常微分方程：4-2线性常系数齐次方程

1、 目录 上页 下页 返回 结束4.24.2 线性齐次常系数方程线性齐次常系数方程 在上一节中我们讨论了线性方程通解的结构在上一节中我们讨论了线性方程通解的结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出，对一问题，但却没有给出求通解的具体方法出，对一般的线性方程没有普遍的解法，但对常系数线性般的线性方程没有普遍的解法，但对常系数线性方程及可化为这一类型的方程，可以说是彻底的方程及可化为这一类型的方程，可以说是彻底的解决了，本节将求解常系数齐次方程的通解的解解决了，本节将求解常系数齐次方程的通解的解法。法。 目录 上页 下页 返回 结束一一 复值函数复值函数 如果如果 和和是区间是区间(a,b)(a,b

2、)上定义的上定义的)(t)(t称称为该区间上为该区间上(a,b)(a,b)()()(tittz实函数，实函数，的的复值函数复值函数 . . 1 1 连续连续 如果实函数如果实函数 和和在区间在区间(a,b)(a,b)上上)(t)(t就称就称在区间上在区间上(a,b)(a,b)上连续上连续. .)(tz连续连续, , 目录 上页 下页 返回 结束2 2 可微可微 如果实函数如果实函数 和和在区间在区间(a,b)(a,b)上上)(t)(t就称就称在区间上在区间上(a,b)(a,b)上可微上可微. .)(tz可微可微, ,有如下性质有如下性质: :且复值函数且复值函数 )(tz的导数定义如下的导数定

3、义如下: : dtdidtddtdz若若)(1tz)(2tz和和可微可微, ,c为复值常数，那么为复值常数，那么 目录 上页 下页 返回 结束dttdzdttdzdttztzd)()()()(2121dttdzcdttczd)()(11dttdztztzdttdzdttztzd)()()()()()(212121 3 3 欧拉公式欧拉公式 1)1) 复指函数与欧拉公式复指函数与欧拉公式().tittiteeee性质性质1:1:性质性质2:2:性质性质3:3: 目录 上页 下页 返回 结束其中其中! 3)(! 2)(132)(tititieti! 3)(! 2)(132titti! 4)(! 2

4、)(1 42tt! 5)(! 3)(53tttititsincos 目录 上页 下页 返回 结束由由(4.2.1)(4.2.1)中的两个式子可得中的两个式子可得: :cossincossini ti tetitetit(4.2.1)(4.2.1)公式公式(4.2.1)-(4.2.3)(4.2.1)-(4.2.3)通称为通称为欧拉公式欧拉公式. .)(21costitieet)(21sintitieeit(4.2.2)(4.2.2)(4.2.3)(4.2.3) 目录 上页 下页 返回 结束我们仅证明我们仅证明性质性质3 33)3) 复指函数的性质复指函数的性质记记i表示表示i的共轭的共轭. .性

5、质性质1:1:性质性质2:2:性质性质3:3:ttee1212()ttteee()ttdeedt 目录 上页 下页 返回 结束)()(titedtdedtd)cossin()sin(costitetitett)sin(costitedtdt)cossin()sin(costtiititet)sin)(cos(tittiette 目录 上页 下页 返回 结束 4 4 复值解复值解 考虑方程考虑方程 1111( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tata t xf tdtdtdt其中其中( )ftatb ),2 , 1)(nitai及及是区间是区间上的实函数上的实函数. 若有区间若

6、有区间（a,ba,b）上复值函数上复值函数: :为上述方程的为上述方程的复值解复值解. .满足上述方程，则称满足上述方程，则称)()()(tittzx)(tzx 目录 上页 下页 返回 结束定理定理4.124.12 如果方程如果方程1111( )( )( )0nnnnnnd xdxdxa tata t xdtdtdt而而是该方程的是该方程的复值解复值解, ,则则)()()(tittz中所有系数中所有系数),2 , 1)(nitai都是实值函数都是实值函数.以及以及的实部的实部和虚部和虚部)(tz)(t)(t)(tz的共的共轭轭)(tz也都是该方程的解也都是该方程的解.(4.2.4)(4.2.4

7、) 目录 上页 下页 返回 结束证明：证明：由已知条件及由已知条件及 的性质可得的性质可得 xL0)()()()(tiLtLtitL0)()(tLtL因此因此 可得可得由此得由此得0)()(tLtL所以所以 ， 都是方程都是方程（4.2.44.2.4）的解）的解)(t)(t0 )(tzL)(tz即即 也是方程（也是方程（4.2.44.2.4）的解的解. .)()( )(tiLtLtzL又又 目录 上页 下页 返回 结束二二 常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程 11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（4.2.54.2.5）（其中（其中 为常数）为为常数）为n n阶常系数齐次

8、线性方程阶常系数齐次线性方程. .12,na aa 为求得该方程的通解，我们先利用为求得该方程的通解，我们先利用待定指数待定指数函数函数法求其基本解组法求其基本解组. . 一阶常系数齐次线性微分方程一阶常系数齐次线性微分方程xdtdx 目录 上页 下页 返回 结束有通解有通解tcex因此，对方程（因此，对方程（4.2.54.2.5）求指数函）求指数函数形式的解数形式的解tex（4.2.64.2.6）把（把（4.2.64.2.6）代入方程（）代入方程（4.2.54.2.5）得）得0)(12211tnnnnnteaaaaeL因此，因此， 成为方程（成为方程（4.2.54.2.5）解的充要条件为：）

9、解的充要条件为： 是代数方程是代数方程te 目录 上页 下页 返回 结束的根。方程（的根。方程（4.2.74.2.7）称为方程（）称为方程（4.2.54.2.5）的）的特征特征方程方程，它的根称为方程（，它的根称为方程（4.2.54.2.5）的）的特征根特征根. .0)(12211nnnnnaaaaF（4.2.74.2.7）1 1 特征根为单根特征根为单根 设设 是（是（4.2.74.2.7）的）的n n个不相同根，个不相同根， 12,n 则对应方程（则对应方程（4.2.54.2.5）有）有n n个解个解12,nttteee（4.2.84.2.8） 目录 上页 下页 返回 结束tnntntnt

10、nttttttttnnnneeeeeeeeeeeeW112112121212121,1121121)(11121nnnnntne 这这n n个解在区间个解在区间atbat1重实根重实根 k方程有方程有m m个解个解 1,kkktttmetete 目录 上页 下页 返回 结束c) 对每一个对每一个重数为重数为1的共轭复根的共轭复根 cos,sinttet eti方程有两个如下形式的解：方程有两个如下形式的解：方程有方程有2m个如下形式的解：个如下形式的解： d)d)对每一个重数对每一个重数 m1m1的共轭复根的共轭复根 i,cos,cos,cos,cos121tettetttetetkttt.s

11、in,sin,sin,sin121tettetttetetkttt第三步第三步 根据第二步写出基本解组和通解根据第二步写出基本解组和通解 目录 上页 下页 返回 结束解：解：特征方程特征方程 32340故特征根为故特征根为 11 2,32例例1 1：求求3232340d xd xxdtdt的通解的通解. .其中其中11 2,32是单根，是单根，是二重根，是二重根，因此有解因此有解.,22tttteee方程通解为：方程通解为：.)(23221ttttececectx其中其中123,c c c为任意常数为任意常数. . 目录 上页 下页 返回 结束上述两实根和两复根均是单根，方程通解为：上述两实根

12、和两复根均是单根，方程通解为：.sincos)(4321tctcecectxtt例例2 2：求求的通解的通解. .044 xdtxd解：解：特征方程特征方程 014故特征根为故特征根为 ii4321, 1, 1其中其中为任意常数为任意常数. .4321,cccc 目录 上页 下页 返回 结束方程通解为：方程通解为：.)()(24321tetctccctx例例3 3：求求的通解的通解. .033223344dtdxdtxddtxddtxd解：解：特征方程特征方程 0) 1(333234故特征根为故特征根为 1, 021其中其中为任意常数为任意常数. .4321,cccc其中其中是单根，是单根，是

13、三重根，是三重根，0112 目录 上页 下页 返回 结束例例 4：求求 的通解的通解 424220d xd xxdtdt解：解：特征方程特征方程 422221(1)0 方程的四个实值解方程的四个实值解为：为：cos , cos ,sin , sint ttt tt故通解为故通解为 1234( )()cos()sinx tcc ttcc tt特征根特征根 i2, 1是二重根是二重根. .其中其中为任意常数为任意常数. .4321,cccc 目录 上页 下页 返回 结束三三 . 某些变系数线性齐次微分方程的解法某些变系数线性齐次微分方程的解法1 1 化为常系数法化为常系数法 欧拉方程欧拉方程 11

14、1110nnnnnnnnd xdxdxta taa xdtdtdt令令 ute将欧拉方程化为常系数将欧拉方程化为常系数 齐次微分方程齐次微分方程下面介绍二阶变系数线性齐次方程的两种解法下面介绍二阶变系数线性齐次方程的两种解法这里这里为常数为常数. .),2, 1(niai特点：特点：x的的k k阶导数的系数是阶导数的系数是t t的的k k次方的常数倍次方的常数倍. . 目录 上页 下页 返回 结束例例5 5 ：求求 2220d xdxttxdtdt解：解：令令 ，则，则utelnut1.dxdx duxdtdu dtt du222221.()dxdd xdud xdxdtdtdudttdudu

15、 目录 上页 下页 返回 结束把上式代入原方程得把上式代入原方程得 2220d xdxxdudu上述方程的通解为上述方程的通解为 12()ux tcc u e 12(ln)x tcct t故原方程的通解为：故原方程的通解为： 其中其中为任意常数为任意常数. .21,cc 目录 上页 下页 返回 结束考虑二阶变系数方程考虑二阶变系数方程 的系数的系数 ( )p t( )q t满足什么条件，可经线性变换满足什么条件，可经线性变换 化为常系数方程化为常系数方程. .这里这里 a(t)a(t)是待定的函数是待定的函数. .( )2( )( ) ( )( )a t ya tp t a tya t( )(

16、 )( ) ( )0p t a tq t a ty( )( )0 xp t xq t x（4.2.174.2.17）( ) ( )xa t y t（4.2.184.2.18）为此将（为此将（4.2.184.2.18）代入（）代入（4.2.174.2.17）得）得（4.2.194.2.19） 目录 上页 下页 返回 结束由此可见，方程（由此可见，方程（4.2.174.2.17）可经线性齐次变换）可经线性齐次变换 211( )( )( )( )42I tq tp tp t)()(21exp(tydttpx（4.2.214.2.21）化为关于化为关于y y的不含一阶导数项的线性齐次方程的不含一阶导数

17、项的线性齐次方程（4.2.204.2.20），且当），且当y y的系数的系数为常数时，方程（为常数时，方程（4.2.174.2.17）为常系数方程）为常系数方程. .因方程（因方程（4.2.174.2.17）在形如（）在形如（4.2.214.2.21）的变换下，）的变换下， 目录 上页 下页 返回 结束欲使（欲使（4.2.194.2.19）为常系数线性齐次方程，需选取）为常系数线性齐次方程，需选取( )a t使得使得,yy y的系数为常数，特别地，令的系数为常数，特别地，令 y的系数为的系数为0 0，即有，即有 2 ( )( ) ( )0a tp t a t得得1( )exp( )2a tp

18、t dt再代入（再代入（4.2.194.2.19）整理得）整理得 211 ( )( )( )042yq tp tp ty（4.2.204.2.20） 目录 上页 下页 返回 结束函数函数的值不会改变，故称的值不会改变，故称)(tI)(tI为方程为方程)(tI（4.2.174.2.17）的）的不变式不变式. .因此当不变式因此当不变式为为常数时，方程（常数时，方程（4.2.174.2.17）可经变换（）可经变换（4.2.214.2.21）化为常系数线性齐次方程化为常系数线性齐次方程. . 目录 上页 下页 返回 结束解：解： 1( )p tt21( )14q tt 因为因为222111( )11

19、442I tttt 故令故令 1 11exp()2xdt yytt例例6 6：求求221()04t xtxtx的通解的通解 将原方程化为常系数方程：将原方程化为常系数方程：0yy 目录 上页 下页 返回 结束故原方程的通解为：故原方程的通解为： 12cossinttxcctt12cossinyctct得上式通解为：得上式通解为： 目录 上页 下页 返回 结束2 2 降阶法降阶法对对n n阶线性齐次微分方程阶线性齐次微分方程0)()()1(1)(xtaxtaxnnn(4.2.22)(4.2.22)若能找到若能找到k(kn)k(kn)个线性无关解个线性无关解, ,则可选择适当的则可选择适当的变换变换, ,使使n n阶方程（阶方程（4.2.224.2.22）降低）降低k k阶，化为阶，化为n-kn-k阶阶方程，且保持线性和齐次性下面讨论方程，且保持线性和齐次性下面讨论k=1k=1的情形的情形设设)(1txx 是方程（是方程（4.2.224.2.22）的一个非零解，）的一个非零解，作线性变换作线性变换ytxx)(1 目录 上页 下页 返回 结束把上式代入把上式代入(4.2.22)(4.2.22)，则可得：，则可得：0)()()1(1)(ytbytbynnn(4.2.2(4.2.2) )因为因为)(1txx 是方程是方程(4.2.2(4.2.2) )的解则的