2022年《2.3数学归纳法》同步练习1

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -2.3 数学归纳法同步练习基础巩固训练一、挑选题 每道题 3分，共 18分*1. 某同学回答“用数学归纳法证明<n+1 n N ”的过程如下：证明：当 n=1时，明显命题是正确的；假设当n=k k 1， k N* 时，有<k+1，那么当 n=k+1时，=<= k+1+ 1，所以当 n=k+1时命题是正确的. 由可知对于n N* ，命题都是正确的 . 以上证法是错误的，错误在于A. 从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设B. 假设的写法不正确C. 从k到k+1的推理不严密 D. 当n=1时，验证过程不详细

2、【解析】 选A. 分析证明过程中的可知，从k到k+1的推理过程中没有使用归纳假设，故该证法不能叫做数学归纳法.2. 2021·广州高二检测 用数学归纳法证明3n n3 n 3， nN* ，第一步验证A. n=1B. n=2C. n=3D. n=4【解析】选 C. 由题意知 n 3， nN* ，第一步应验证n=3.*3. 某个命题与正整数n有关，如 n=k k N 时，该命题成立，那么可推得n=k+1时，该 命题也成立 . 现在已知当 n=5时，该命题不成立，那么可推得A. 当n=6时该命题不成立B. 当n=6时该命题成立C. 当n=4时该命题不成立D. 当n=4时该命题成立【解析】选

3、 C. 原命题正确，就逆否命题正确. 故应选 C.4. 2021·洋浦高二检测 已知 f n=+ +,+，就 A. f n 中共有 n项，当 n=2时， f 2=+B. f n 中共有 n+1项，当 n=2时， f 2= 1+ + +C. f n 中共有 n2- n+2项，当 n=2时， f 2= 1+ +精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -D. f n 中共有 n2- n+1项，当 n=2时， f 2= 1+ + +【解析】选

4、 C. 由条件可知，f n 共有项数为 n2- n- 1+ 1=n2- n+2项，且 n=2时， f 2=+ + + . 应选 C.5. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被 x+y整除”，其次步归纳假设应写成A. 假设 n=2k+1 kN* 时正确，再推 n=2k+3时正确*B. 假设 n=2k- 1 kN 时正确，再推 n=2k+1时正确C. 假设 n=k k N* 时正确，再推n=k+1时正确D. 假设 n=k kN* 时正确，再推 n=k+2时正确【解析】选 B. 要留意 n为正奇数 .6. 用数学归纳法证明“凸n n 3，n N 边形的内角和公式”时，由n=k到n=k+1

5、时增加 的是 A.B. C.D. 2【解析】选 B. 由n=k到 n=k+1时，凸 n边形的内角和增加的是1+2+ 3=.二、填空题 每道题 4分，共 12分7. 用数学归纳法证明| n2- 5n+5| 1时，需证明的第一个n值是 .【解析】验证可知. n=1， 2， 3， 4时， | n2- 5n+5|= 1， n=5时， | 52- 5× 5+5| 1， n=6时，| 62- 5×6+5| 1，所以需验证的第一个n值应为 5.答案： 58. 2021·宁波高二检测 用数学归纳法证明：+,+>-. 假设 n=k时，不等式成立，就当n=k+1时，应推证的目标

6、不等式是 .【解析】从不等式结构看，左边n=k+1时，最终一项为，前面的分母的底数是连续的整数 . 右边 n=k+1时，式子-. 即不等式为+,+> -.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -答案：+,+> -9. 2021·武汉高二检测 用数学归纳法证明12+22+,+ n- 1 2+n2+ n- 1 2 +,+22+12=时，由 n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是 .【解析】依据等式左边的特点，

7、各数是先递增再递减，由于n=k，左边 =12+22+,+ k- 1 2+k2 + k- 1 2+,+22+12， n=k+1时，左边 =12+22+,+ k- 1 2+k2 + k+1 2+k2+ k- 1 2+,+22+12，比较两式，从而等式左边应添加的式子是 k+1 2+k2.答案： k+1 2+k2三、解答题 每道题 10分，共 20分 10. 用数学归纳法证明1× 4+2× 7+3×10+,+n 3n+1= n n+1 2 其中 n N* .【证明】 1 当n=1时，左边 =1× 4=4，右边 =1×22=4，左边 =右边，等式成立.

8、 2 假设当 n=k k 1，k N* 时等式成立， 即1× 4+2× 7+3× 10+,+k 3k+1= k k+1 2，那么，当 n=k+1时，1× 4+2×7+3× 10+,+k 3k+1+ k+1 · 3 k+1+ 1=k k+1 2+ k+1 3 k+1+ 1= k+1 · k2 +4k+4= k+1k+1+1 2，即当 n=k+1时等式也成立.依据 1 和 2 ，可知等式对任意n N* 都成立 .11. 2021·莆田高二检测 设函数 y=f x 对任意实数 x， y都有 f x+y= f x

9、+ f y+ 2xy. 1 求f 0 的值 . 2 如f 1= 1，求 f 2 ， f 3 ， f 4 的值 . 3 在 2 的条件下，猜想f n n N* 的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解析】 1 令x=y=0，得 f 0+0= f 0+ f 0+ 2× 0× 0. f 0= 0. 2 f 1= 1， f 2= f 1+1= 1+1+2=4，f 3= f 2+1= 4+1+2× 2× 1=9，f 4= f 3+1= 9+1+2× 3× 1=16. 3 猜想 f n= n2，下面用数学归纳法证明.当n=1时， f 1= 1满意条

10、件 .假设当 n=k k N* 时成立，即 f k= k2 ，就当 n=k+1时， f k+1= f k+ f 1+ 2k=k2+1+2k= k+1 2，从而可得当n=k+1时满意条件，所 以对任意的正整数n，都有 f n= n2.才能提升训练精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -一、挑选题 每道题 4分，共 16分*1. 2021·长春高二检测 用数学归纳法证明等式1+2+3+,+ n+3= n N时，第一步验证n=1时，左边应

11、取的项是A. 1B. 1+2C. 1+2+3D. 1+2+3+4【解析】选 D. 在等式 1+2+3+,+ n+3= n N* 中，当 n=1时， n+3=4，而等式左边是起始为1的连续的正整数的和，故当n=1时，等式左边的项为1+2+3+4，应选 D.22. 用数学归纳法证明1+2+3+,+n2=，就当 n=k+1时，左端应在 n=k的基础上增加 A. k +1B. k+1 2C.D. k2+1+ k2+2+ k2+3+ ,+ k+1 2【解析】选 D. 当n=k时，等式左端 =1+2+,+k2 ，当 n=k+1时，等式左端 =1+2+,+k2+ k2+1+ k2 +2+ k2+3+ ,+

12、k+1 2，增加了 2k+1项.3. 已知 n为正偶数，用数学归纳法证明1-+-+,+-=2时，如已假设 n=k k 2且k为偶数 时，命题为真，就仍需利用归纳假设再证A. n=k+1时等式成立B. n=k+2时等式成立C. n=2k+2时等式成立 D. n=2 k+2 时等式成立【解析】选 B. 由于 k为偶数，所以利用归纳假设证明时需证n=k+2时等式成立 .4. 2021·吉林高二检测 已知 f n= 2n+7 · 3n+9，存在自然数 m，使得对任意 n N* ，都能使 m整除 f n ，就 m的最大值为 A. 30B. 26C. 36D. 6【解析】选 C. 由于

13、 f 1= 36，f 2= 108=3× 36， f 3= 360=10×36，所以 f 1 ， f 2 ， f 3 都能被 36整除，估计最大的 m的值为 36，再由数学归纳法可证得，对任意 n N* ，都能使 36 整除 f n.二、填空题 每道题 5分，共 10分精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -5. 设数列的通项公式为an=，前 n项和为 Sn，就 S1= ， S2= ， S3= ，S4= ，并由此猜想出Sn

14、= .【解析】由于an=，所以 S1=a1=， S2=a1+a2= + = ， S3 =a1+a2+a3= + +=，S4=a1+a2+a3+a4=+ + +=，由此猜想 Sn=.答案：6. 已知 1+2× 3+3×32 +4× 33+,+n·3n- 1 =3n na- b+ c对一切 n N* 成立， 那么 a= ， b= ，c= .【解题指南】利用n=1， 2，3，分别建立三个等式，通过解方程组可求得.【解析】把 n=1， 2， 3代入 1+2× 3+3× 32+4× 33+,+n· 3n- 1=3n na-

15、b+ c，可得整理并解得*答案：【变式训练】 设an=1+ + +,+ n N ，猜想关于 n的整式 g n= 时，使得等式a1+a2+,+an- 1=g n an- 1 对于大于 1的一切正整数 n都成立 .【解析】假设g n 存在，探究 g n.当n=2时，有 a1=g 2 a2- 1 ， 即1=g 2 1+- 1 ，解得 g 2= 2.当n=3时，有 a1+a2=g 3 a3- 1 ，即1+1+=g 3 1+ + - 1 ，解得 g 3= 3.当n=4时，同样可解得g 4= 4.由此猜想 g n= n n N* ，且 n 2.答案： n三、解答题 每道题 12分，共 24分7. 2021

16、·南昌高二检测 用数学归纳法证明tan ·tan2+tan2 ·tan3 +,+tan n- 1精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - - · tann =- n n 2， nN* .【证明】当n=2时，左边 =tan · tan2 .右边 =- 2=·- 2=- 2=tan ·tan 2 .所以左边 =右边，等式成立.*假设 n=k k 2，k N 时等式成立，即有tan

17、· tan2 +tan2 · tan3+,+tan k- 1 · tank =- k.当n=k+1时，利用归纳假设有，tan · tan2 +tan2· tan3 +,+tan k- 1 · tank+tank · tan k+1 =- k+tank · tan k+1 =- k= tan k+1 - tan - k=- k+1 ，所以 n=k+1时，等式也成立，故由和知，n2， nN* 时等式恒成立.【变式训练】用数学归纳法证明12+32+52+,+ 2n- 1 2= n 4n2- 1 n N* .【证明】 1

18、当n=1时，左边 =12，右边 = × 1× 4× 1- 1= 1， 左边 =右边，等式成立. 2 假设当 n=k k N* ， k 1 时，等式成立，即12+32+52+,+ 2k- 1 2= k 4k2- 1 ，就当 n=k+1时，12+32+52+,+ 2k- 1 2 + 2k+1 2= k 4k2- 1+ 2k+1 2= k 2k+1 2k- 1+ 2k+1 2= 2k+1 k 2k- 1+ 3 2k+1精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - -

19、 - - - - - - - - - -= 2k+1 2k2+5k+3= 2k+1 k+1 2k+3= k+1 4k2+8k+3= k+1 4 k+1 2- 1 ，即当 n=k+1时，等式成立.由 1 ， 2 可知，对一切n N* 等式成立 .*x+r b>0且8. 等比数列 a 的前 n项和为 S ，已知对任意的n N ，点 n， S 均在函数 y=bnnnb1， b， r 均为常数 的图象上 . 1 求r 的值 . 2 当b=2时，记 b2 log a1nN ，证明：对任意的n N ，不等式*n= 2 n+ ··, ·>成立 .【解析】 1 由题意， Sn=bn+r，当n 2时， Sn- 1=bn - 1+r，所以 an=Sn- Sn- 1=bn- 1 b- 1.由于 b>0且b 1，所以 n 2时， an 是以 b为公比的等比数列.又a1=b+r ， a2=b b- 1 ，=b， 即=b，解得 r=- 1. 2 由 1 知ann- 1 ，因此 bn* .=2=2n n N所证不等式为··, ·