常微分方程：5-5Liapunov 第二方法

1、 目录 上页 下页 返回 结束5.5 Liapunov 第二方法第二方法5.1 定理及概念定理及概念 5.2 例题及定理的证明例题及定理的证明 目录 上页 下页 返回 结束5.1 定理及概念定理及概念定理定理5.5 对于系统对于系统（5.5.1），），如果可以找到如果可以找到一个定正函数一个定正函数 ，且此，且此 函数沿着系统的函数沿着系统的()V XV全导数为全导数为 常负函数或恒等于零，常负函数或恒等于零，dVdt则系统（则系统（5.5.1）的零解是稳定的。）的零解是稳定的。 目录 上页 下页 返回 结束定理定理5.6 对于系统（对于系统（5.5.1），如果可以找到一），如果可以找到一个定

2、的函数个定的函数 ，且沿着系统的全导数，且沿着系统的全导数 为为()V XdVdt定负函数，则系统的定负函数，则系统的零解是渐近稳定的零解是渐近稳定的。定理定理5.7 对于系统（对于系统（5.5.1）如果能找到一个）如果能找到一个V函数函数 它在它在 点的任何邻域内至少有点的任何邻域内至少有()V X0X 一点一点 ，*X*()0( 0)V X 目录 上页 下页 返回 结束那么，如果存在那么，如果存在 的某个邻域的某个邻域 ,使使0X D得在得在 中中 是定正（定负）的，则是定正（定负）的，则(5.5.1)dVdtD系统（系统（5.5.1）的）的零解是不稳定零解是不稳定的。的。定理定理5.8

3、函数函数2Vbxycy2（x,y）=ax当且仅当当且仅当 和和 同时成立，同时成立，0a 240avb是是定正的，定正的， 目录 上页 下页 返回 结束同时成立。同时成立。是是定负定负的，当的，当且仅当 和和0a 240avb定理定理5.9 对于系统（对于系统（5.5.1），），如果存在定正的如果存在定正的 ，且，且 常负，常负，( )V x(5.5.1)dVdt但是使得但是使得 点点 的集合不含系统的集合不含系统X(5.5.1)0dVdt(5.5.1)的除零解外的任何整条正半轨线，的除零解外的任何整条正半轨线， 目录 上页 下页 返回 结束则（则（5.5.1）的零解是渐近稳定的。）的零解是渐

4、近稳定的。定理定理5.10 对于系统（对于系统（5.5.1），），如果存在函数如果存在函数 和某一非负常数和某一非负常数 ，使得，使得( )V x(5.5.1)()dVVW Xdt且当且当 时时, 为为定正函数定正函数，0()W X当当 时，时， 为为常正函数或恒为零常正函数或恒为零，0()W X 目录 上页 下页 返回 结束又在又在 的任意小的邻域内，的任意小的邻域内，0X 至少存在某个至少存在某个 使得使得 ，X()0V X 则（则（5.5.1）得零解时不稳定的。）得零解时不稳定的。 目录 上页 下页 返回 结束5.2 例题及定理的证明例题及定理的证明例例5.5.1 在二维空间在二维空间

5、上上 2R221212(,)V x xxx是是定正的定正的 函数函数。V22121122( ,)2V x xxx xx212()xx是常正的。是常正的。 目录 上页 下页 返回 结束这里关于这里关于 函数有两个结论：函数有两个结论：V结论结论1 如果函数如果函数 是定正（常正）的是定正（常正）的 ，( )V x则则 定负（常负）的；定负（常负）的；()V X结论结论2 如果如果 是一个二维定正是一个二维定正 函函( , )V x yV数，则对于适当的数，则对于适当的 是一条包是一条包0, ( , )hV x yh围原点的闭曲线。围原点的闭曲线。 目录 上页 下页 返回 结束微分方程解的稳定性问

6、题。微分方程解的稳定性问题。现在讨论如何应用现在讨论如何应用 函数来确定非线性函数来确定非线性V为了简单，我们只考虑非线性自治系统为了简单，我们只考虑非线性自治系统()dXf Xdt（5.5.1）其中其中: 目录 上页 下页 返回 结束12nxxXx11221212( ,)( ,)()( ,)nnnnf x xxfx xxf Xfx xx假设假设 ，且，且 在原点的某个邻域内在原点的某个邻域内(0)0f()f X满足解的存在唯一性条件。满足解的存在唯一性条件。把把(5.5.1)的解的解 代入函数代入函数 中得中得 的的( )XX tVt 目录 上页 下页 返回 结束复合函数，对复合函数，对 函

7、数关于函数关于 求导数得到：求导数得到：Vt1212nndxdxdxdVVVVdtx dtxdtxdt1niiidxVx dt这样求得的导数这样求得的导数 称为函数称为函数 沿着方程沿着方程dVdt( )V x组组(5.5.1)的的全导数全导数，一般情况下它仍为，一般情况下它仍为12,nx xx的函数。的函数。 目录 上页 下页 返回 结束例例5.5.2 求函数求函数 沿着平沿着平221( , )()2V x yxy面自治系统面自治系统33dxxyxydtdyxydt （5.5.3）的全导数。的全导数。 目录 上页 下页 返回 结束解解 利用公式（利用公式（5.5.2）得此函数）得此函数 沿着

8、系统沿着系统V(5.5.3)得全导数为得全导数为(5.5.3)dVV dxV dydtx dty dt332234()()x xyxyyxyxxyx yx yy 目录 上页 下页 返回 结束例例5.5.3 利用利用李亚普诺夫稳定型准则李亚普诺夫稳定型准则判定下面判定下面系统的零解的稳定性态。系统的零解的稳定性态。3223(1)2dxxxydtdyx yydt 解解 对于系统（对于系统（1），），构造李亚普诺夫函数构造李亚普诺夫函数221( , )2V x yxy 目录 上页 下页 返回 结束则则 是正定的且是正定的且( , )V x y3223(1)2 ()( 2)dVxxxyyx yydt4

9、42xy 是是定负的定负的。所以由定理。所以由定理5.6知系统（知系统（1）的零解）的零解是是渐近稳定的渐近稳定的。 目录 上页 下页 返回 结束33223(2)242dxxydtdyxyx yydt对于系统（对于系统（2），构造如（），构造如（1）中的）中的 函数则函数则V4224222(3)2422()dVxx yyxydt显然显然 在原点邻域是定正的，而在原点邻域是定正的，而(3)dVdt( , )V x y 目录 上页 下页 返回 结束在原点任何邻域有大于零的点（其实也是定在原点任何邻域有大于零的点（其实也是定正正函数），所以由定理函数），所以由定理5.7知系统（知系统（3）的零解是）

10、的零解是不稳定的。不稳定的。 目录 上页 下页 返回 结束例例5.4 构造二次型构造二次型 函数证明系统函数证明系统V22dxxxydtdyyx ydt （5.5.8） 的零解是渐近稳定的。的零解是渐近稳定的。证明证明 取如定理取如定理5.8中的中的 函数函数V22( , )V x yaxbxycy 目录 上页 下页 返回 结束则则2(5.5.8)(2)()dVaxbyxxydt 2222 ()a xx y 2(2)()bxcyyyx 2222 ()c yx y显然若取显然若取 ，则，则 ，0,0,0bac240acb 目录 上页 下页 返回 结束因而因而 定正，且定负定正，且定负 ，( ,

11、)V x y(5.5.8)dVdt故系统（故系统（5.5.8）的零解是）的零解是渐近稳定的渐近稳定的。例题例题5.5.5 利用利用李亚普诺夫函数李亚普诺夫函数讨论数学摆振动讨论数学摆振动方程等价系统方程等价系统sindxydtdygxydtlm （5.5.10） 目录 上页 下页 返回 结束零解的稳定性。零解的稳定性。解解 构造构造李亚普诺夫李亚普诺夫 函数函数如下如下V21( , )(1 cos )2gV x yyxl显然显然 在原点邻域内是在原点邻域内是定正的定正的，且，且( , )V x y2(5.5.10)dVydtm 目录 上页 下页 返回 结束若若 ，则，则 ，由定理，由定理5.5

12、知零解知零解0(5.5.10)0dVdt是稳定的。是稳定的。若若 ，则，则 是常负的，但是仔细是常负的，但是仔细0(5.5.10)dVdt分析一下，式分析一下，式 的集合是的集合是 ，(5.5.10)0dVdt0y 而在原点邻域而在原点邻域 不是不是(5.5.10)的解。的解。0y 目录 上页 下页 返回 结束除外。因而，由定理除外。因而，由定理5.9可知可知0,0 xy系统（系统（5.5.10）的零解是渐近稳定的。）的零解是渐近稳定的。定理定理5.6的证明的证明证明证明 由前一个定理知此时系统（由前一个定理知此时系统（5.5.1）的零解）的零解稳定的，所以只需证明在此定理条件下零解还是稳定的

13、，所以只需证明在此定理条件下零解还是吸引的即可。即证明存在吸引的即可。即证明存在 使得使得00 目录 上页 下页 返回 结束当：当： 满足满足 时从时从 点出发的解：点出发的解：0X00X0X00( )( , ,)X tX t tX满足：满足：lim( )0 xX t（5.5.4） 下面证明零解的吸引性，由稳定性知下面证明零解的吸引性，由稳定性知00必存在必存在 使得当使得当 时对一切时对一切00X0tt00( )( , ,)X tX t tXH有有 目录 上页 下页 返回 结束由于由于 定正，定正， 定负，定负，(5.5.1)dVdt( )V x所以所以 关于关于 单调递减有界，因而有极限单

14、调递减有界，因而有极限( )V X ttlim( )xV X tc假设假设 ，必，必 ，那么对于任何的，那么对于任何的 ，0c 0c 0tt有有( )0X t 目录 上页 下页 返回 结束()dV XdtXH所以所以 在在 上连续，故上连续，故()dV Xdt在在 有最大值，记为：有最大值，记为：XH()maxXHdV XMdt且由且由 的定负性知的定负性知()dV Xdt0M 由于由于 有连续的偏导数，有连续的偏导数，( )V x 目录 上页 下页 返回 结束于是对于任何于是对于任何 有有0tt000( )( )()()ttdV X tV X tV XdtM ttdt即即00( )()()V X tV XM tt由上式看出当由上式看出当t充分大时，充分大时， 这这( )0V X t与与 定正矛盾定正矛盾，因此，因此 ,即即( )V X t0c 目录 上页 下页 返回 结束lim( )0 xV X t（5.5.5） 在此基础上在证在此基础上在证 ，即（，即（5.5.4）lim( )0 xX t式成立。式成立。假设（假设（5.5.4）式不成立，则由零解的稳定）式不成立，则由零解的稳定性知解性知