信号理论(总结)

1、信号理论及应用信号理论及应用 （总结）（总结）内容：n信号基本概念n信号理论的数学基础n信号变换n信号空间理论的应用n现代信号分析方法基本要求：n基本思想n信号分析和处理的基本方法n信号分析方法应用实信号的复数表示：n正交化方法n解析信号方法带通线性系统的复数表述：带通线性系统的复数表述：n线性系统的频域分析法( )( )( )YHX脉冲相应频率特性( )( )h tH( )( )( )j ty tHXedf随机信号的复数表示：n将对确定信号与线性系统的复数表示方法应用到平稳随机过程。( )( ) ( )( ) ( )tx tjH x tjx tH x tdttt其中：信号的特征表示：n信号的

2、时域描述 22| ( )|,| ( )|,s tts tttt能量密度：在时间 单位时间内的能量密度在时间 时间间隔 内的能量2|( ) |Es tdt总 能 量 ：信号波形的时域特征：n平均时间（时间中心）：2| ( )|tt s tdt=n持续时间(时宽）：2(| ( )|tts tdt22t=)任意时间函数的平均值：2)( )| ( )|tg ts tdt=n信号的频域描述 22| ( )|,| ( )|,SS频谱能量密度：在频率单位频率内的能量密度在频率频率间隔内的能量22| ( )|S( )|Es tdtd总能量：信号波形的频域特征：n平均频率（中心频率）：2| ( )|Sd=n带宽

3、：22(|( )|BSd22=)任意频率函数的平均值：2)( )|( )|gSd=频率参数的计算方法：21( )*( )( )dSdsts t dtj dt22222221( )*( )()( )*( )( )|( )|dSdsts t dtj dtdsts t dtdtds tdtdt 信号的瞬时特征：( )( )( )jts tA t e信号形式：(复指数形式)怎样定义信号的怎样定义信号的瞬时频率？瞬时频率？平均频率:22( )| ( )|( )( )ts tdtt A t dt瞬时频率:( )( )itt瞬时频率定义的讨论：n物理意义？n合理性？瞬时频率的讨论：n瞬时频率的悖论。n瞬时频

4、率可以不是信号频谱之一。瞬时频率可以不是信号频谱之一。n线状频谱的信号，瞬时频率可以是连续线状频谱的信号，瞬时频率可以是连续的。的。n解析信号的瞬时频率可以是负的。解析信号的瞬时频率可以是负的。n对带限信号，瞬时频率可以在带宽之外对带限信号，瞬时频率可以在带宽之外。第五个谬误的地方n局部意义下的瞬时频率，需要知道全部信号才能计算。群延迟：n频率信号的一个重要瞬时参数。( )( )s tS由时域信号与频域信号的对等关系：我们可以建立频域信号中与瞬时频率相对应的群延迟的概念。平均时间:2( )| ( )|tSd 群延迟:( )( )( )( )gtS 其中：是的相位分布函数。Heisenderg不

5、确定原理:22( ),( ),( ),12( )()ssi tas tLts tsLs tceg tb 设且满足：则：当且仅当时，等号成立。更精确的不确定原理：222( ),( ),( ),1142ssts tLts tsLCov 设且满足：则： 第二章 信号空间 -信号理论的数学基础n集合论基础集合集合: 具有某种特定性质的事物的总体。 信号的集合表示：n正弦 信号n周期信号n能量有限信号n带宽有限信号关系关系:n元素与集合的关系元素与集合的关系 属于 不属于n 集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系 包含 集合的划分和等价：划分： S=S1S2 S3等价： 集合元素间的一种关系 记作.

6、满足： 自反性：x x 对称性：x y y x 传递性：x y与 y z x z 集合的运算：并集： 以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集）； 记作AB（或BA）交集： 以属于A且属于B的元素构成的集合。 记作AB（或BA）， 即AB=x|xA,且xB 映射n定义2121212121,);(:,SySxxfySSfSSfySxSfSS或的映射，记为到为则称与之对应，中的元素存在中的每个元素使，若有一个规则是给定的两个信号集合、设集合上的运算：n群 一个集合X,在这个集合上有一个被称作乘法的内部运算。且满足： exxxxxxXxXxxexxeXeXzyxyzxzxy111,) 3

7、()2(,)()() 1 (，使的逆元存在对任意的，使存在恒等元结合律n环 一个集合X,在这个集合上有两个分别被称作乘法与加法的内部运算。且满足：zxyxxzyxzxyzyxyzxzxyXzyxX)()()()(,)2() 1 (加法可交换律。即乘法是可结合的，且对群。在加法下是一个可交换n环的恒等元xxeexXxXe，有对,nAbel环 在乘法运算下，还是一个Abel群的环。n域 一个具有恒等元的环，且满足除零（加法的恒等元）以外的所有元素都有逆元。n模 在一个Abel群上再加上一个被称为数乘的外部运算。XyxRxxxxxyxyx,)()()()(n代数 一个在具有恒等元的环R上的模A，再加

8、上一个内部可结合运算（乘法）。 )()()(2) 1 (yxyxxyA）（是一个环。nLebesgue积分学定理 Riemann积分与Lebesgue积分f(x)xRiemann积分xLebesgue积分f(x)实变函数介绍：实变函数介绍：几乎处处收敛： eaxfxfn., )()(0是一个零测集。不收敛与即：)()(0 xfxfxAnn控制收敛定理dxxfdxxfxfnxgxfxfxfnnnn)(lim)()()()(,)()(可积，并且成立，那么对于所有的如果几乎处处假定nFubili定理 dxdyyxfdydxyxfdxdyyxfdxdyyxf),(),(),(.),(则如果距离空间（度

9、量空间）n距离的定义),(),(),(),(),(0),(, 0),(,:AzydyxdzxdxydyxdyxdyxyxdRyxd时，当且仅当且满足：二元泛函或映射：的，存在一个到非负实数对包含多个元素的集合nA，d称为距离空间称为距离空间赋范线性空间 设X是一个线性空间，若存在X上的一个泛函，满足：1)非负性:2)齐次性：3)三角不等式：则称X是赋范线性空间是赋范线性空间。uuvuuaau00,0uuu并内积空间 设设X是一个复线性空间，若存在一个二元是一个复线性空间，若存在一个二元 映射映射，满足：，满足：1)线性性:=a+b2)对称性： =3)非负性：则称X是一个内积空间是一个内积空间。

10、0, 0, 0,uuuuu并赋范线性空间中的收敛概念：000 xxxxnn，则称若完备性：X,X00 xxxxnn则完备的赋范线性空间称为Banach空间。222, 0,vuvuvuvuHvuHilbertH此时：正交。则称若空间，是信号空间的不等式和正交概念：信号空间的不等式和正交概念：勾股定理勾股定理合理性？合理性？1( )( )( )Nkkkkkx tatat( )kx ta 第三章 信号的矢量表示线性独立、基和维数线性独立、基和维数: :n线性独立线性独立 （线性空间的概念） 123121123,.,.,0,.nnniiinVnx x xxa aaa xx x xx线性空间 中的 个矢

11、量若没有不全为零的数使： 则称线性独立，否则，为线性相关。线性独立保证表示的唯一性。线性独立保证表示的唯一性。n基 空间的最大线性独立组1123123123,.,.,.niiinnnxa xxVVnx x xxx x xxVx x xx 满足：的线性组合，且表示唯一。即 线性空间 中的 个矢量1. 线性独立；2. 中的每个矢量均可表示为线性空间的基不是唯一的。线性空间的基不是唯一的。n维数 最大线性独立组中矢量的个数。分析：1( )niinixatxM 由 1,)(,)1,2,.,jnjijiixajn 两端用作内积 (解线性方程组解线性方程组矩阵表示：1121111121(,)(,)(,)(

12、 ,)(,)(,)(,)( ,)nnnnnnnaxaxGaaG = 或 称称a为信号为信号x的矢量表示（相对基的矢量表示（相对基）正交基：正交基：1(,)0ijijij 1(,)0ijijij 双正交性双正交性双正交基（双正交基（逆转基逆转基）：11( )( ,)(,)( ,)1,2,.,niininjiijjjixatxMxaaxjn 由 11(,)(,)nniiiiiixxxL L2 2空间信号的最佳逼近和投影定理：空间信号的最佳逼近和投影定理：n问题问题 有限维空间M以外的信号如何表示：n思路思路 有限维空间以外的信号用距离最近的M中信号表示。2,nxnxMSxLxxxxxM ；n投影定

13、理：1 11(,)0 xa exx e11222211( ,)( ,)minxxx e exxxx e exx最小均方下的最佳逼近最小均方下的最佳逼近xxx1 1 xa e多维空间中的最佳逼近：多维空间中的最佳逼近：2121,.,nnni iinMe eexLxaexM是由基张成的子空间，表示 在中的正交投影问题的描述：问题的描述：222minnz Mxxxz？222222,0-nnnzMxxMxzMxxxzxzxzxzxxxzxxxzxxxzxxxzxzxxxxxzxx设任意的则，即（，）（，）（）（），（）（）（，）（，）证明：证明：正交投影的计算：正交投影的计算：21211,.,-1,2

14、,.,( -,)01,2,.,( ,)( ,)1,2,.,nnnjni ijiniijjiMe eexLx xMx xejnxae ejna e ex ejn是由基张成的子空间，12i,.,( , )1,2,.,nie eeax ein当是正交基时，解线性方程组解线性方程组基的正交化：基的正交化：nGram-SchmidtGram-Schmidt正交化过程正交化过程问题：问题： 找一组两两正交的单位矢量找一组两两正交的单位矢量e1 e2 en 使使e1 e2 en与与a1 a2 an等价等价。 称为把称为把a1 a2 an规范正交化问题规范正交化问题。12,.,nnMa aa是由基张成的子空间

15、随机信号的正交展开：随机信号的正交展开：n希望能通过一组规范正交基来表征随机信号。1( )lim( ),Nkknkx ta e ttT( )kx ta 用一组随机变量表示随机信号。用一组随机变量表示随机信号。 第四章 信号空间的线性算子n信号处理系统 由完成各种基本运算的部件组成。 （放大、滤波、调制、检测） ( )yS xSaxVbxV 信号离散表示推广到连续函数。1.1.信号的积分变换与表示信号的积分变换与表示: :( )( ) ( , ),Sx tu st s dstT1( )( )niiix tattT 积分变换核函数积分变换核函数可逆性分析：可逆性分析：( , )( , ) ( ,

16、)()SI tst s dst 可逆条件可逆条件自对偶自对偶( , )*( , )t ss t2. 线性变换（线性算子）n定义1212,()()()CX YLXYLxxL xL xLYL是线性空间， ：满足则称 是线性算子。当 为数域 时，称线性算子 为线性泛函。n线性算子的运算（加、数乘）n线性算子的范数 （赋范线性空间）n线性算子空间构成一个代数。（算子乘法）线性变换（线性算子）空间线性变换（线性算子）空间线性算子空间线性算子空间n线性算子的范数inf :( ),LkL xk xxD L （ ）线性算子的全体构成赋范线性空间。线性算子的全体构成赋范线性空间。n线性算子范数的其他表述=sup

17、( )1,LL xxxD L； （ ）3. 有限维内积空间的线性算子11( )( )( )( )niiiniiiXx tatxXL xa Lt是有限维线性空间，则空间的基空间的基基的变换响应基的变换响应j,i1,( )( )ni jii jLXXLttL 若 ：， （自映射线性算子）则 1,11,11( )( )( )()( )niiinnii jjijnnii jjjiL xa Ltatat bLa4. L2空间的线性算子( )( ) ( , ),Sx tu st s dstT( )( ) ( , ),Sy tv st s dstT输入信号输入信号输出信号输出信号( )( )( )( , )

18、,( ) ( , ),( , )=( , )SSy tLx tu s Lt s dstTu st s dstTt sLt s其中 t:自变量自变量s:参变量参变量L2空间的线性算子的三种表示：: ( )( )L x ty t: ( , )( , )Lt st s: ( )( )L u sv s信号变换信号变换基变换基变换分量密度函数分量密度函数变换变换线性算子的第三种表示：( )( ) ( , ),Tv sy ts t dtsS( )( ) ( , ),Sy tv st s dstT( )( ) ( , ),Sy tu st s dstTT( )( ) ( ,) ( , )( ) ( ,)(

19、,)=( ,) ( , )T SSv suts t d dtuL sdL sts t d dt 其中( )( )( , )x tu st s( )( )( , )y tv st s( ,)L s线 性 网 络变换核函数变换核函数5.线性算子的实例n非时变算子n恒等算子n乘法器n微分算子n时间平均算子n理想滤波算子n匹配滤波（相关）算子6. L2空间线性算子的有限维近似?nLxM如何解决无限维空间上算子实现的困难？如何解决无限维空间上算子实现的困难？思路1： 将线性算子的定义域限制在有限维空间上；11,i=1,2,.,n( )( )( )( )niniininiiiMx tatxMLx ta L

20、t是由张成的空间，则7. 算子的谱表示 ;Sx LxxC算子的特征矢量：算子的特征值算子的特征值特征矢量特征矢量什么是算子的最佳表示方式？什么是算子的最佳表示方式？111S,i=1,2,.,n( )( )( )( )( )niniininniiiiiiiMx tatxMLx ta Ltat是由张成的空间，则算子的表示和实现将非常简单！算子的表示和实现将非常简单！伴随算子,( ,),( )Lx yx L yx yD L定义：()伴随算子伴随算子算子特征值和特征矢量的计算1S,i=1,2,.,n 1,2,niinniiniijMLL xxL xxinxa考虑算子的有限维近似。是由张成的空间，是 对

21、应的逆转基。 由（， ） （ ,)=0，其中怎样确定特征值和特征矢量？怎样确定特征值和特征矢量？Lxx算子特征值和特征矢量的计算11,1,2,1,2,0(,)niinnniiiiiijjnni ji jiiL xxinLaainLIaL （， ） （ ,)=0， （ （） ， ） （,)=0， （）， 其中矩阵的特征值和特征矢量求解矩阵的特征值和特征矢量求解第五章 信号空间理论的应用信号的数字特征信号的泛函2( )| ( )|E xx tdt例：能量信号、系统的最优设计泛函极值问题 怎么得到？1.线性泛函n具有运算线性性的泛函()( )( ), ,fxyf xf yC x yX 定义：n内积空

22、间中线性泛函的表示方式 ？( )( , )fxxn由内积导出的泛函( )( , )fxxn有界性|( )| |( , )|fxxxn连续性n定理： HilbertHilbert空间中任意连续线性泛函均空间中任意连续线性泛函均可表示为内积形式。可表示为内积形式。( )( , )fxx唯一；变换核 在信号处理中，在信号处理中，意味作什么？意味作什么？2.双线性泛函与二次泛函n具有双线性性的二元泛函1 122112211221122(, )( , )(, )( ,)( ,)( ,), ,1,2iifxxyf x yf xyf xyyf x yf x yC x yX i 定义：n内积是双线性泛函内积是

23、双线性泛函( , )( , )f x yx yn定理： HilbertHilbert空间中任意连续双线性泛函空间中任意连续双线性泛函均可表示为：均可表示为：( , )(, )f x yAx yAfA其中： 为线性算子，且 在信号系统中，滤波器是其中重要部件之一。 滤波器的作用：滤波器的作用： 增强信号抑制噪声3.3.最佳滤波器设计问题最佳滤波器设计问题 信号检测性能取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比。（信噪比） 信噪比越大，错误判决的概率就越小；信噪比越小，错误判决概率就越大。 H()判决s(t)n(t)r(t)y(t) t t0输出SN( )o( )( )( )x ts tn t

24、=+00( )( )( )y ts tn t=+目标：n设计滤波器，使输出信号的信噪比最大。20020( )( )( )ddds tSNR tn t=4.信号分辨理论（模糊函数）n信号可分辨程度的度量 距离：差异由什么造成？差异由什么造成？影响信号分辨能力的因素有哪些？影响信号分辨能力的因素有哪些？21uu 物理意义？信号质量信号质量检测方法检测方法信号形式信号形式n模糊函数模糊函数*2( , )( )()jtu t u tedt 两个目标回波复包络的时间两个目标回波复包络的时间-频率复合自相关函数。频率复合自相关函数。22212122| ( )( )|22Re( , )2(2|( , )|)

25、djfsss ts tdtEeE 第六章 信号的时频分布时频分布的基本思想：n建立一个函数，使其能够同时用时间和频率来描述信号的能量密度分布。n这个函数还能提供计算能量密度分布的方法。( ,)( ,)( ,)P tP ttP tttt 构造，使其：在时刻 和频率 信号的能量密度（强度）。在时刻 和频率 ，时频单元内信号的能量。能量密度分布的条件：n边缘条件：22(1)( ,)| ( )|(2)( ,)| ( )|P tds tP tdts （瞬时能量） （能量频谱）时间和频率位移不变性n时域位移不变性00( )()( ,)(,)s ts ttP tP tt若 则 00( )()( ,)( ,)

26、ssP tP t若 则 n频域位移不变性0000( )()( ,)(,)jts tes ttP tP tt若 则 线性尺度变换：( )()( ,)(,/ )s tas atP tP ata若 则 瞬时频域与群延迟：(1)( )( )( ,)/( ,)(2)( )( )( ,)/( ,)igttP tdP tdttP tdtP tdt 瞬时频率 群延迟 短时傅立叶变换对Fourier变换的修补223.( )1 ( )( )21( ) ()2( ,)( )|1|( ) ()|2tjttjsptjsssedsgt edPtssgt ed对函数作傅立叶变换因此，在t时刻信号的能量密度频谱是|频谱图Wigner_Ville分布的定义*( ),111( ,)() ()222js tWignerVilleW ts ts ted对信号其分布定义为：*111() ()222jtssedWigner_Ville分布的问题：n非负性问题 Wigner_Ville分布丢掉了作为能量密度分布的一个基本性质。 非负性不成立。非负性不成立。Wigner_Ville分布的问题：n交叉