信号与系统 拉普拉斯变换的基本性质

1、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统主要内容线性线性 延时（时域平移）延时（时域平移）尺度变换尺度变换 s域平移域平移原函数积分原函数积分原函数微分原函数微分 对对s域微分域微分 对对s域积分域积分初值初值终值终值时域卷积时域卷积信号与系统信号与系统对下列性质的熟练掌握（数学描述，应用）对下列性质的熟练掌握（数学描述，应用）延时性质延时性质尺度变换尺度变换对时间函数的微分、积分对时间函数的微分、积分初值、终值性质初值、终值性质时域卷积时域卷积信号与系统信号与系统一线性性质一线性性质解：解：例：例：F sF sF ssssssss( )( )( )()()()()121111211212已知

2、已知f tF ss1111( )( )ftF sss22112( )( )()()f tf t12( )( )求求 的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换F s ( )说明：说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。1122121 1221122( )( ), ( )( ),( )( )( )( )f tF sf tF s K KK f tK f tK F sK F sLLL若若 为常数为常数则则信号与系统信号与系统二延时（时域平移）二延时（时域平移）00000() ()() ()edstf tt u ttf tt u tttL00()ed

3、sttf ttt0tt 令令00( )eedstsf 0( )estF s证明：证明：000( )( ) () ()( )estf tF sf tt u ttF sLL若若则则00e( )edstsf 00t 信号与系统信号与系统二延时（时域平移）二延时（时域平移）000000 () () 0()( ) ()() ( )f tt u tttf ttf t u ttf tt u t。，注意：注意：(1)一定是一定是 的形式的信号才能用时移性质的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移信号一定是右移(3)表达式表达式 等等 所表示的信号不能用时移性质所表示的信号不能用时移性质信号与系统信号与系

4、统例：例：已知已知01 0 ( )0 t tf t其其余余求求F s ( )()()(0ttututf0( ) ( ) ( ) ()F sf tu tu ttLLL因为因为所以所以解：解：二延时（时域平移）二延时（时域平移）00111(1)ststeesss信号与系统信号与系统解：解：4 4种信号的波形如图种信号的波形如图例：例：21020304001 ( ) ( )( )() ( )( )()( )() ()t u tsf tttf ttt u tf ttu ttf tttu tt ，已知单位斜变信号已知单位斜变信号 的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为求求的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换二延时（时

5、域平移）二延时（时域平移）信号与系统信号与系统只有信号只有信号 可以用延时性质可以用延时性质 4( )f t010022111( )stF stttsssL020121( )() ( )( )stF stt u tF ssL040021( )() ()stF stt u ttesL003000000042( )()() ()()1( )ststF stu tttt u ttt u tttstF seessLL二延时（时域平移）二延时（时域平移）信号与系统信号与系统22211( )111ssF ssss( )2cos() ( ),( )4f ttu tF s已已知知求求。解：解：( )2cos

6、cos2sin sin( )cossin( )44f tttu ttt u t例例二延时（时域平移）二延时（时域平移）不能采用时延性质计算不能采用时延性质计算信号与系统信号与系统二延时（时域平移）二延时（时域平移）时移性质的一个重要应用是求时移性质的一个重要应用是求单边周期信号单边周期信号的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。 111( )( ) ( )( ) ( )() ()(2 ) (2 )Tf tft u tf t u tf tT u tTf tT u tT2111101( )( )( )( ) =( )1( ) 1TsTsnTsnTsF sF sF s eF s eF seF se结论：结论

7、：单边周期信号单边周期信号的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换 等于等于第一周期波形第一周期波形的拉普拉斯变换乘以的拉普拉斯变换乘以 Tse11信号与系统信号与系统的拉普拉斯变换求周期冲激序列)()(tutTTsTTetutttut11)()(1)()()(，所以有它的拉普拉斯变换为，的第一个周期信号为周期冲激序列信号与系统信号与系统求图所示单边周期矩形脉冲序列的拉普拉斯变换求图所示单边周期矩形脉冲序列的拉普拉斯变换 第一个周期的信号为第一个周期的信号为 )()()(1tututf)1 (1)(1sessF sTssTesesFesF1)1 (11)(1所以所以 信号与系统信号与系统三尺度变换三尺度变

8、换时移和尺度变换都有时移和尺度变换都有: :1() ()( )e 0,0 ()sbasf atb uaatbFaabL0()()edstf atf attLat令令()0( )ed( )saf a()01( )edsaf a1( )sFaa证明证明：( )( )1 ( )( ) () 0f tF ssf atFaaaLL若若则则信号与系统信号与系统四四s 域平移域平移()00( )e( )eed( )ed()ttst s tf tf ttf ttF s L证明：证明：( )( )( )e()tf tF sf tF s LL若若则则0220:cos() ( )s t u ts已已知知L0220

9、ecos() ( )()ts t u ts所所以以00220:esin() ( )()t t u ts同同理理例：例：求求 的拉氏变换的拉氏变换0ecos() ( )t t u t解：解：信号与系统信号与系统五时域微分定理五时域微分定理222d( )d( )(0 )( )(0 )(0 )dd( )(0 )(0 )ftf tsfs sF sfftts F ssffLL11( )0d( )( )(0 )dnnnn rrnrfts F ssft L推广：推广：证明：证明：000( )ed( )e( )ed (0 )( )stststf ttf tsf ttfsF s ( )( )d( )( )(0

10、)df tF sf tsF sftLL若若则则信号与系统信号与系统六时域积分定理六时域积分定理证明：证明：00( )d( )d( )dttfff0( )df00( )dedtstft 000e1( )d( )edsttstff ttss 01( )edstf tts01( )dfs( )F ss( )( )f tF sL0( )1( )d( )dtF sf fssL若若则则1、因为第一项与因为第一项与 t 无关，是一个常数。无关，是一个常数。2、如果、如果 f ( t )是一个因果信号，则这一是一个因果信号，则这一 项为项为0信号与系统信号与系统例：例：求图示信号的拉普拉斯变换求图示信号的拉普

11、拉斯变换 求导得求导得 11( )( )(2)(2)(2)(4)22f tt u tu ttu tu t d ( )11( )(2)(2)(4)d22f tu tu tu tu tt224221d ( )1 111( )(1)d222ssssf teeeF setsss221211( )( )(1)2sF sF sess所以所以 解：解：六时域积分定理六时域积分定理信号与系统信号与系统若若则则 取正整数取正整数七七s 域微分定理域微分定理d( )( )dF stf ts 常常用用形形式式：L( )( )d( )( )dd( )()( )dnnnf tF sF stf tsF stf tnsLL

12、L证明：证明：对拉普拉斯正变换定义式对拉普拉斯正变换定义式 求导得求导得 00d ( )d( )d() ( )d( )ddststF sf t ett f t ettf tssL即得证。即得证。信号与系统信号与系统七七s 域微分定理域微分定理f tt u t( )()21例例u ts( ) 1解：解：因为因为所以所以22232d1221(1)()()dsst u teessssssestu1) 1(信号与系统信号与系统八八s 域域积分定理积分定理0( )( ) edstF sf tt两边对两边对 s 积分：积分：0( )d( ) ed dtssFf tt 交换积分次序交换积分次序:0( )ed

13、dtsf tt( )( )( )( )dsf tF sf tFtLL01( )edtsf ttt0( )eds tf ttt证明证明：若若则则信号与系统信号与系统若若 拉氏变换存在，且拉氏变换存在，且九初值定理和终值定理九初值定理和终值定理( )( )( )f tf tF s终值存在的条件终值存在的条件:0lim( )lim( )tsf tsF sd( )( ),( )( )df tf tf tF stL若若 的拉氏变换存在，且的拉氏变换存在，且则则初值定理初值定理( )sF s 的所有的所有极点极点有负实部有负实部终值定理终值定理初值定理应用的条件初值定理应用的条件: f (t)不包含不包含

14、冲激信号冲激信号及其各阶导数项及其各阶导数项则则0lim( )(0 )lim( )tsf tfsF s信号与系统信号与系统d( )( )(0 )df tsF sftL0d( )eddstf ttt000d( )d( )ededddststf tf ttttt0d( )( )(0 )eddstf tsF sftt00d( )d( )limedlimed0ddststssf tf ttttt由时域微分定理可知由时域微分定理可知0d( )(0 )(0 )eddstf tfftt所以所以九初值定理和终值定理九初值定理和终值定理初值定理证明：初值定理证明：所以所以0lim( )(0 )lim( )tsf

15、 tfsF s信号与系统信号与系统终值定理证明终值定理证明0d( )( )(0 )eddstf tsF sftt000d( )lim( )(0 )limeddstssf tsF sftt(0 )lim( )(0 )lim( )ttff tff t根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式九初值定理和终值定理九初值定理和终值定理信号与系统信号与系统例：例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值初值初值 终值终值 I sss s( )()22H sss( ) 8101692V ssss( )()2101331)2(2l

16、im)(lim)0(ssssssIiss1)(lim)(0ssIis初值初值 终值终值 0169108lim)(lim)0(2sssssHhss0169108lim)(lim)(200sssssHhss注意应用注意应用终值定理的条件终值定理的条件是满足的。是满足的。 解：解：九初值定理和终值定理九初值定理和终值定理信号与系统信号与系统初值初值 2) 1()102(lim)(lim)0(33ssssssVvss( ) s0( )sV sv t因为因为 有两重极点有两重极点 ，并不具有负实部，并不具有负实部，因此不能应用终值定理，即因此不能应用终值定理，即 的终值不存在的终值不存在九初值定理和终值定理九初值定理和终值定理例：例：1:( ),(0 )?F sfs已已知知求求0(0 )lim( )lim( )1tsff tsF s解：解： 即单位阶跃信即单位阶跃信号的初始值为号的初始值为1。信号与系统信号与系统十时域卷积十时域卷积若若 为为因果信号因果信号则则1212( )( )( )( )f tf tF sF sL112212( )( )( )( )(