2018届中考数学复习《旋转问题》专项训练

1、中考数学题型专项训练：旋转问题1. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0,2),ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点(不与O点重合),将线段AP绕A点按逆时针方向旋转60°,P点的对应点为点Q.(I)求点B的坐标；(II)当点P在x轴负半轴运动时，求证：ZABQ=90°(m)连接OQ,在点P运动的过程中，当OQ平行AB时，求点P的坐标.第1题图解:(I)如解图，过点B作BC±x轴于点C,AOB为等边三角形，且OA=2,AOB=60°,OB=OA=2,ZBOC=30°,而ZOCB=90°,BC=OB=1,OC=3,2.点B

2、的坐标为B(J3,1);(n).APQ、AOB均为等边三角形，AP=AQ,AO=AB,ZFAQ=ZOAB,ZFAO=ZQAB,在APO与AQB中，PAO=QAB,AO=AB.APOAAQB,ZABQ=ZAOP=90°（m）当点P在x轴正半轴上时，.ZOAB=60°,.将AP绕点A逆时针旋转60°时,点Q在点B上方，OQ和AB必相交，当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，.AB/OQ,ZBQO=90°,ZBOQ=/ABO=60°.在RtBOQ中，OB=2,ZOBQ=90°/BOQ=30°,BQ=73,由（n）可知，APOA

3、AQB,OP=BQ=V3,此时点p的坐标为（一J3,0）.图图第i题解图2. 在直角坐标系中，OA=CD,OB=OD,CD±x轴于D,E、F分别是OB、OD中点，连接EF交AC于点G.(I)如图，若点A的坐标为(一2,0),S3cd=5,求点B的坐标；(II)如图，当OB=2OA时,求证：点G为AC的中点；(m)如图，当OB>2OA,ABO绕原点O顺时针旋转a(0°<只45°),(口)中的结论是否还成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由第2题图解:(I).A(2,0),OA=2,.CD±OD,CD=OA=2,又Saocd=5,1-XODX

4、2=5,2OD=5,OB=OD=5,-B(0,5);(n)如解图,连接EC、AE、CF.OB=2OA,CD=OA,OD=OB,e1CD=OB,2.EB=EO,OF=DF,OE/CD,OE=CD,四边形OECD是平行四边形，EC=OD,.AF=OD=EC,EC=AF,EC/AF,四边形AECF是平行四边形，AG=CG,即点G为AC的中点；(m)成立.理由：如解图，连接AE、CF,在FE上取一点H,使得CH=CF.OB=OD,OE=EB,OF=DF,OE=DF,.ZAOE=/FDC,OA=CD,.AOE丝CDF,AE=CF=CH,ZAEO=/CFD,.OE=OF,ZOEF=/OFE,.ZAEG=/

5、AEO+/OEF,ZCHG=180°/CHF=180°/CFH=180°(180°一/OFE-ZCFD)=/OFE+ZCFD,ZAEG=/CHG,.ZAGE=/CGH,.AEGACHG,AG=CG,即点G为AC的中点.图图第2题解图3. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(一8,0),直线BC经过点B(8,6),C(0,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转角度a得到四边形OA'B'C',此时边OA'与边BC交于点P,边B'C'与BC的延长线交于点Q,连接AP.(I)求证：四边形OA

6、BC是矩形；(n)在旋转过程中，当ZPAO=/POA,求P点坐标.(m)在旋转过程中，当P为线段BQ中点时，连接OQ,求OP。的面积第3题图(I)证明：.点A的坐标为(-8,0),点B(-8,6),C(0,6),COA=/OAB=/B=90°,四边形OABC是矩形.(n)解:如解图，过点P作PE±AO于点E,/FAO=ZPOA,FA=FO,.FE±AO,AE=EO=4,-F(4,6);(m)解:如解图，在RtOCQ和RtOC'Q中，CO=CO,OQ=OQRtOCQ丝RtOC'Q,.OQC=/OQC',又.OF/C'Q,.ZFOQ=/

7、OQC',ZFOQ=/FQO,FO=FQ,.BF=QF,.BF=OF=x,在RtOFC中,x2=(8x)2+62,解得：x=2.4故Saofq=JXCOXFQ=1X6=.2244图图第3题解图FA、4. 如图，在平面直角坐标系中A(J3,0),B(0,1),点P为OAB内任一点，连接PO、PB,将ABP绕着点A顺时针旋转60。得到ABP',连接PP'(I)求点B'的坐标(II)当OPA与APB满足什么条件时,PO+FA+PB的值最小，并求出此最小值(m)试直接写出(n)中的点F坐标BO第4题图解：(I)-A(J3,0),B(0,1),.AB=2,ZBAO=30&

8、#176;,将ABF绕着点A顺时针旋转60°得到ABP',.AB'=2,ZBAO=90°,B'V3,2)；(n)由旋转可得，AFF'是等边三角形，FF=FA,又.FB=FB,FO+FA+FB=FO+FF'+F'B',如解图，当O、F、F'、B'四点共线时,FO+FA+FB的值最小.当ZOFA=ZAFB=ZAFB'=120°时,FO+FA+FB的值最小，此时,PO+PA+PB=OB'=J22（V3）2=77；（m）如解图，将（n）中的opb绕着点O逆时针旋转60。得到ob&quo

9、t;P”，则/BOB'=60°,OB=OB=1.点B”的坐标为（一¥，：），由（n）可知a、P、P"、B”四点共线.点P为OB'与AB”的交点,一31根据A、B"两点的坐标可得直线AB”的解析式为y=一专x+-根据B'的坐标可得直线OB'的解析式为联立方程组，解得P（f，2）.图图第4题解图5. 如图，将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中，有ZCOD=ZABO=90°，ZOCD=45°，ZAOB=60°，且AO=CD=8.现将RtAOB绕点O逆时针旋转，旋转角为6（0°弟V180&

10、#176;庇旋转过程中，直线CD分别与直线AB，OA交于点F，G.（I）当旋转角3=45。时，求点B的坐标；（n）在旋转过程中，当GF=AF，求6的值；（m）在旋转过程中，当ZBOD=60。时，求直线AB的解析式.第5题图解：(I)如解图，过点B作BH±x轴于点H,在RtAOB中，/AOB=60°,OA=8,1OB=OA=4,2当3=45°时，即ZBOC=45°,OH=BH,OH2+BH2=42OH=BH=22,-B(22,22);(n)当75°<3<180。时，存在FA=FG(如解图)，ZA=ZFGA=30°,.ZCOG

11、=45°30=15°=/AOM,3=ZBOC=180°15°60°=105°,.当FG=AF时,3=105°(m)当点B在第一象限时(如解图)，过点B作BM±OC于点M,.ZBOD=60ZBOC=30°,3,.B(2、3,2),OM=OB?cosZBOC=4X=2V3,BM=OB?sinZBOC=4X-=2,点A在y轴上A(0,8),设直线AB的解析式为y=kx+b,2.3kb=2b=8解得:k=招b=8直线AB的解析式为：y=J3x+8;当点B在第二象限时，（如解图）,过点B作BEXx轴于点E,过点A作

12、AH±BE于H,/BQD=60°,.ZBQE=30°,.ZEBQ=60°,.ZABH=30°,又.QB=4,.QE=QB?cosZBQE=4X吏=2V3,BE=QB?cos/BQE=4X=2,22.B(-273,2),.ZBEQ=/AHB=90°,ZABH=/BQE,.QBEABAH,BEQEQB1,AHBHAB、.3AH=23,BH=6-A(473,4)设直线AB的解析式为y=kx+b,2,3kb=24、3kb=4第5题解图6. 如图.在平面直角坐标系中，点A(3,0),B(0,-4),C是x轴上一动点，过C作CD/AB交y轴于点D

13、.(I)求的值;OD(n)若以A,B,C,D为顶点的四边形的面积等于54,求点C的坐标；(m)将AOB绕点A按顺时针方向旋转90。得到AO'B',设D的坐标为(0,n),当点D落在AO'B'内部(包括边界)时,求n的取值范围.(直接写出答案即可)第6题图解:(I).点A的坐标是(3,0),B的坐标是(0,4),OA=3,OB=4.CD/AB,.AOBsCOD,OCOA3-ODOB4(n)设OC=3x,则OD=4x,则AC=3+3x,BD=4+4x,当点C在x轴负半轴上时：.四边形ABCD的面积是54,1 1-AC?BD=54,即一(3+3x)(4+4x)=54,

14、2 2解得:x=2或一4(舍去).则点C的坐标是(一6,0);当点C在x轴的正半轴上时，一1一一1S四边形abcd=X3x?4xX3X4=54,22解得：x=VTO或x=-JT0(舍去).则点C的坐标是(3源0,0);(m)O'的坐标是(3,3),则O'B'与y轴的交点坐标是(0,3);则B'的坐标是(-1,3).设AB'的解析式是y=kx+b,3kb=0根据题意得：，kb=33k=解得：49b=4则函数的解析式是y=_349x+4、9当x=0时,y=即直线AB'与y轴的交点是(0,').445一口9则n的氾围是一<n<3.B

15、'iy(Y0B/Ax第6题解图7. 如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,0为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上,OA=9,OC=15,将矩形纸片0ABC绕0点顺时针旋转90°得到矩形OAiBiCi.将矩形OAiBiCi折叠,使得点Bi落在x轴上,并与x轴上的点B2重合,折痕为AiD.(I)求点B2的坐标；(n)求折痕AiD所在直线的解析式；(m)在x轴上是否存在点P,使得/BPBi为直角？若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.H第7题图解：(I)由条件知，B2Ai=BiAi=BA=15,AiO=BiCi=BC=9,.在RtAA1OB2中，0B2=JA

16、B；_=12,.,点B；坐标为(12,0);(n)B2Ci=1512=3,DCi=m，则BiD=9m,BiD=B2D,Jm9=9-m,解得m=4,D点的坐标为(15,4),又vAi(0,9),设折痕Aid所在直线的解析式为y=kx+b(k乒0)9=b,4=15kb1 k解得3,b=9即折痕Aid所在直线的解析式为y=-x+9;3(m)假设存在p点，.ZBFA+ZBPBi+/BiPCi=180°,ZBPBi=90°,BFA+/BiFCi=90°,.ZBAF=90o,ZABF+/BFA=90o,ZABP=ZB1PC1.ABP=B1PC1在BAP和PCiBi中'

17、BAP=PC1B1=90.BAPAPC1B1.ABAP-=C1PC1B1.AB=15,C1B1=9,AC1=24，设PC1的长为m,15_24m解得m1=15或m2=9.经检验m1=15或m2=9是方程的两根,当PC1=15时,P点坐标为(0,0);当PC1=9时,P点坐标为(6,0).综上所述,P点坐标为(0,0),(6,0).第7题解图8. 如图，在平面直角坐标系中，已知AOB是等边三角形，点A的坐标是(0,4),点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到ABD.(I)求点B的坐标及直线AB的解析式；(n)当点P运动到点(

18、t,0)时，试用含t的式子表示点D的坐标；(m)是否存在点P,使opd的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐4标(直接写出结果即可)I)B0P第8题图解：（I）如解图，过点B作BE±y轴于点E,作BF±x轴于点F.由已知得：BF=OE=2,.OF=4222=20.点B的坐标是（2龙,2）.设直线AB的解析式是y=kx+b（k丰0）2.3kb=2k=3则有，3.A4b=4直线AB的解析式是y=-乎+4;(n).ABD由AOP旋转得到,.ABDAAOP./AP=AD,ZDAB=ZPAO.ZDAP=ZBAO=60°,.ADP是等边三角形.如解图，过点D作DH

19、77;x轴于点H,延长EB交DH于点G,则BG±DH.在RtBDG中，/BGD=90°,ZDBG=60°,。1t.3-BG=BD?cos60=tX=-.DG=BD?sin60°=t.OH=EG=2右+:t,DH=2+t.点D的坐标为（2J31 3+_t,2+t);2 2假设存在点P,在它的运动过程中、OPD的面积等于如设点P为（1,0）,下面分4种情况讨论:3当1>0时，如解图,BD=OP=1,DG=L1,.DH=2+如12.OPD的面积等于,.11（2+争=乎212.3、2123-11=,12=:(舍去).上、,2123.点Pi的坐标为（,0）.

20、当D在x轴上时，如解图,根据锐角三角函数求出bd=op=43，“4.33当VIV。时，如解图，BD=OP=1,BG=132'33DH=GF=2(1)=2+1.2 2.OPD的面虹4，13、321(2+,点P2的坐标为（一",0）,点P3的坐标为（一J3,0）.3当1。匝时,bd=OP=-1,BG=-亟13 2'.1(_t)(-2-£)=亟224212“3,212.3t=,t2=(舍去).33上212.3点P4的坐标为(,0).一，、，2123综上所述,点P的坐标分别为Pi(,0)第8题解图9. 在平面直角坐标系中，点A(2,0),B(2,0),C(0,2),

21、点D,点E分别是AC,BC的中点,将CDE绕点C逆时针旋转得到CD'E',旋转角为a,连接AD',BE'.(I)如图,若0°<aV90°,当AD'/CE'时，求a的大小；(n)如图,若90°<av180°,当点D落在线段BE'上时，求sin/CBE'的值；(m)若直线AD'与直线BE'相交于点P,求点P的横坐标m的取值范围.解：(I)如解图,-A(-2,0),B(2,0),C(0,2),OA=OB=OC,.ZACB=90°,CD'E是CDE旋转得

22、到的，.ZDCE'=90°,.AD'/CE'ZAD'=ZD'E'=90°,-D为AC的中点，.CD=eAC,cd=cd"cd=2ac,在RtACD,cos«=CDC=2.a=60°；(n)设F为D'E'的中点，连接CF,如解图,.CD=CE,ZECD=90°,CF±BE,CF=1DE=12,又.BC=OB2OC2=2.2,*、,CF&.在RtBCF中,sin/CBE=BC4(m)如解图中，以C为圆心，CD'为半径作OC,当BE'与OC相切时AP最长，则四边形CDPE是正方形，作PH±AB于H.CD，CD=1AC=J2,2OC的半径为J2,.在RtACD'中,AD=J（2V2）2（V2）2V6,AP=AD'+PD=yJ6+显,.cosZPAB=,AH=2+石，ABAP