信号与系统 郑君里 第三版_课件

1、信号与系统第一章 绪论2022-3-141信号与系统课程简介1 1、课程地位、课程地位 信号与系统课程是各高等院校电子信息工程及通信工程等信号与系统课程是各高等院校电子信息工程及通信工程等专业的一门重要的基础课程和主干课程。该课程也是通信与信息系统专业的一门重要的基础课程和主干课程。该课程也是通信与信息系统以及信号与信息处理等专业研究生入学考试的必考课程。以及信号与信息处理等专业研究生入学考试的必考课程。 2 2、主要研究的内容及实验安排、主要研究的内容及实验安排 该课程主要讨论确定性信号和线性时不变系统的基本概念与基该课程主要讨论确定性信号和线性时不变系统的基本概念与基本理论、信号的频谱分析

2、，以及研究确定性信号经线性时不变系统传本理论、信号的频谱分析，以及研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本分析方法。从连续到离散、从时域到变换域、从输入输与处理的基本分析方法。从连续到离散、从时域到变换域、从输入输出分析到状态变量分析，共八章。输出分析到状态变量分析，共八章。 2022-3-1421、信号与系统（第三版） 郑君里 高等教育出版社参考书目2、Signals & Systems (Second edition) Alanv.Oppenheim 清华大学出版社2022-3-143第1章 信号与系统基本概念1.6 线性时不变系统分析方法概述1.1 引论1.2 信号分类和典

3、型信号1.3 信号的运算1.4 信号的分解1.5 系统模型及其分类2022-3-144 1.1 1.1 引论引论信号：一种物理量（电、光、声）的变化。消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号， 如语言、文字、图像、数据等。信息：所接收到的消息中获取的未知内容，即传输的信号是带有信息的。电信号：与消息（语言、文字、图像、数据）相对应的变化的电流或 电压，或电容上的电荷、电感中的磁通等。2022-3-145系统：系统：一组相互有联系的事物并具有特定功能的整体。一组相互有联系的事物并具有特定功能的整体。 系统可分为物理系统和非物理系统。如：电路系统、通信系统、自动控制系统、机械系统、光学

4、系统等属于物理系统；而生物系统、政治体制系统、经济结构系统、交通系统、气象系统等属于非物理系统 。 每个系统都有各自的数学模型。两个不同的系统可能有相同的数学模型，甚至物理系统与非物理系统也可能有相同的数学模型。将数学模型相同的系统称为相似系统。 2022-3-146积分器：积分器：vi(t)vo(t)RC 电视系统：电视系统：变换器发射机消息接收机变换器黑 灰（图像）（摄像机）信道（空间）（显像管）消息黑白灰（图像）白vo(t)vi(t)RC微分器：微分器：2022-3-1471.2 信号分类和典型信号对于各种信号，可以从不同角度进行分类。1 1、确定性信号与随机性信号、确定性信号与随机性信

5、号 对于确定的时刻，信号有确定的数值与之对应，这样的信号称为 确定性信号。不可预知的信号称为随机信号。2 2、周期信号与非周期信号、周期信号与非周期信号 在规则信号中又可分为周期信号与非周期信号。所谓周期信号就是依一定时间间隔周而复始，而且是无始无终的信号。时间上不满足周而复始特性的信号称为非周期信号。1.2.1 1.2.1 信号的分类信号的分类2022-3-1483 3、连续时间信号与离散时间信号、连续时间信号与离散时间信号 如果在所讨论的时间间隔内，对于任意时间值（除若干不连续点外），都可给出确定的函数值，这样的信号称为连续时间信号。 在时间的离散点上信号才有值与之对应，其它时间无定义，这

6、样的信号称为离散时间信号。2022-3-1494 4 特殊形式特殊形式数字信号：时间不连续、幅度连续离散信号：时间不连续、幅度号也不连续采样信 一、指数信号 指数信号的表达式为 ( )tftK et0(0)tKe)(tf(0)tKe(0)tKeK2022-3-14101.2.2 典型信号正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差 ，统称为正弦信号，一般写作2( )sin()ftKtKf(t)tT2cossinj tetjtcossinj tetjt)(21sintjtjeejt)(21costjtjeet2022-3-1411二、正弦信号三、复指数信号三、复指数信号 如果指数信号的指数因子为一复数，

7、则称为复指数信号，其表示式为()( )cossinstjtttf tKeKeKetjKet四、四、Sa(t)函数（抽样函数）函数（抽样函数） 所谓抽样函数是指sin t与 t 之比构成的函数，以符号Sa(t)表示tttsin)(Sa)(Sa tt2212022-3-1412 tSa 的性质： tSa （1） 是偶函数，在 t 正负两方向振幅都逐渐衰减。Sa( ) t dt0Sa( )2t dt （2） )(Sa tt2212022-3-1413 在信号与系统分析中，经常要遇到函数本身有不连续点或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇异函数或奇异信号。一、单位斜变信号一、单位斜变信号)0

8、( ,)(tttR)( ,)(000ttttttR11t0R(t)1t0t0R(t-t0)t0+1 斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。其表示式为 1.2.3 奇异信号奇异信号2022-3-1414二、单位阶跃信号二、单位阶跃信号)(tu)0(,0t)0( , 1t1t0u(t)2022-3-1415如果开关S在t = t0 时闭合，则电容上的电压为u(t - t0) 。波形如下图所示：u（t- t0 ）t01t0解：解：由于S、E、C 都是理想元件，所以，回路无内阻，当S 闭合后，C上的电压会产生跳变，从而形成阶跃电压。即：)(0100)(tutttvc例：图中假设例：图中假

9、设S S、E E、C C 都是理想元件（内阻为都是理想元件（内阻为0 0），），当当 t t = 0 = 0 时时S S闭合，求电容闭合，求电容C C上的电压。上的电压。CSE=1V+-)(tvc2022-3-1416工程实例 u(t)的性质的性质：单边特性，即：0)(00)()(ttfttutf 某些脉冲信号可以用阶跃信号来表示。2022-3-1417例例1：Et2)(tG212( )( )( ) ()()22G tf tf tE u tu t所以，矩形脉冲G(t)可表示为因为1( )(),2f tEu t),2()(2tEutf2Et)(1tftE)(2tf22022-3-1418( )

10、( )(1)f tt u tu t或： 1)sgn(21)(ttu例例2：f(t)011t011t)(1tf011t)(2tf例例3：利用阶跃信号来表示利用阶跃信号来表示“符号函数符号函数”（signum）sgn(t)01-1t2022-3-14192 ( ) 1u t10sgn( )10ttt2三、单位冲激信号三、单位冲激信号( ) tt0)(tvc10 我们先从物理概念上理解如何产生冲激函数)(t(1)()(tti0t( )( )Cdvti tCdt例：例：图中假设S、E、C都是理 想元件（内阻为0），当 t = 0时S闭合，求回路电流i（t）。C=1Fi(t)SE=1V22t01i(t)

11、演示2022-3-14201. 的定义方法的定义方法)(t（1）用表达式定义( )0 (0)( )1ttt dt 这种定义方式是狄拉克提出来的，因此， 又称为狄拉克（Dirac）函数。)(t 同理可以定义 ，即)(0tt 1)()(0)(000dttttttt0（1）t)(0tt 0t（1）)(tt02022-3-1421(2) 用极限定义用极限定义(t)t(1)t212442001( )lim ()()22tu tu t)(t我们可以用各种规则函数系列求极限的方法来定义 。例如例如:（a）用矩形脉冲取极限定义用矩形脉冲取极限定义演示2022-3-1422（b）用三角脉冲取极限定义用三角脉冲取

12、极限定义t(1)(t)001( )lim(1) ()()ttu tu tt1演示2022-3-14232222. 2. 冲激函数的性质冲激函数的性质)4()()()(00tfdttftt)3()()()()(000tttftttf( ) ( )(0) ( )(1)f ttftdttfdttft)()0()()(综合式（2）和式（4），可得出如下结论： 冲激函数可以把冲激所在位置处的函数值抽取（筛选）出来。冲激函数可以把冲激所在位置处的函数值抽取（筛选）出来。（1）取样特性）取样特性)2()0(f)(tf)0(f)(t) 1 ( ) 1 ()0(f)()0(tf2022-3-1424)(t（2）

13、 是偶函数，即 )()(tt（3）( )td 00()()tt du tt )()(ttudtd00()()du ttttdt（1）)(tt01t0u(t)u(t)与 的关系：)(t0010tt)(tu( )td )()(00ttudtt)(tu2022-3-1425例：例：00() (2 )tt u tt dt000010tt0 ( )()jtetttdt四、冲激偶函数四、冲激偶函数 冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）将呈现冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）将呈现 正、负极正、负极性的一对冲激，称为冲激偶函数，以性的一对冲激，称为冲激偶函数，以 表示。表示。)(t0001jtjtjttt

14、 teee 000(2 )()t tu ttut2022-3-1426)(tt0)(tt（1）0t1)(ts0dttds )(21210t002022-3-1427冲击偶的形成)()()(00tfdttftt)()(tt （1）冲激偶是奇函数，即( ) ( )(0)t f t dtf （2）（3） 0)(dtt 冲激偶的性质冲激偶的性质2022-3-1428积分积分积分求导求导求导)(tt00)(tt(1)(ttu)(tu)(t)(t 、 、 和 之间的关系：)(ttu0t)(tu01t2022-3-14291.3 信号的运算信号的运算 两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意时刻的值等于

15、两信号在该时刻的值之和（或差），即12( )( )( )f tf tf t12( )( )( )f tf tf t或 两个信号的积仍然是一个信号，它在任意时刻的值等于两信号在该时刻的值之积，即)()()(21tftftf( )( )f tKf t1.3.1 信号的相加运算信号的相加运算1.3.2 信号的乘法和数乘运算信号的乘法和数乘运算 信号的数乘运算是指某信号乘以一实常数K，它是将原信号每一时刻的值都乘以K ，即2022-3-14301.3.3 信号的反褶、时移、尺度变换运算信号的反褶、时移、尺度变换运算 （1）反褶运算）反褶运算( )()f tft以以 t = 0为轴反褶为轴反褶f(t)t

16、-111f(-t)t-111 （2）时移运算）时移运算)()(0ttftft00时，时，f(t)在在 t 轴上整体右移轴上整体右移t00时，时，f(t)在在 t 轴上整体左移轴上整体左移2022-3-1431t0f(t)11t0f(t-t0)1t0t0 +10tf(t+t0)1-t0-t0 +1 （3）尺度变换运算）尺度变换运算)2()(tftf 压缩压缩 扩展扩展)2()(tftf-1 0 1tf(t)1f(2t)-1/2 0 1/2t1 -2 0 2t1)2(tf2022-3-1432解法一：先求表达式再画波形。解法一：先求表达式再画波形。231220( 22)102210221221tt

17、ftttt 及110( )101011ttf tttt 及)(tf11t例例1-7：信号如下图所示，求信号如下图所示，求f(-2t+2)，并画出波形。并画出波形。12022-3-143332312111213022ttttt 及)22( tf11t2132例例1-7：信号如下图所示，求：信号如下图所示，求f(-2t+2)，并画出波形。并画出波形。231220( 22)102210221221ttftttt 及)(tf11t12022-3-1434)1(2)22()2()()(tftftftftf时移尺度反褶解法二：先画波形再写表达式。解法二：先画波形再写表达式。例例1-7：信号如下图所示，求：

18、信号如下图所示，求f(-2t+2)，并画出波形。并画出波形。)(tf11t1)( tf 11t10)2(tf 1t2112)22( tf11t21322022-3-14351.3.4 信号的微分与积分运算信号的微分与积分运算 （1）微分运算）微分运算 例例1-8 求下图所示信号求下图所示信号f(t)的微分的微分 ，并画出并画出的波形。的波形。 )(tf)(tff(t)t110（-1）t110)(tf( ) ( )(1) ( )(1)ftu tu tttt 解：解：f(t) = t u(t) - u(t-1)(tf 信号 f(t) 的微分 仍然是一个信号，它表示信号随时间变化的变化率。 ( )(

19、1)(1)u tu tt2022-3-1436(2) 积分运算积分运算0)(1tf 解解 : 1）当 t 1 时，10122)(dtftdftf)()()1( 例例1-10 求下图所示信号求下图所示信号f(t)的积分的积分 ，并画出其波形。并画出其波形。2022-3-1437所以所以( 1)( )2 ( )(1)2 (1)2( )2(1) (1)ftt u tu tu ttu ttu t0)(1tf 1）当 t 1 时，10122)(dtf2022-3-14381.4 信号的分解信号的分解（1）任意信号分解为偶分量与奇分量之和）任意信号分解为偶分量与奇分量之和 偶分量定义为偶分量定义为)()(

20、tftfee奇分量定义为奇分量定义为)()(tftfoo)()(21)(:)2()1 (tftftfe)()(21)(:)2()1 (tftftfo任意信号可分解为偶分量与奇分量之和，即任意信号可分解为偶分量与奇分量之和，即( )( )( )(1)eof tftft)2()()()(tftftfoe2022-3-1439)(tfot01/2-1/21-11)(tfet01/2-1)( tf t01-1例例2:t11)(tf)()(tftfo0)(tfe例例1:)(tft0112022-3-1440（2）任意信号分解为脉冲分量）任意信号分解为脉冲分量 任意信号分解为冲激信号的迭加任意信号分解为冲

21、激信号的迭加当 t = 0 时，第一个矩形脉冲为 )()()0(ttutufttttutuft)()()0(lim0ttft)()0(lim0 一个信号可近似分解为许多脉冲分量之和。这里又一个信号可近似分解为许多脉冲分量之和。这里又分为两种情况，一是分解为矩形窄脉冲分量，窄脉冲组分为两种情况，一是分解为矩形窄脉冲分量，窄脉冲组合的极限就是冲激信号的迭加；另一种情况是分解为阶合的极限就是冲激信号的迭加；另一种情况是分解为阶跃信号分量的迭加。跃信号分量的迭加。tk ) 1(tt2tkt)(tf0)0(f)(tkf2022-3-1441) 1()()(tktutktutkftt2t)(tf0tktk

22、 ) 1(tttktutktutkft) 1()()(lim0ttkttkft)()(lim0当当 t = 时，第时，第 k+1个矩形脉冲为个矩形脉冲为tk将上述将上述0 n个矩形脉冲迭加，个矩形脉冲迭加，就得到就得到f(t)的表达式，即的表达式，即nktttkttkftf00)()(lim)(当 时，0t tnkttkdt000lim,tdtftf0)()()()(tftk ) 1(tktt2t0)0(f)(tkf演示2022-3-1442(3)任意信号分解成正交函数分量任意信号分解成正交函数分量 如果用正交函数集表示一个信号，那么，组成信号的各分量如果用正交函数集表示一个信号，那么，组成信

23、号的各分量就是相互正交的。就是相互正交的。 例如，各次谐波的正弦与余弦信号构成的三角函数集就是正例如，各次谐波的正弦与余弦信号构成的三角函数集就是正交函数集。任何周期信号交函数集。任何周期信号f(t)只要满足狄里赫利条件，就可以由只要满足狄里赫利条件，就可以由这些三角函数的线性组合来表示，称为这些三角函数的线性组合来表示，称为f(t)的三角形式的傅里叶的三角形式的傅里叶级数。同理，级数。同理， f(t)还可以展开成指数形式的傅里叶级数。还可以展开成指数形式的傅里叶级数。2022-3-1443 系统的定义 由若干个相互关联又相互作用的事物组合而成，具有某种或某些特定功能的整体。如通信系统、雷达系

24、统等。系统的概念不仅适用于自然科学的各个领域，而且还适用于社会科学。如政治结构、经济组织等。 众多领域各不相同的系统都有一个共同点，即所有的系统总是对施加于它的信号(即系统的输入信号，也可称激励)作出响应，产生出另外的信号(即系统的输出信号，也可称响应)。系统的功能就体现在什么样的输入信号产生怎样的输出信号 1.6 系统模型及其分类系统模型及其分类1.6.1 系统的数学模型系统的数学模型CRi(t)L+-vL(t)Ri(t)Lr+-vL(t)( )( )( )LLdi tdi tvtLLdtdt)()()(tridttdiLtvL 对于同一物理系统，在不同条件之下，可得到不同形式的数学模型。对

25、于同一物理系统，在不同条件之下，可得到不同形式的数学模型。2022-3-1445对于不同的物理系统，可能有相同形式的数学模型。对于不同的物理系统，可能有相同形式的数学模型。( )dv tFmamdt( )( )Ldi tvtLdtmLF)(tvL)(tv)(timv(t)F2022-3-1446+-x(t)CLRi(t)该系统可建立如下两种数学该系统可建立如下两种数学模型：模型：RtitvtxdttdiLtidttdvCcc)()()()()()(（2）-状态方程（两个一状态方程（两个一 阶微分方程组）阶微分方程组）dttdxCtidttdiRCdttidLC)()()()(22（1）-输入输

26、出方程（一个二阶微分方程）输入输出方程（一个二阶微分方程） 对于同一物理系统，而且在相同的工作条件之下，数对于同一物理系统，而且在相同的工作条件之下，数学模型也不惟一。学模型也不惟一。2022-3-14471.6.2系统的分类系统的分类:1).连续时间系统与离散时间系统连续时间系统的数学模型是微分方程离散时间系统的数学模型是差分方程2).即时系统(无无记忆系统记忆系统)与动态系统(记忆系统记忆系统)即时系统数学模型是代数方程,如电阻电路.动态系统数学模型是微分方程或差分方程,如RC,RL电路.3).集总参数系统与分布参数系统集总参数系统的数学模型是常微分方程分布参数系统的数学模型是偏微分方程4

27、).线性系统与非线性系统具有迭加性与均匀性(也称齐次性)的系统称为线性系统.不满足叠加性或均匀性的系统称为非线性系统.5).时变系统与时不变系统(非时变系统)时变系统:系统的参数随时间变化.时不变系统:系统的参数不随时间而变化.6).可逆系统与不可逆系统可逆系统:不同的激励产生不同的响应.不可逆系统:不同的激励产生相同的响应.对于每个可逆系统都存一个“逆系统”,当原系统与此逆系统级联组合后,输出信号与输入信号相同.例:可逆系统: r (t)=3e(t) 其逆系统为: r(t)=e(t)/3.不可逆系统:)()(2tetr(当激励e(t)=1和e(t)=-1时,响应r(t)均为1.即不同激励产生

28、相同响应.故为不可逆系统).7). 单输入-单输出系统与多输入-多输出系统系统单输入-单输出系统:只接受一个激励信号，产生一个响应信号. 多输入-多输出系统：系统激励信号与响应信号多于一个. 1.7 线性时不变系统（线性时不变系统（LTI） 线性系统的定义：符合迭加性与均匀性的系统，称为线性系统。线性系统的定义：符合迭加性与均匀性的系统，称为线性系统。系统)()(21txtx)()(21tyty)(1tx系统)(1ty系统)(2tx)(2ty (1) 线性特性线性特性 1. 迭加性迭加性 若：若：1122( )( ),( )( )x ty tx ty t则：则：1212( )( )( )( )

29、x tx ty ty t2022-3-1451)(tx系统)(ty系统)(tkx)(tky系统)()(2211tyktyk)()(2211txktxk)(1tx系统)(1ty系统)(2tx)(2ty将迭加性与均匀性结合起来，有将迭加性与均匀性结合起来，有2. 均匀性均匀性(齐次性齐次性) )()(tytx则：则：)()(tkytkx若：若：若：若：)()(),()(2211tytxtytx则：则：)()()()(22112211tyktyktxktxk2022-3-1452满足迭加性。故此系统为线性系统 例: 判断下列系统是否为线性系统： (1) r(t)=te(t)； (2) r(t)=e(

30、t)+2 解 (1) ae(t) tae(t)=ate(t)=a r(t)，满足齐次性； (2) ae(t) ae(t)+2 ae(t)+2=a r(t) 不满足齐次性，故不是线性系统 e1(t)+e2(t) t e1(t)+e2(t)=t e1(t)+t e 2(t)=r1(t)+r2(t)， ETtx(t)系统Ety(t)ET+t0tx(t-t0)t0系统Ety(t-t0)t0（2）时不变特性）时不变特性)()(tytx则：则：)()(00ttyttx若：若：2022-3-1454(1) r(t)=te(t)； (2) r(t)=sine(t);例: 判断下列系统是否为时不变系统：解 (1

31、)当e(t)=e1(t)时,r1(t)=te1(t)e(t)=e2(t)=e1(t-t0)时, r2(t)=te2(t)=te1(t-t0)而 r1(t-t0)=(t-t0)e1(t-t0)由于 r2(t) r1(t-t0),所以系统是时变的。(2)当e(t)=e1(t)时,r1(t)=sine1(t)e(t)=e2(t)=e1(t-t0)时,r2(t)=sine2(t)=sine1(t-t0)而 r1(t-t0)=sine1(t-t0)由于 r2(t) = r1(t-t0),所以系统是时不变的。系统x(t)y(t)系统dttdx )(dttdy )(系统tdx0)(tdy0)( （3）微分与

32、积分特性）微分与积分特性设系统的起始状态为零)()(tytx则：则：,)()(dttdydttdx若：若：ttdydx00)()(2022-3-1456（4）因果性）因果性 因果系统是指系统在t=t0时刻的响应只与t=t0和t0+ 时都为零，因而方程式右端的自由时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 与与n, m相对大小有关相对大小有关 与特征根有关与特征根有关( )( )( )( )( )( )nmh ttnmh ttnmh tt不包含不包含 及其各阶导数及其各阶导数包含包含包含包含 及其

33、各阶导数及其各阶导数3. h(t) 解的形式解的形式 例：例：已知微分方程为已知微分方程为)(2)()(3)(4)(22txdttdxtydttdydttyd 求冲激响应求冲激响应h(t)。 解：解：22( )( )43 ( )( )2 ( )d h tdh th tttdtdt)()()(321tueAeAthtt将将 代入微分方程，并比较方程两边系数可求出：代入微分方程，并比较方程两边系数可求出：)()()( ththth、03421, 321特征方程：特征方程：齐次解：齐次解：令令)()()()(22tuctbtadtthd则则)()()(tubtadttdh)()(tuath5, 2,

34、 1cba所以所以2)0(, 1)0(bhah)()(21)(3tueethtt2.6.2 2.6.2 阶跃响应阶跃响应系统方程的右端包含阶跃函数系统方程的右端包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有，所以除了齐次解外，还有特解项特解项。我们也可以根据线性时不变系统特性，利用我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响冲激响应与阶跃响应关系应关系求阶跃响应。求阶跃响应。 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应单位阶跃响应，简称简称阶跃响应。阶跃响应。1定义定义 2阶跃响应与冲激响应的关系阶跃响应与冲激响应的关系0tt线性时不变系

35、统满足线性时不变系统满足微、积分微、积分特性特性 ( )( )dtu ttt( )( )dtg th ttddg th tt( )( ) =阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限 对因果系统：对因果系统： 由上述卷积积分的公式可总结出卷积积分计算步骤。首先将x(t)和h(t)的自变量t改成 ，即： )()(),()(hthxtx 再进行如下运算（即卷积积分的四步曲）：）：反褶、时移、相乘、反褶、时移、相乘、积分。积分。 反褶：反褶：)()(hh 时移：时移：)()(thhttttth右移左移, 0, 0)(2.7 系统的卷积积分分析系统的卷积积分分析 相乘：相

36、乘：)()(thx 积分：积分：dthxthtx)()()()( 计算卷积积分的关键是定积分限。计算卷积积分的关键是定积分限。dthxthtx)()()()( 例例2-11：已知 , 求 。 12( )( ),( )( )tf tu tf te u t12( )( )( )s tf tf t 解：解： 1( )f102( )f102()f t10t1( )f2()f101）当 t 0 时， ()0( )1tts ted )1 (te( ) (1) ( )ts te u t s(t) = 0 t10( )s t2()f t10t1( )f12( )( ) ()s tff td 演示 例例212：

37、已知 ，求 12( )( )(),( )( )tf tu tu t Tf te u t12( )( )( )s tf tf t 解：解： 1( )f10T2( )f102()f102()f t10t1( )fT1）当 t 0 时， s(t) = 0 2）当 0 t T 时， ()0( )1tts ted )1 (te2()f t10t1( )fT3）当 t T 时， ()0( )1Tts ted tTtee)()( ) (1) ( )() ()tt Tts teu tu t Tee u t T )(1 )()1 ()(TtuetueTttt1( )s tT0Te12()f t10t1( )fT

38、2.8 卷积积分的性质卷积积分的性质 2.8.1 卷积积分的代数性质卷积积分的代数性质 （1）交换律）交换律)()()()(1221tftftftf （2）分配律）分配律1231213() ()()()()()()f tf tf tf tf tf tf t 分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应等于组成并分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。联系统的各子系统冲激响应之和。h2(t)h1(t)x(t)()()()(21ththtxty)()(1thtx )()(2thtx （3）结合律）结合律)()()()()()(321321tftftftf

39、tftf 结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应等于组成串结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。联系统的各子系统冲激响应的卷积。 2.5.2 卷积积分的微分与积分卷积积分的微分与积分)()()()()()(212121tfdttdfdttdftftftfdtd)()()()()()(212121tfdfdftfdfftttdfdttdftftft)()()()(2121)()()()() 1(2) 1 (121tftftftfh2(t)h1(t)x(t)()()()()()()(2121ththtxththtxty)()(1thtx 2.8

40、.3 f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积)()()(tfttf)()()(00ttftttf)()()(tfttftdftutf)()()(推广：推广： 2.5.4 卷积积分的时移性质卷积积分的时移性质12( )( )( ),f tf tf t若则1122122112()()()()()f t tf t tf t tf t tf t tt 解：解：f2(t) = (t)+(t-3)，则 s(t) = f1(t)*(t)+(t-3) = f1(t)*(t)+ f1(t) *(t-3) = f1(t)+ f1(t-3) 补充：已知补充：已知 f1(t)、 f2(t)如图所

41、示，求如图所示，求s(t)=f1(t)*f2(t) ，并画出，并画出 s(t) 的波形。的波形。)(2tf) 1 (t) 1 (30)(1tf111t0)(ts111t0324第第 3 3 章章 傅里叶变换分析傅里叶变换分析3.4 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析傅里叶变换傅里叶变换3.2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶变换傅里叶变换3.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱3.5、3.6 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱3.7、3.8 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质3.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换3.9、3.10 取样信号的傅里叶变换取

42、样信号的傅里叶变换 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。3.2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。3.2.1 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数设周期信号为f(t), 其重复周期是T1,角频率11122Tf1110)sincos()(nnntnbtnaatf（

43、1）100)(110TttdttfTa直流分量：余弦分量的幅度：10011cos)(2TttntdtntfTa正弦分量的幅度：10011sin)(2TttntdtntfTb三角形式的傅里叶级数也可表示成：011( )cos()nnnf tccn t（2）其中22200arctan()nnnnnnbcabcaa以上各式中的积分限一般取： 或10 T1122TT01112201122221( )(cossin)cos()sin)nnnnnnnnnnnnf taantbntabaabntntabab（22200,nnnac cab令令 01110111011( )cos()sin)cos()cos(

44、)sin)sin()cos()nnnnnnnnnnnnnabf tccntntccccntntccnt（则则 1110)sincos()(nnntnbtnaatf根据欧拉公式：根据欧拉公式：11111111cos()(),sin()()22jntjntjntjntnteenteej1101( )()22jntjntnnnnnajbajbf taee代入上式得：代入上式得：令11()()2nnF najb则11()()2nnFnajb110111( ) ()()jntjntnf taF neFne3.2.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数000Fac)(21nnjnnjbaeFFn1(

45、 )jntnnf tF e（3）011011( )tTjntntFf t edtT其中- 复振幅nnnncbaF212122)(arctannnnab111011111( )()()()jntjntnnjntnf taF neFneF ne指数形式：指数形式：3.2.3 周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱及其特点1. 周期信号的频谱周期信号的频谱ntjnneFtf1)(（3）1110)sincos()(nnntnbtnaatf（1）110)cos()(nnntncctf（2） 为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量，各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图来直观地表示。 如果以

46、频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出 及 等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱幅度频谱和相位频谱。相位频谱。ncn例例3-1 求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅里叶级数，并画求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅里叶级数，并画出各自的频谱图。出各自的频谱图。解：解：一个周期内 的表达式为：)(tf11122202)(TtTETtEtf0)(11010TdttfTa0cos)(21011TntdtntfTa6 , 4 , 205 , 3 , 12sin)(21011nnnEtdtntfTbTn2E2E21T

47、21T0)(tft1Tnncb)5 , 3 , 1(2)arctan(nabnnn因此)5sin513sin31(sin2sin12)(1115 , 3 , 11ttEtnnEtfn或11,3,521( )cos()2nEf tntn6 , 4 , 205 , 3 , 12nnnE(1,3,5)2(1, 3, 5)2nnn 6, 4, 205, 3, 12)(21nnnjEbjjbaFnnnn111133( )33jtjtjtjtEEEEf tejejjjee (1, 3, 5)nEFnn )5, 3, 1(2)5 , 3 , 1(2nnn)5, 3, 1(nnEFn)5 , 3 , 1(2n

48、n6 , 4 , 205 , 3 , 12nnnEcnnFE3E5E113151131522n1513111315nc113150E232E52E0113152n2. 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点（1）离散性 - 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱 称为离散频谱。（2）谐波性 - 谱线出现在基波频率 的整数倍上。1（3）收敛性 - 幅度谱的谱线幅度随着 而逐渐 衰减到零。n3.2.4 波形的对称性与谐波特性的关系波形的对称性与谐波特性的关系 已知信号f(t)展为傅里叶级数的时候，如果f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变

49、得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称。（1）偶函数）偶函数)()(tftf20112211111cos)(4cos)(2TTTntdtntfTtdtntfTa1121122( )sin0TTnbf tntdtT 所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能含有（直流）和余弦分量。2012210111)(2)(1TTTdttfTdttfTa（2）奇函数）奇函数)()(tftf1112211011224( )sin( )sinTTTnbf tntdtf tntdtTT 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流与余弦分量，只可能包含正弦分量。（3）奇谐函数）奇

50、谐函数)()2(1tfTtf或)()2(1tfTtf1120121( )0TTaf t dtT1121122( )cos0TTnaf tntdtT（3）奇谐函数）奇谐函数)()2(1tfTtf)(tft21T1T21T例如)2(1Ttft21T1T21T)()2(1tfTtft21T1T21T)5 , 3 , 1(cos)(4)6 ,4,2(020111ntdtntfTnaTn20111)5 , 3 , 1(sin)(4)6 ,4,2(0TnntdtntfTnb 可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。00a 在偶谐函数的傅里叶级数

51、中，只会含有（直流）与偶次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含奇次谐波分量。（4）偶谐函数）偶谐函数)()2(1tfTtf21T21T41T41T)(tft例例3-2：21T21Tt21T1T21)(tft1T)(tf121T3.2.5 吉伯斯（吉伯斯（Gibbs）现象）现象)(tft2E2E21T8.95%En=1n=3n=5)5sin513sin31(sin2)(111ttEtfn=1:tEtf1sin2)(n=3:)3sin31(sin2)(11ttEtfn=5:)5sin513sin31(sin2)(111ttEtf演示3.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱3.3.1 周期矩形脉冲信

52、号周期矩形脉冲信号(1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数周期矩形脉冲信号的傅里叶级数t)(tf2221T21T1T1TE120120102)(21TEEdtTdttfTaT0nb11221100111442( )coscosSa()2TnnnEaf tntdtEntdtcTTT111112( )Sa() cos2nnEEf tntTT 周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为 f(t)的指数形式的傅里叶级数为)2(Sa21)(2111nTEajbaFnnnnntjnenTEtf1)2(Sa)(11（2）频谱图）频谱图)2(Sa211nTEcn)2(Sa11nTEFnnc1TE12TE11224nF

53、1TE11224nc1TE12TE11224nF1TE1122424n24n24（3）频谱结构与波形参数的关系）频谱结构与波形参数的关系（T1, ） 1.若 不变， 扩大一倍，即 1T8411TTt)(tf12TE1Tnc4E2E124t)(tfE1Tnc4E8E124 2.若 不变， 减小一半，即 1T8411TTt)(tf12TE1Tnc4E2E124t)(tf12TE1Tnc4E8E12 谱线间隔 只与周期 有关，且与 成反比；零值点频率 只与 有关，且与 成反比；而谱线幅度与 和 都有关系，且与 成反比与 成正比。)2(11T1T1T21T1T3.4 非周期信号的频谱分析非周期信号的频

54、谱分析傅里叶变换傅里叶变换t)(tf2221T21T1T1TE1Tt)(tf22E1T1T112T谱线间隔0211T0谱线间隔周期信号的离散谱非周期信号的连续谱由于,1T0)(1221111TTtjnndtetfTF演示频谱密度函数22111111)(limlimTTtjnTnTdtetfTF连续频率离散频率时，当11nT则dtetfTFtjnT)(lim11记为)(jFF f(t)dtetftj)(- 非周期信号非周期信号f(t) 的的傅里叶变换傅里叶变换)(tf- 傅里叶逆变换傅里叶逆变换dejFjFtj)(21)(F 1)()()(jejFjF)(jF- 幅度谱幅度谱)(- 相位谱相位谱

55、周期信号：周期信号：ntjnneFtf1)(1001)(11TtttjnndtetfTF傅里叶变换：傅里叶变换：dtetfjFtj)()(- 连续谱- 离散谱nF与 的关系：)(jF11lim)(TFjFnT11)(nnTjFF3.5典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱 一、单边指数信号一、单边指数信号)(000)(tuettetfttjdteedtetfjFtjttj1)()(0)(tf1t221()F j)arctan()(221)(jF)arctan()()(jF/1)(2/2/ 二、双边指数信号二、双边指数信号( )tf te222)(jF)(tf1t)(jF/2 三、对称矩形脉冲

56、信号三、对称矩形脉冲信号202)(ttEtf)2(Sa)(22EdtEejFtj)(tfE2/2/tE)(jF2424周期矩形脉冲信号：11Sa()2nnEFTnFjF与)(之间满足如下关系：11)(nnTjFF1,2fBB四、符号函数四、符号函数10sgn( )10ttt)sgn( t11t)(tf1ttete)(tf1t)(1tf1ttete1)()()sgn()()(1tuetuettftftt2200112)()()(jdteedteetfjFtjttjtF)()()(tuetuetfatat2212)(jjFjjFjF2)(lim)(102)(jF0202)()(jF)(223.6

57、冲激函数和冲激偶函数冲激函数和冲激偶函数()( )1jtFjt edt 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或“白色频谱”。(1）冲激函数的傅里叶变换）冲激函数的傅里叶变换)(1tf/12/2/t11()Sa()2F j24240)(tt)1(011)(jF演示(2）冲激函数的傅里叶逆变换）冲激函数的傅里叶逆变换)()(1jF)1(21)(1tft21)(21)()(1detftjF或),(21F12() F1)(2tft)(2)(2jF)2()(1tf12/2/t)2(Sa)(1jF2424)(tft1)2()(2)(jF（3）冲激

58、偶的傅里叶变换）冲激偶的傅里叶变换, 1)(tF即：dettj21)(上式两边对t 求导得：dejtdtdtj)(21)(F( )tj同理：nnjt)()()(F五、阶跃信号五、阶跃信号)sgn(2121)(ttuj1)(11() ( )sgn( )22Fju ttFFF)(22)(jF)(3.7 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质3.7.1 线性线性若11 ( )(),f tF jFF),()(22jFtfF则)()()()(22112211jFajFatfatfa02f()(2)tR(t)=1010F()=R ()=11例如：0(1)t3.7.2 对称性对称性又如：)(tfE2/2/

59、tE)(tR2424tE)()(RF2424)(2fE22/2/)2(Sa)()2()2()(ERtutuEtf)2()2(2)()2(Sa)(uuEtRtEtRF 利用傅里叶变换的对称性，可以将求傅里叶逆变换的问题转化为求傅里叶变利用傅里叶变换的对称性，可以将求傅里叶逆变换的问题转化为求傅里叶变换来进行。换来进行。1( ) ( )2tf tF tF即1() ( )2fF tF ( )2()F tfF ( )( )f tFF若则F例例3-33-3：求)sgn(1j解：解：( )sgn( )F tjt22 ( )F tjjFtt1221F11sgn( ) ( )2tjF tF3.7.3 奇偶虚实

60、性奇偶虚实性设)()()()()(jXRejFjFj其中)()(arctan)(, )()()(22RXXRjFdtetfjFtj)()(因为dtttfjdtttfjF)sin()()cos()()(所以则dtttfXdtttfR)sin()()()cos()()(两种特定关系：两种特定关系：1. 若f(t)是实函数，或虚函数 f(t)= j g(t)，则 是偶函数,)(jF( ) 是奇函数。2. 若f(t)是 t的 实偶函数，则 必为 的实偶函数)(jF ()( )F jR 若f(t)是 t 的实奇函数，则 必为 的虚奇函数)(jF)()(jXjF例如：tetf)(222)(jF（实偶）（实偶）00