kNaNkrN时时1sin(21)1sinkNNNkN0, 2 ,kNN56kk1220NN1210NN周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱u 当当 不变、不变、 时，频谱的时，频谱的包络形状不变包络形状不变，只是只是幅度减小，谱线间隔变小，主瓣所含谐波数幅度减小，谱线间隔变小，主瓣

40、所含谐波数增加增加。1NN 57kk1110NN1210NN周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱u当当 、 不变时，不变时，包络的第一个零点会远离包络的第一个零点会远离原点从而使原点从而使频谱主瓣变宽，主瓣所含谐波数增加频谱主瓣变宽，主瓣所含谐波数增加 。这一点与连续时间周期矩形这一点与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。脉冲的情况类似。N1N 58三三. . DFS的收敛的收敛 DFS 是一个有限项的级数，确定是一个有限项的级数，确定 的关系的关系式也是有限项的和式，因而式也是有限项的和式，因而不不存在收敛问题存在收敛问题，也也不会产生不会产生Gibbs(吉伯斯吉伯斯)现象现象。ka59 由

41、于任何离散时间周期序列由于任何离散时间周期序列xnxn完全是由有限完全是由有限个（即一个周期内的个（即一个周期内的N N个序列值）参量来表征的。个序列值）参量来表征的。1. 相乘相乘 2. 差分差分周期卷积周期卷积Properties of Discrete-Time Fourier Series 3.7 DFS的性质的性质 DFS有许多性质，且与连续时间傅里叶级数性质有许多性质，且与连续时间傅里叶级数性质之间存在很大相似性，但这里只选几个有重要差别之间存在很大相似性，但这里只选几个有重要差别的加以讨论。的加以讨论。kDFSanxkDFSbnyNllklkDFSbacnynxkDFSanxkn

42、jDFSaennxnx)1 (00非周期卷积：非周期卷积：求和变量从求和变量从 到到 的这种卷积和形式。的这种卷积和形式。60求一次差分级系数比求原级系数容易时常用此性质。求一次差分级系数比求原级系数容易时常用此性质。3. Paseval(帕斯瓦尔帕斯瓦尔)定理定理左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。信号的各次谐波的总功率。 这表明：这表明：一个周期信号的平均功率等于它的所一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。有谐波分量的功率之和。也表明：也表明：周期信号的功率既可以由时域求得，也周期信号的功率既可以由时域求得

43、，也可以由频域求得。可以由频域求得。kDFSanxNkkDFSNnanxN22161621. P118 掌握表掌握表3.2。2. P120-122 例题。例题。633.8 傅里叶级数与傅里叶级数与LTI系统系统Fourier Series and LTI Systems 傅里叶级数表示可以用来构造任何离散时间周期傅里叶级数表示可以用来构造任何离散时间周期信号，以及在实际上具有重要意义的几乎所有连续信号，以及在实际上具有重要意义的几乎所有连续时间周期信号。时间周期信号。 LTI系系统对一组复指数信号的线性组合的响应具统对一组复指数信号的线性组合的响应具有特别简单的形式，对复指数信号所起的作用只是

44、有特别简单的形式，对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。给输入信号加权了一个相应的特征值。64( )( )stH sh t edt对连续时间系统对连续时间系统对离散时间系统对离散时间系统、 被被称称为系统的为系统的系统函数系统函数。( )H s( )H znnznhzH)(nkknkknkzzHzkhzkhzkhknxny)(stssttsesHdehedhedhtxty)()()()()()()(65 (1)如果如果sj则则()( )j tH jh t edt()H j被称为被称为连续连续时间时间LTI系统的系统的频率响应频率响应(2)如果如果jze则则()jH e称为

45、称为离散离散时间时间LTI系统的系统的频率响应频率响应如果一个如果一个LTI系统系统输入周期性信号输入周期性信号 或或 ( )x t0( )jktkkx ta e02TnnjjenheH)(nx( )( )stH sh t edt6600( )()jktkky ta Hjke则则* * 可见，可见，LTI系统对周期信号的响应仍是一个周系统对周期信号的响应仍是一个周期信号，期信号，LTI系统的作用是对各个谐波频率的信系统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行号分量进行不同的加权不同的加权处理。处理。NkknNjkeanx2NkknNjkNjkeeHany22)(67习题：习题：某离散时间某离散时间

46、LTI系统，系统， 输入为输入为 ，求输出，求输出 。11,nnhn)2cos(nNnxny68习题：习题：某离散时间某离散时间LTI系统，系统， 输入为输入为 ，求输出，求输出 。2111aa即：即：11,nnhn)2cos(nNnxny2122nNjnNjeenxkNjknNjnnknNjnkNjeeenheH2202211692()jkNkkba H e由由121/21jNbe121/21jNbe得得221()1jNjNH ee221()1jNjNH ee12kknNjkebnykNjkNjeeH2211703.9 理想频率选择性滤波器理想频率选择性滤波器1.1.频率成形滤波器（改变各分

47、量的幅度与相位）频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位）2.2.频率选择性滤波器（去除某些频率分量）频率选择性滤波器（去除某些频率分量）The Ideal Frequency-Selective Filters一一. . 滤波滤波 通过系统通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚，甚至至完全去除某些频率分量完全去除某些频率分量的过程称为的过程称为滤波滤波。滤波器可分为两大类：滤波器可分为两大类：71二二. . 理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性 理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）理想频率选择性滤波器的频率特性在

48、某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。零。理想滤波器可分为理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。低通、高通、带通、带阻。 滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带通带（pass band ），完全不允许信号通过的频段称为，完全不允许信号通过的频段称为阻带阻带（stop band）。72连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性低通低通cc01高通高通cc01带阻带阻011122带通带通01112273离散时间离散时间理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性高通高通 - - 1cc2c 低通低通2 2 1- - cc2c 带通带通 - - 0 011122带阻带阻 - - 1112274 各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。各种滤波器的特性都可以