电路理论-5_2一般电路系统IO微分方程的建立和求解

1、(1) 数学准备数学准备在高阶动态电路和系统分析中，为了运算在高阶动态电路和系统分析中，为了运算和书写的方便，我们引入了微分算符。和书写的方便，我们引入了微分算符。一般电路系统一般电路系统I/O微分微分 方程的建立和求解方程的建立和求解5.2.1 电路系统电路系统I/O微分方程的建立微分方程的建立l定义定义微分算符微分算符nnndtdPdtdP , 积分算符积分算符tdtPP11)()()()()()()()(11tfftfdfdtdtPfPtfdfdtdtfPPtt而将上述性质推广，可以得到如下结论：将上述性质推广，可以得到如下结论：如果如果N(P)是算符是算符P的多项式，则的多项式，则1)

2、()(1 , 1)(1)(PNPNPNpN)()()(1)()(1)(tfPNPNtfPNPN并且并且 (2) 广义阻抗广义阻抗LPPZtiPZtLPidttdiLtuLPCPPZtiPZtiCPdttiCtuCPRPZtiPZtuRLLLLLLCCCCtCCRRRR)()()()()()( 1)( )()()(1)(1)( 1 )()()()( 因为电感因为电容因为电阻方法方法2 2： 依据互联规律列依据互联规律列KCL,KVLKCL,KVL方程方程 依据元件规律列依据元件规律列VCRVCR 将将代入代入得一组微积分方程组得一组微积分方程组 引入微分算符，进行化简运算得一元高阶微分方程组。引

3、入微分算符，进行化简运算得一元高阶微分方程组。例例1：已知双耦合电路如图，试建立响应：已知双耦合电路如图，试建立响应u2(t)的的I/O微分方程微分方程解：解：1）定义广义阻抗）定义广义阻抗 2）用视察法列写节点方程：）用视察法列写节点方程：0)()()(1121titutuLPGPCCPPCPCLPGPCCPsnnMMMMun1(t) un2(t)将方程两边同时微分一次（即同左乘将方程两边同时微分一次（即同左乘P），即得：），即得：0)()()(1)(1)(212222tPitutuLGPPCCPCPCLGPPCCsnnMMMM 3）将微分方程组化为一元高阶微分方程（用克莱姆法则）将微分方程

4、组化为一元高阶微分方程（用克莱姆法则）2222322222)(1)()(det0)(1)()(PCLGPPCCtiPCPCtPiLGPPCCutuMMsMMsMn即：即：)()(12)( 2)(2)2(32223422tiPCtuLPLGPGLCCPCCGPCCCsMMMM3322222223234242)()(1)(2)()( 2)()(2)()2(dttidCtuLdttduLGdttudGLCCdttudCCGdttudCCCsMMMM注意：双耦合电路本有注意：双耦合电路本有5个动态元件，但微分方程为个动态元件，但微分方程为4阶，是因阶，是因为有一个全电容回路，即独立动态元件数只有为有一

5、个全电容回路，即独立动态元件数只有4个。所以为个。所以为4阶。阶。例例2：已知双耦合电路如图，试建立输出响应：已知双耦合电路如图，试建立输出响应i2(t)的微分方程的微分方程解解 选用网孔电流选用网孔电流i1(t)、i2(t)为变量，作出其等效电路图如上图为变量，作出其等效电路图如上图所示。据所示。据KCL，KVL和和VCR利用网孔法写出电路方程组：利用网孔法写出电路方程组：(1) )()()(1)()(2111ttedttdiMdiCtRidttdiL(2) 0)()(1)()(1222tdttdiMdiCtRidttdiL对对(1)、(2)式两边微分一次得式两边微分一次得 (3) )()(

6、)(1)()(22211212dttdedttidMtiCdttdiRdttidL(4) 0)()(1)()(21222222dttidMtiCdttdiRdttidL(5) )()()(1)()(221112tPetiMPtiCtRPitiLP(6) 0)()(1)()(122222tiMPtiCtRPitiLP 引入微分算子，对联立方程消元得到一元高阶方程：引入微分算子，对联立方程消元得到一元高阶方程：(7) )()()()1(2212tPetiMPtiCRPLP(8) 0)()1()(2212tiCRPLPtiMP即即使用克莱姆法则，解此方程组得使用克莱姆法则，解此方程组得2222322

7、22222)()1()(110)(1)(MPCRPLPteMPCRPLPMPMPCRPLPMPtPeCRPLPti)()(12)2(2)( 322223422teMPtiCPCRPCLRRLPPML33222222232342422)()(1)(2)()2()(2)()( dttedMtiCdttdiCRdttidCLRdttidRLdttidML(4) LTI(4) LTI电路系统的电路系统的I/OI/O微分方程微分方程通过上面例子，我们了解了电路系统微分方程建立的方通过上面例子，我们了解了电路系统微分方程建立的方法，同时我们也看到了电路系统微分方程所表征的电路系统法，同时我们也看到了电路系

8、统微分方程所表征的电路系统激励与响应之间的关系，即表明了电路系统输入激励与响应之间的关系，即表明了电路系统输入输出的输出的函数关系。不涉及电路系统内部，因此可以用下面框图来表函数关系。不涉及电路系统内部，因此可以用下面框图来表示。示。 这就是所谓黑箱模型。至于系统黑箱内可以是电网络系统，这就是所谓黑箱模型。至于系统黑箱内可以是电网络系统，也可以是其它物理系统、生态系统或经济系统，等等。也可以是其它物理系统、生态系统或经济系统，等等。 定义：任意一个定义：任意一个LTI单单I/O电路系统，可以用下列表示其输入电路系统，可以用下列表示其输入f(t)与输出与输出y(t)之间关系的一元之间关系的一元n

9、阶微分方程来描述：阶微分方程来描述：)()()()()()()()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnn这种描述方法称为系统时域的输入这种描述方法称为系统时域的输入输出描述法，并用如输出描述法，并用如下定义来表述下定义来表述 或者表示为微分算符形式或者表示为微分算符形式)()(01110111tfbPbPbpbtyaPaPaPmmmmnnn式中，式中，a0、a1、an-1、an与与b0、b1、bm-1、bm为常数，它为常数，它们取决于元件的数值和系统的内部结构，而与外加激励无关。们取决于元件的数值和系统的内部结构，而与外加激励

10、无关。对于一切用物理可实现的系统，输入与输出的导数最对于一切用物理可实现的系统，输入与输出的导数最高阶次高阶次n和和m都必须满足不等式：都必须满足不等式：nm。数量数量n称为系统的阶，它等于系统中独立动态元件的个称为系统的阶，它等于系统中独立动态元件的个数或独立初始条件的个数。数或独立初始条件的个数。5.2.2 初始条件的确定初始条件的确定 通常电路与系统给定的已知条件，是换路前通常电路与系统给定的已知条件，是换路前(t=0-)瞬间的状瞬间的状态即态即起始状态起始状态，而我们要求的初始条件是指换路后，而我们要求的初始条件是指换路后(t=0+)瞬间的瞬间的状态状态(初始状态初始状态)，即，即y(

11、0+)、y(1)(0+) y(n-1)(0+)，只有确定了它们，只有确定了它们之后，才能求解微分方程。之后，才能求解微分方程。(1) 没有强迫跃变时电路初始条件的确定没有强迫跃变时电路初始条件的确定(满足换路定律情况满足换路定律情况)： 如果系统中电容电流如果系统中电容电流和电感电压是有界的，那么电容端和电感电压是有界的，那么电容端电压和电感电流以及电荷和磁链都是连续的。它们不能跃电压和电感电流以及电荷和磁链都是连续的。它们不能跃变，即它们遵守换路定律：变，即它们遵守换路定律：)0()0()0()0(LLCCiiuu)0()0()0()0(qql方法步骤：方法步骤： 求求t0-时的时的iL(0

12、-)和和uC(0-) 由换路定律求由换路定律求iL(0+)和和uC(0+) 由由t=0+电路，求电路，求y(0+) 求得微分初始条件求得微分初始条件例例5.8 已知电路如图所示，开关已知电路如图所示，开关K闭合前电路已处于稳态，当闭合前电路已处于稳态，当t=0时，开关时，开关K闭合，求初始条件：闭合，求初始条件：(0 )(0 ) , CCdiidt解：解：1) 作出作出t=0-时等效电路，求出时等效电路，求出uC(0-) 和iL(0-) ：(0 )0(0 )0CLui2) 作出作出t=0+时等效电路，求出时等效电路，求出iL(0+)和和uC(0+)。因为电路中无强迫跃变，可以由因为电路中无强迫

13、跃变，可以由换路定律得换路定律得(0 )(0 )0(0 )(0 )0CCLLuuii所以所以t=0+时等效电路如图，因此时等效电路如图，因此2124(0 )2 (A) (0 )(0 )1 22 (V)1 1SCLCUiuR iRR 3) 根据电路方程和根据电路方程和t=0+时电路初始状态，确定微分初始条件时电路初始状态，确定微分初始条件(0 )Cdidt因为因为 12( )( )( )CCSRi tutR itU( )( )( )CLi titi t所以所以121() ( )( )( )CSCLRR itUutRi t即即( )2 0.5( ) 0.5 ( )CCLi tu ti t ( )(

14、 )( )0.5 ( )0.5( ) ( ) , ( )CCLCLCLditdutdititutitCutLdtdtdt 微分得微分得0( )0.5 (0 )0.5(0 )2CCLtditiudt (2) 有强迫跃变时电路初始条件的确定有强迫跃变时电路初始条件的确定(不满足换路定律情况不满足换路定律情况): 当电路中有冲击电流（或阶跃电压）强迫作用于电容，当电路中有冲击电流（或阶跃电压）强迫作用于电容，或冲击电压（或阶跃电流）强迫作用于电感，这时或冲击电压（或阶跃电流）强迫作用于电感，这时iC，uL ，即电路发生了强迫跃变，换路定律不成立，上述方，即电路发生了强迫跃变，换路定律不成立，上述方法

15、失效。通常有两种情况：法失效。通常有两种情况：. 电路形式有强迫跳变可能性；电路形式有强迫跳变可能性；. 激励信号为奇异信号时初始条件确定。激励信号为奇异信号时初始条件确定。l 电路有强迫跃变的特点：电路有强迫跃变的特点：1) 存在全部由纯电容组成的闭合回路；存在全部由纯电容组成的闭合回路；2) 存在由纯电容和理想电压源组成的闭合回路；存在由纯电容和理想电压源组成的闭合回路；. 电路形式有强迫跳变可能性情形电路形式有强迫跳变可能性情形3) 存在有全部由含电感的支路组成的节点存在有全部由含电感的支路组成的节点(割集割集)；4) 存在含电感的支路和理想电流源组成的节点存在含电感的支路和理想电流源组

16、成的节点(割集割集) 。l 方法步骤：方法步骤：. 对含电容节点列电荷守恒方程对含电容节点列电荷守恒方程 (含电感回路列磁链守恒方含电感回路列磁链守恒方 程程) 。)0()0(qq. 将将qCuC (=LiL)代入方程代入方程。. 根据根据KVL列回路方程列回路方程(根据根据KCL列节点方程列节点方程) 。. 对对和和联解，即求得电路初始条件。联解，即求得电路初始条件。)0()0(例例 已知电路如图所示，在开关已知电路如图所示，在开关K闭合前，各电容上的初始电荷为闭合前，各电容上的初始电荷为零。当零。当t=0时，开关时，开关K闭合，求闭合，求t=0+时各电容上的电压。时各电容上的电压。 解解

17、设设t 0时，时，C1，C2，C3上的电上的电荷分别为荷分别为q1，q2，q3，电压分别，电压分别为为U1，U2，U3。1) 列出电荷守恒方程式列出电荷守恒方程式在在t=0-时，与时，与A点相连的各电容极板上的总电荷为点相连的各电容极板上的总电荷为0，开关闭，开关闭合后，合后， 满足电荷守恒定律，所以：满足电荷守恒定律，所以：q(0+)= q(0-)=0123(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )0qqqqq 2)2)因为因为111222333(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )qCUqC UqC U112233(0 )(0 )(0 )0 (a)CUC UC U所以所以3) 根据

18、基尔霍夫定律对两个回路列根据基尔霍夫定律对两个回路列KVL方程方程 1223(0 )(0 ) (b) (0 )(0 )0 (c) sUUUUU 4) 联解联解(a)、(b)、(c)式得式得 231123(0 )SCCUUCCC123123(0 )(0 )SCUUUCCC例例 已知电路如图所示，在开关闭已知电路如图所示，在开关闭合后各电感中没有初始能量，当合后各电感中没有初始能量，当t=0时，开关闭合，求各电感电流时，开关闭合，求各电感电流的初始值。的初始值。解解 1) 列磁链守恒定律方程列磁链守恒定律方程因为各电感都没有初始能量，故在因为各电感都没有初始能量，故在t=0-时，由时，由L1，L2

19、，R组成组成的闭合回路所包含的磁链应等于的闭合回路所包含的磁链应等于0，即，即(0-)=0，根据磁链守，根据磁链守恒定律，恒定律，t=0+时闭合回路的总磁链则应为时闭合回路的总磁链则应为0，即：，即：12(0 )(0 )0又因为又因为)0()0( ),0()0(222111iLiL(a) 0)0()0(2211iLiL所以所以 3) 联立联立(a)，(b)求解即得：求解即得：12(0 )(0 ) (b)siiI21121212(0 )(0 )ssLiILLLiILL2) 在在t=0+时列时列KCL方程方程解解：1) 开关闭合后形成全电容回路，因此电路中独立的相当开关闭合后形成全电容回路，因此电

20、路中独立的相当与只有一个独立的电容，所以可以采用三要素分析法求与只有一个独立的电容，所以可以采用三要素分析法求u(t):)0( )()()0()(tueuutut.求求u(0+):.列电荷守恒方程：列电荷守恒方程：)0()0( qq因为)0()0()0()0( )0()0()0()0( 21212121qqqqqqqq即又因为电路又因为电路t=0-无储能无储能0)0()0( 21qq所以0)0()0(21qq.将将q=CuC代入上式得：代入上式得： (1) 0)0()0(2211CCuCuC.列回路列回路KVL方程：方程：(2) )0()0(21sCCUuu.联解联解(1)、(2)两式得：两式

21、得：)0()0(2112uUCCCusC.求求u()： 因为稳态时，因为稳态时，C开路，由分压公式可得：开路，由分压公式可得：sURRRu212)(.求求 令独立源令独立源Us=0，则可知，则可知C1和和C2并联，并联，R1和和R2并联并联 )( / 2121210212121021RRCCRRCRRRRRRRRCCC. 求求u(t) 由三要素法公式可得：由三要素法公式可得：122121212( )tsssCRRu tUUeUCCRRRR211211RRRCCC令令则电路过渡过程为则电路过渡过程为02211CRCR 采用对网络方程两边从采用对网络方程两边从0-到到0+进行积分来求得进行积分来求

22、得t=0+时的初时的初始条件始条件因为对于因为对于0-0+无穷小区间，若被积函数不是无穷小区间，若被积函数不是无穷大，则在这无穷小区间内积分为无穷大，则在这无穷小区间内积分为0。.电路形式无强迫跳变可能性，激励信号为奇异信号时初始电路形式无强迫跳变可能性，激励信号为奇异信号时初始条件确定条件确定例例 已知如图电路系统起始无储能，已知如图电路系统起始无储能，即即22(0 )(0 )0 , 0diidt解解 (1)建立电路微分方程建立电路微分方程22222222( )( )( )()2( )d i tdi tdU tLMRLR i tMdtdtdt试求试求22(0 )(0 ) , diidt222

23、222222222( )( )2( )( ) (1)d i tdi tRLRMi ttdtdtLMLMLM220002222222222200002220( )( )2( )( )d i tdi tRLRdtdti t dtdtdtLMLMMt dtLM 2000222222220000220( )2( )( )di tRLRdti t dti t dtdtLMLMMdtLM 2000222222220000220( )2( )( )di tRLRdti t dti t dtdtLMLMMdtLM 因为对于因为对于00无穷小区间，若被积函数不是无穷大，则在无穷小区间，若被积函数不是无穷大，则在

24、这无穷小区间内积分为这无穷小区间内积分为0。 0 0所以所以0)(002dtdttdi22(0 )(0 )0ii则则2(0 )0ib.求求)0(2dtdi对对(1)式两边进行一次式两边进行一次00的积分得的积分得22000222222220000220( )( )2( )( )d i tdi tRLRdtdti t dtdtdtLMLMMt dtLM22222222(0 )(0 )2 (0 )(0 )0didiRLMiidtdtLMLM0)0(2dtdi 0又又222(0 )diMdtLM)0()0(dtdydtdy(1) 当激励为奇异信号时，先建立电路方程；当激励为奇异信号时，先建立电路方程

25、；(2) 对方程两边从对方程两边从00进行适当的积分：进行适当的积分： 进行与微分方程阶次相同次的积分，求进行与微分方程阶次相同次的积分，求y(0+)-y(0-)降一阶的积分，求降一阶的积分，求5.2.3 5.2.3 ( )( )( ) hpy ty tyt自由响应强迫响应自由响应强迫响应. . 求齐次方程的齐次解求齐次方程的齐次解( (自由响应自由响应) )求特征方程的特征根求特征方程的特征根 00111aaannn查下表得齐次解查下表得齐次解(系数系数Ai未定未定)特征方程特征方程的根的根齐次解表达式齐次解表达式特征根互异特征根互异(即无重根即无重根)特征根有特征根有k重根重根特征根有一特

26、征根有一对共扼复根对共扼复根j2, 11111111( )kintttthkkii ky tA eA teAteAe 12121( )nintttthniiytAeA eA eAe123(t)(cossin)intthiiyeAtAtAei表表5.1 齐次解表达式齐次解表达式. 求齐次方程的特解求齐次方程的特解(强迫响应强迫响应)对于一般激励信号，特解的求取是困难的，但对于一对于一般激励信号，特解的求取是困难的，但对于一些典型激励信号，特解的函数形式与激励形式有关。将激些典型激励信号，特解的函数形式与激励形式有关。将激励函数代入微分方程的右端，代入后，右端的函数式称为励函数代入微分方程的右端，

27、代入后，右端的函数式称为“自由项自由项”。通常，由观察自由项试选特解函数式，再代。通常，由观察自由项试选特解函数式，再代入方程求得特解函数式。入方程求得特解函数式。 )()()()()()()()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnn 自由项自由项部分特解函数式列于下表部分特解函数式列于下表 自由项自由项(典型激励信号典型激励信号)响应响应y(t)的特解的特解yp(t)E(常数常数)pttetsintcos1121( )PPpPpytBtB tB tB( )tpytBe12( )cossinPytBtBttettPcos111

28、1( )()cos)sinptPpPptppytBtB tBetC tC tCet( )pytBtettPsin表表5.25.2特解表达式特解表达式注：（1）表中B，C是待定系数。 （2）若f(t)由几种激励函数组合，则特解也为其相应的组合。 （3）若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项，即t倍乘表中特解；若这种重复形式有k次（特征根为k重根），则依次倍乘t2，tn诸项。例如 ，而齐次解也是 ，则特解为 ；若是k重根，则特解为tetf)(tettteBteB10tktktkeBetBetB110 将将yp(t)代入非齐次方程，通过比较系数法，求得其系数。代入非齐次方程，通过比较系数法

29、，求得其系数。. 由已知起始条件，求得初始条件；由已知起始条件，求得初始条件；. 由完全解和初始条件定出通解系数由完全解和初始条件定出通解系数Ai，即得全解，即得全解y(t)()()(tytytyzszp. . 由已知起始条件求得初始由已知起始条件求得初始条件；条件；. . 求零输入响应求零输入响应( )(1)(1)110(1)( )( )( )( )0 (0 ),(0 ),(0 )nnnnytayta yta y tyyy求特征方程的特征根求特征方程的特征根 00111aaannn查表查表5.1 得得yzp(t)(系数系数Ai未定未定)( )(1)(1)110()(1)(1)110(1)(

30、)( )( )( )( )( )( )( ) (0 )0,(0 )0,(0 )0nnnmmmmnytayta yta y tb ftbftb ftb f tyyy解法同方法解法同方法1，所以可求得，所以可求得. 叠加：叠加：)()()(tytytyzszp(2) 两种解法的区别两种解法的区别l 相同点相同点零输入响应和自由响应都具有相同的函数形式，都满足齐零输入响应和自由响应都具有相同的函数形式，都满足齐次微分方程。次微分方程。零状态响应与强迫响应都仅仅与输入激励有关，与电路无零状态响应与强迫响应都仅仅与输入激励有关，与电路无关。关。l 不同点不同点确定待定系数确定待定系数Ai的先后次序不一样

31、的先后次序不一样 自由响应零输入响应零状态响应中的自由分量自由响应零输入响应零状态响应中的自由分量 强迫响应零状态响应中的强迫分量强迫响应零状态响应中的强迫分量12( )sin2( ), (0 )0,(0 )0CCe ttU tuu且0)(t 2sin6)(6)(7)(2) 1 (2)2(2ttututu067212=-1 , 6 6212( )tthutk ek e所以通解为所以通解为(2) 求特解：求特解： 因为激励是正弦，所以因为激励是正弦，所以212( )sin2cos2PutBtBtB1B2ttBtBtBtBdtdtBtBdtd2sin6)2cos2sin( 6)2cos2sin(7

32、)2cos2sin(21212122ttBBtBB2sin62cos)214(2sin)142(2121112122324650 14202150BBBBBB 6212321( )sin2cos25050ttu tk ek ett(4) 求初始条件，定系数求初始条件，定系数ki1122(0 )0(0 )0 (0 )0(0 )0CCCCuuuu由换路定律由换路定律因为流过因为流过R2得电流即为得电流即为iC2，而而1222(0 )(0 )(0 )0CCCuuiR222(0 )(0 )0CCdiidtC故方程的初始条件为：故方程的初始条件为：22(0 )0(0 )0CCididt121122211

33、205025 63605050kkkkkk 62123321( )sin2cos225505050ttu teettl 用叠加法：用叠加法：(1) 零输入响应为零（因为初始条件为零输入响应为零（因为初始条件为0）(2) 零状态响应：就是该题所求得的上完全响应零状态响应：就是该题所求得的上完全响应dttdftydttdydttyd)()()(2)(22试求电路的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，试求电路的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应。自由响应，强迫响应。解：将激励代入微分方程得：解：将激励代入微分方程得：(1)( )( ) , (0 )1 , (0 )2t

34、f te U tyy(2)(1)(1)( )2( )( )( )( ) (1) (0 )1 , (0 )2tytyty tte U tyy(2)(1)(1)( )2( )( ) (2) (0 )1 , (0 )2tytyty teyy当当t0时，电路微分方程为：时，电路微分方程为：方法方法1.经典法：经典法：y(t)=yh(t)+yp(t)(1) 求齐次方程通解：求齐次方程通解：0)()(2)()1()2(tytyty0122121特征根为：theAtAty)()(21通解：(2) 求特解：求特解： 因为信号因为信号f(t)是在是在t0时输入的，特解只在时输入的，特解只在t0时才成立，时才成立，而这时而这时(t)=0，激励只有，激励只有-e-t，因为其指数，因为其指数-1与特征根与特征根相同，相同，而特征根又是重根，所以特解应设为：而特征根又是重根，所以特解应设为：2