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文档简介

1、竞赛试题选讲(清华)数论中的几个重要定理:Bezout定理：设为n个整数，是它们的最大公约数，那么存在整数 特别来说，如果互质(不是两两互质），那么存在整基础题:1. 对所有正整数，求证：是一个整数。2. 设是奇质数，是整数，不整除，如果存在整数，使得，则称是模的二次剩余，否则称是模的二次非剩余. 设是奇质数.求证：是模的二次剩余的充要条件是 3. 设是奇素数,求证: 5.中等题: 6. 设是奇质数,求证:7. 设是一个型如型的素数,且,求证:,且9. 证明:数列中有一个无穷子数列，其中的项两两互质。10. 设是正整数，求证：不能整除 。该数列中奇下标的项没有形如4k+3的因子。13. 设为质

2、数,证明:存在整数,使得的充分必要条件为存在整数,使得14. 较难题:15.设为质数,正整数的进制分别为其中,求证: (这里约定: )16. 证明：对于任意正整数n，存在一个由n个合数组成的等差数列，其所有的项两两互质。17. 已知正整数,是整数,且其中任何一个都不是的倍数.证明:存在不全为零的整数,使得是的倍数.其中对于所有的 18. 如果一个由有限个正整数构成的集合中的每个元素均能整除其所有元素之和，则称该集合为优美的。证明：任何一个有限个正整数构成的集合均是某个优美集合的子集。代数问题选讲（不等式、数列等）一试难度：1. 设为正实数，且证明：3.解方程 4. 复平面上以方程的根为凸多边形的顶点,求此凸多边形的面积(2008,美国数学邀请赛12级试题)5. 二试难度6. 实数a，b，c满足，求证：。7. 设为无穷正数列，若存在常数，使对所有正整数成立。证明：存在常数使对所有正整数成立。8. 求证：9. 数列定义如下：求证：对均为正整数。10

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