2018年高三数学试卷

1、2018年局考数学试卷（文科）、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）A.2.A.3.A.4.A.（5分）设全集U=x£R|x>0,函数(0,eB.(0,e)C.(e,+8(5分)设复数z满足(1+i)z=2i,f(x)Jinx-1D.e,+8)i为虚数单位，则z=(的定义域为A,则？UA为（-1+i(5分)3(5分)B.-1-i_)B.(若m=0.52,C.1+iD.1-iB(4,2),则与4、)5n=2°.5,C(-、p=log20.5,孟反方向的单位向量为（）D.5则（n>m>pB.n>p>m（5分）执行如图所示的程序框图，输出C.

2、m>n>pD.p>n>mn的值为()5.A.19B.20C.21D.226. （5分）已知p:x>k,q：（x-1）（x+2）>0,若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A.（-8,-2）B.-2,+QC.（1,+QD.1,+Q7. （5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001,002,，600,利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006,则在编号为051125之间抽得的编号为（）A.056,080,104B.054,078,102C.054,079,104D.056,081,106598. （5分）

3、若直线x=兀和x=兀是函数y=sin（3H（|）（必>0）图象的两条相邻对称轴，贝U444的一个可能取值为（）3江7C71花A一B.C.D.44343x+y-6<09. (5分)如果实数x,y满足约束条件曜则z='的最大值为()x>1x111|I_A.rB-C.2D.3JI(-x-Lx<110. (5分)函数f(x)=的图象与函数g(x)=log2(x+a)(aR)的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是()._3-一3_一3A.a>1B.avFC.a>1或a<FD.a>1或a<-|4|4|4二、填空题(共5小题，每小题5分，满分2

4、5分)11. (5分)已知直线l:x+y-4=0与坐标轴交丁A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为.12. (5分)某几何体三视图如图所示，贝U该几何体的体积为.13. (5分)在0,a(a>0)上随机抽取一个实数x,若x满足<0的概率为,则实数a的值为.14. (5分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,t)(t>0)至U焦点的距离为5,双曲线二-'=1(a>0)的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值a29为.15. (5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+g

5、(x)=Z,若存在xo1,2使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立，贝U实数a的取值范围是三、解答题(共6小题，满分75分)湖IjI16. (12分)已知向量；=(sinx,-1),.=(cosx,°),函数f(x)=Q+')?；.JLJ1JI1.IJi11III(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 将函数f(x)的图象向左平移:个单位得到函数g(x)的图象，在ABC中，角A,B,OIaIjgC所对边分别a,b,c,若a=3,g()=*,sinB=cosA求b的值.2617. (12分)某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析,所得学

6、生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872(1) 根据表中数据，判断是否是99%的把握认为数学及格与物理及格有关”；(2) 从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率./,221.1'I1I"'附：x2=.P(X2>k)0.1500.1000.0500.010k2.0722.7063.8416.63518. (12分)在四棱锥P-ABCD中，PCL底面ABCDM,N分别是PD,PA的中点，ACLAD,ZACDW

7、ACB=60,PC=AC(1) 求证：PM平面CMN;(2) 求证：AM/平面PBC19. (12分)已知等差数歹Uan的首项a1=2,前n项和为S，等比数歹Ubn的首项b1=1,且a2=b3,S3=6b2,nN.(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 数列Cn满足Cn=bn+(-1)nan,记数列Cn的前n项和为Tn,求Tn.20. (13分)已知函数f(x)=ex-1-xaR.(1) 若函数g(x)=(x-1)f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求a的范围；(2) 当a<-1时，证明：f(x)<0对任意x£(0,1)成立.21. (14分)已知椭圆E:七+&

8、quot;=(a>b>0)的离心率是勺，点P(1,三)在椭圆E上.(1) 求椭圆E的方程；(2) 过点P且斜率为k的直线l交椭圆E丁点Q(xq,yo)(点Q异丁点P),若0<xq<1,求直线l斜率k的取值范围；(3) 若以点P为圆心作n个圆Pi(i=1,2,，n),设圆R交x轴丁点Ai、Bi,且直线PA、PB分别与椭圆E交丁Mi、Ni(Mi、Ni皆异丁点P),证明：M1N1IIMN/I/IMnNn.2018年高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）I1. （5分）设全集U=x£R|x>0,函数f（x）=m的定

9、义域为A,则？UA为（A.（0,eB.（0,e）C.（e,+QD.e,+Q【分析】先求出集合A,由此能求出CuA.【解答】解：.全集U=x£R|x>0,函数f（x）=虹的定义域为A,A=x|x>e,-?uA=x|0<x<e=（0,e.故选：A.【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用.2. （5分）设复数z满足（1+i）z=-2i,i为虚数单位，贝Uz=（A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i【分析】利用复数的运算法则、共轴复数的定义即可得出.m-2i（i-i）【解答】解：（1+1）z=2i,贝Uz=寻-ri，.=i

10、11u（1+0（1-0故选：B.【点评】本题考查了复数的运算法则、共轴复数的定义，考查了推理能力与计算能力，届于3. （5分）已知A（1,-2）,B（4,2）,则与；反方向的单位向量为（ruJ34343*31A.(-55)B.(5,-5)C.(-5，-S)D.5）【分析】与、反方向的单位向量=-矣=,即可得出.|AB|【解答】解:云(3,4).二与&反方向的单位向量故选：C.【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力,届丁基础题.4. （5分）若m=0.52,n=20'5,p=log20.5,则（）A.n>m>pB.n>p&

11、gt;mC.m>n>pD.p>n>m【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出.【解答】解：m=0.52=：,n=20.5=2>1,p=log20.5=-1,则n>m>p.故选：A.【点评】本题考查了指数函数对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，届丁基础题.5. （5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（n=lA.19B.20C.21D.22【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是计算S=1+2+3+n>210时n的最小自然数值，求出即可.【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算S=1+2+3+n&g

12、t;210时n的最小自然数值,_n（n-1）_由S=>210,解得n>20,输出n的值为20.故选：B.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题.6. （5分）已知p:x>k,q：（x-1）（x+2）>0,若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A.（-8,-2）B.-2,+QC.（1,+QD.1,+00）【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出.【解答】解：q:（x-1）（x+2）>0,解得x>1或x<-2.乂p:x>k,p是q的充分不必要条件，则实数k>1.故选：C.【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑

13、的判定方法，考查了推理能力与计算能力，届丁基础题.7. （5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001,002,，600,利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006,则在编号为051125之间抽得的编号为（）A.056,080,104B.054,078,102C.054,079,104D.056,081,106【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔._,一，一一60U_,A【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔=25个号抽到一个人，则以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6,31,56,8

14、1,106,故选：D.【点评】本题主要考查系统抽样方法的应用，解题时要认真审题，是基础题.598. （5分）若直线xq兀和x=兀是函数y=sin（3H（|）（必>0）图象的两条相邻对称轴，贝U4的一个可能取值为（3jL7E-Tt-7LA.B-C.侦D.d（3>0）图象的两条相邻对称轴，可得4的取值.一、5“9【分析】根据直线x=兀和x=兀是函数y=sin（3H（|）44兀时，函数y取得最大值，即可求出5周期T,利用x=|【解答】解：由题意，函数y的周期T=2Tt.，函数y=sin(x+4).，5一，一“，一，-一，一一5冗当x=兀时，函数y取得取大值或者:取小值,即sin(+4)=

15、±1,44,71.,y+版371.一_.4=k%,kZ.4IE当k=1时，可得g.4故选：D.【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用，届丁基础题.|3案+y=6<fl|+rV),则z=；的最大值为()111_A.rB-C.2D.3口A-1)，,，一十.,V+1,，-，一【分析】作出不等式组对应的平面区域，z三|的几何意义是区域内的点到定点(-1,X*1的斜率，利用数形结合进行求解即可.Mx+y-6<0v+i【解答】解：作出约束条件x-yV所对应的可行域(如图阴影)，z=1的几何意义是区域内的点到定点p(-1,-D的斜率，由图象知可知PA的斜率最大，,fX】_由

16、+v-6=0,侍A(1,3),m3+1则z=2,即z的最大值为2,故选：C.-4-5【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，届中档题.10. (5分)函数f(x)=的图象与函数g(x)=log2(x+a)(aR)的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是().-一3-3一3A.a>1B.avFC.a>1或a<D.a>1或a<-|44|4【分析】作出f(x)的图象和g(x)的图象，它们恰有一个交点，求出g(x)的包过定点坐标，数形结合可得答案.【解答】解：函数f(x)=2七与函数g(x)的图象匕们恰有一个父点，f(x)图象过点(1,

17、1)和(1,-2),而，g(x)的图象包过定点坐标为(1-a,0).从图象不难看出：至Ug(x)过(1,1)和(1,-2),它们恰有一个交点，当g(x)过(1,1)时，可得a=1,包过定点坐标为(0,0),往左走图象只有一个交点.当g(x)过(1,-2)时，可得a=-：,包过定点坐标为(£,0),往右走图象只有一个交点.|4一3a>1或av.故选：D.【点评】本题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用.数形结合的思想.届丁中档题.二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. （5分）已知直线l:x+y-4=0与坐标轴交丁A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆

18、的标准方程为（x-2）2+（y-2）2=8.【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案.【解答】解：根据题意，直线l:x+y-4=0与坐标轴交丁（4,0）、（0,4）两点，即A、B的坐标为（4,0）、（0,4）,经过O、A、B三点的圆，即AOB的外接圆，而AOB为等腰直角三角形，则其外接圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，则有2r=|AB|=4盘，即r=2）圆心坐标为（2,2）,其该圆的标准方程为（x-2）2+（y-2）2=8,故答案为:（x-2）2+（y-2）2=8.16【点

19、评】本题考查圆的标准方程，注意直角三角形的外接圆的性质.12. （5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为AAA【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥.【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥.,.该几何体的体积V=2*-f"2=r.故答案为：:.3【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力,届丁基础题.八，4、”21、“13. (5分)在0,a(a>0)上随机抽取一个实数x,若x满足.<0的概率为>则实数aX十A的值为4.【分析】求解分式不等式得到x的范围，再由测度比为

20、测度比得答案.【解答】解：由x|0,得-1<x<2.乂x>0,0<x<2._21一满足0Vx<2的概率为七，得a=4.a202a故答案为：4.【点评】本题考查几何概型，考查了分式不等式的解法，是基础的计算题.14. (5分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,t)(t>0)至U焦点的距离为5,双曲J线滂=1(a>0)的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为2.【分析】设M点到抛物线准线的距离为d,由已知可得p值，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，M4='，解得实数a的值.IIaa【解答】解：设M

21、点到抛物线准线的距离为d,则|MFI=d=l+=5，则p=8,2|所以抛物线方程为y2=16x,M的坐标为(1,4)；,3乂双曲线的左顶点为A(-a,0),渐近线为y=±,a4-04,43直线AM的斜率k=，由=，解得a=3.I+411+M1aAa的值为3,故答案为：3.【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，届丁中档题.15. (5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=Z,，-15-3若存在xo1,2使得等式af(x°)+g(2x°)=0成立，贝U实数a的取值范围是_,

22、-厂42【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数g(x)和偶函数f(x)的表达式，将等式af(x)+gA-*(2x)=0,令t=2x-2x,贝Ut>0,通过变形可得a=t+，讨论出右边在x1,2的取大值，可以得出实数a的取值范围.【解答】解：解：g(x)为定义在R上的奇函数，f(x)为定义在R上的偶函数，f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),乂,由f(x)+g(x)=Z，结合f(x)+g(x)=f(x)-g(x)=2x,/、1/-、/、】/x.f(x)乙(2x+2x),g(x)=_(2x-2x).J,、一a一1c。等式af(x)+g(2x)=0,化简为日(2x+2x)+(22x22x)

23、=0.4J:.a=2x-2x厂15x1,2,.待V2x-2xV1,24)53贝U实数a的取值范围是-F,4P故答案为：-",-£.42【点评】题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式包成立等知识点，届丁难题.合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键.届丁中档题三、解答题(共6小题，满分75分),八、一，、一，3一、一16.(12分)已知向重=(sinx,-1),=(cosx,)，函数f(x)=(+)?.mn2innm(1) 求函数f(x)的单调递增区间；.一，.一一.h.一，.,(2) 将函数f(x)的图象向左平移8个单位得到函数

24、g(x)的图象，在ABC中，角A,B,C所对边分力Ua,b,c,右a=3,g()=.,sinB=cosA求b的值.£6【分析】(1)运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；(2)运用图象变换，可得g(x)的解析式，由条件可得sinA,cosAsinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值.【解谷】解：(1)向重*(林，-1),n=(cosxf),函数f(x)=(益+；)%；=(sinx+cosx).O.-11-1=sin2x+sinxcosk-=-sin2-t(12sin2x)222?(sinx,-1)11c旧.小f=s

25、in2x-cos2x=sin(2x)2224|由2k可得k兀<x<kkez,kZ,一.一H.即有函数f(x)的单调递增区问为kTt-G(2)由题意可得g(x)3r一,k7i+&,kZ;，应-)=sin2x,即sinA=.,cosA=±1-在ABC中，sinB=cosQ0,可得sinB甘,由正弦定理”=,sinAsiiiB口asinBf*3j-可得b=一=30sinAJ%3【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的包等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，届丁中档题.17. (12分)某校举行高二理科学生的数

26、学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析,所得学生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872(1) 根据表中数据，判断是否是99%的把握认为数学及格与物理及格有关”；(2) 从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率./,22附：x2=.P(X2>k)0.1500.1000.0500.010k2.0722.7063.8416.635【分析】(1)根据表中数据，计算观测值X2,对照临界值得出结论；(2)分别计算选取的数学及格与不及格的人

27、数，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值./648【解答】解：(1)根据表中数据，计算x2=7216'")=三8.416>6.635,4428363677因此，有99%的把握认为数学及格与物理及格有关”；8(2)选取的数学及格的人数为7X=2人，2(选取的数学不及格的人数为7X；。=5人，设数学及格的学生为A、B,不及格的学生为c、d、e、f、g,则基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg>cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21个，其中满足条件的是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be

28、、Bf、Bg共11个，故所求的概率为P='.21【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题.18. （12分）在四棱锥P-ABCD中，PCL底面ABCRM,N分别是PD,PA的中点，ACLAD,ZACDWACB=60,PC=AC（1）求证：PM平面CMN;（2）求证：AM/平面PBC【分析】（1）推导出MN/AD,PCLAD,AD±AC,从而ADL平面PAC进而ADLPAMN±PA再由CNLPA能证明PAL平面CMN.（2）取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,推导出MQ/PC,从而MQ/平面PBC再求出AQ/平面，从而平面AMQ/平面PC己由此

29、能证明AM/平面PBC【解答】证明：（1）VM,N分别为PDPA的中点，MN为/PAD的中位线，二MN/AD,.PC项面ABCDAD行面ABCDaPCXAD,乂.ADLAC,PCAAC=C.ADL平面PACAD±P&.MN±PA,乂.PC=ACN为PA的中点，二CNLPA,.MNACN=NMN?平面CMN,CM?平面CMN,PH平面CMN.解（2）取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,.MQ是PCD的中位线，MQ/PC,乂.PC歼面PBCMQ?平面PBC.MQ/平面PBCAD!AC,ZACD=60,二ZADC=30.ZDAQ=ZADC=30,二ZQAC=ZACQ=60,

30、.ZACB=60,.AQ/BC,.AQ行面PBCBC歼面PBC.AQ/平面PBC.MQnAQ=Q.平面AMQ/平面PCB.AM?平面AMQ,.AM/平面PBC【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题.19. (12分)已知等差数歹Uan的首项ai=2,前n项和为S，等比数歹Ubn的首项bi=1,且a2=b3,S3=6b2,nN.(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 数列Cn满足Cn=bn+(T)哈，记数列Cn的前n项和为Tn,求Tn.【分析】(

31、1)设等差数歹0an的公差为d,等比数歹Ubn的公比为q.根据a=2,b=1,且a2=b3,S3=6b2,nN.一小c3x2”、L一，一可得2+d=q2,3X2+,d=6q,联立解得d,q.即可得出.Xr(2)Cn=bn+(-1)nan=2n1+(-1)n?2n.可得数列Cn的前n项和为Tn=1+2+4+2n1+2+4-6+8+-+(-1)n?2n=2n-1+-2+4-6+8+-+(-1)n?2n.对n分类讨论即可得出.【解答】解：(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.a=2,b1=1,且a2=b3,S3=6b2,nN*.2+d=q2,3X2+-d=6q,£联立解彳

32、导d=q=2.-an=2+2(n-1)=2n,bn=2n1.(2)Cn=bn+(1)nan=2n1+(1)n?2n.数列Cn的前n项和为Tn=1+2+2+2n1+-2+4-6+8+-+(-1)n?2n=、】+-2+4-6+8+(-1)n?2n=2n-1+-2+4-6+8+(-1)n?2n.n为偶数时,Tn=2n-1+(-2+4)+(-6+8)+(-2n+2+2n).=2n-1+n.、，一cn-1n为奇数时，Tn=2n-1+2x。-2n.=2n-2-n.孔If为偶数Tn=ELm口为奇数【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，届丁中档题.2

33、0. (13分)已知函数f(x)=ex-1-ki，aR.(1) 若函数g(x)=(x-1)f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求a的范围；(2) 当a<-1时，证明：f(x)<0对任意x£(0,1)成立.【分析】(1)求出导函数，由题意可知f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，相当丁导函数有一个零点;(2)问题可转换为(x-1)(ex-1)-ax>0包成立，构造函数G(x)=(x-1)(ex-1)-ax,通过二次求导，得出结论.【解答】解：(1)g(x)=(x-1)(ex-1)-ax,g'(x)=xe-a-1,g''(x)=ex(x

34、+1)>0,f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，g'(0)=-a-1<0,g'(1)=e-a-1>0,一a<a<e-1；(2)当a<-1时，f(x)<0,-(x-1)(ex-1)-ax>0包成立，令G(x)=(x1)(ex-1)ax,G'(x)=xe-a-1,G''(x)=ex(x+1)>0,G'(x)在(0,1)单调递增，G'(x)»G'(0)=-a-1»0,G(x)在(0,1)单调递增，.G(x)>G(0)=0,(x1)(ex1)ax>0,.当a<-1时，f(x)<0对任意x(0,1)成立.【点评】本题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导.21. (14分)已知椭圆E