312_用二分法求方程的近似解

1、31.2用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解零点判定定理：零点判定定理： 对于在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法 典 例 导 悟 类型一用二分法求方程的近似解 例1借助计算器或计算机，用二分法求方程ln(2x6)23x，在区间(1,2)内的近似解(精确度0.1) 解原方程即ln(2x6)23x0，令f(x)ln(2x6)23x，用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表如下：x21012f(x)2.58203.05302.79181.07944

2、.6974由上表可以知道由上表可以知道f(1)f(2)0，说明这个函数在区间，说明这个函数在区间(1,2)内有零点内有零点x0.取区间取区间(1,2)的中点的中点x11.5，用计算器可得用计算器可得f(1.5)1.00，由于由于f(1)f(1.5)0，那么，那么x0(1,1.5)，再取再取(1,1.5)的中点的中点x21.25， 用计算器可得f(1.25)0.19， 由于f(1.25)f(1.5)0， 那么x0(1.25,1.5)， 同理，可得x0(1.25,1.375)，x0(1.25,1.3125) 由于|1.31251.25|0.1，所以方程ln(2x6)23x在区间(1,2)内的近似解

3、为1.3125. 2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 (1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度； (2)求区间(a，b)的中点x1； (3)计算f(x1)； 若f(x1)0，则x1就是函数的零点； 若f(a)f(x1)0，则令bx1(此时零点x0(a，x1)； 若f(x1)f(b)0，则令ax1(此时零点x0(x1，b) (4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4) 思考感悟 能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？ 提示：不能看一个函数能否用二分法求其零点关键要看是否具备应用二分法的条件，即函数图象在零点附近是连续不

4、断的，且在该零点左右函数值异号 自 我 检 测 1以下函数图象中，不能用二分法求函数零点的是() 答案：D 2下面关于二分法的叙述，正确的是() A用二分法可求函数所有零点的近似值 B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D只有在求函数零点时才用二分法 答案：B答案：答案：B 4用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_. 解析：f(0)0， f(0)f(0.5)0， 故f(x)在(0,0.5)内必有零点 答案：(0,0.5)解：解：f(2)f(4)0，f(2)f(3)0，x0(2,3) 变

5、式体验1利用计算器，求方程x3lgx18的近似解(精确度0.1) . 解：这个解记为x0， 设f(x)18x3lgx，用计算器计算，得 f(2)0，f(2.5)0，f(3)0，f(2.75)0，f(2.625)0，f(2.625)0，则x0(2.5625,2.625) 由于|2.56252.625|0.1，所以原方程的近似解为x02.5625. 类型二用二分法求函数零点的近似值 例2判断函数yx3x1在区间(1,1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1) 分析由题目可获取以下主要信息： 判断函数在区间(1,1.5)内有无零点，可用根的存在性定理判断； 精确度0.1解答本题在判

6、断出在(1,1.5)内有零点后可用二分法求解 解因为f(1)10，且函数yx3x1的图象是连续的曲线，所以它在区间(1,1.5)内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.31250.05(1.3125,1.375)1.343750.08 由于|1.343751.3125|0.031250.1， 所以函数的一个近似零点可取1.3125. 变式体验2求函数f(x)x25的负零点(精确度0.1) 解：由于f(2)10， 故取区间(3，2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图：

7、由于|2.25(2.1875)|0.06250.1， 所以函数的一个近似负零点可取2.25.区间中点中点函数值(或近似值)(3，2)2.51.25(2.5，2)2.250.0625(2.25，2)2.1250.4844(2.25，2.125)2.18750.2148(2.25，2.1875)2.218750.0771 类型三二分法的实际应用 例3一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致，要想检验出哪一处焊接点脱落，问运用二分法至多需要检测的次数是多少？ 解对焊接点一一检测很麻烦，当然也是不需要的如图1所示，只需选线路AB的中点C，然后判断出焊接点脱落

8、处所在的线路是AC还是BC，然后依次循环上述过程即可很快检测出焊接点脱落的位置根据二分法的思想，具体分析如下： 第1次取中点把焊接点数减半为64232个， 第2次取中点把焊接点数减半为32216个， 第3次取中点把焊接点数减半为1628个， 第4次取中点把焊接点数减半为824个， 第5次取中点把焊接点数减半为422个， 第6次取中点把焊接点数减半为221个， 所以至多需要检测6次 点评本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过取区间(或线路)的中点，依次使区间的长度(或焊接点个数)减半，就逐步逼近了函数的零点(或焊接点脱落处)，从而使问题得到解决 变式体验32008年初我国南方遭遇了50年

9、不遇的雪灾雪灾发生后，停水断电，交通受阻一日，某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？ 解：可以利用二分法的思想进行方案的设计 如图2，可首先从中点C开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC段正常，断定故障在BC段， 再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段， 再到BD段中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50100 m之间，即可容易找到 思 悟 升 华 1求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同，精确度为，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，此时区间内的任意值可作为零点的近似值；否则应继续计算，直到|ab|为止 2用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标，区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间 3用二分法求出的零点一般