振动与波讲座2.

1、主讲教师：主讲教师：姜海丽姜海丽E-mail：机械波1、几个重要的参数、几个重要的参数2 波长波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度波形的长度. Wavelength2OyAA-ux2 周期周期 ：波前进一个波长的距离所需要：波前进一个波长的距离所需要的时间的时间. PeriodTT1TuTuu2 频率频率 ：周期的倒数，即单位时间内波：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目动所传播的完整波的数目. Frequency 2 波速波速 ：波动过程中，某一振动状态（即：

2、波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）. Wave speed u注意注意点点 P 比点比点 O 落后落后的相位的相位Op-x2-uxTuxxp-220cos()pxyAtu-点点 P 振动方程振动方程0cos()oyAt点点 O 振动方程振动方程 2、 波函数波函数Px*yxuAA-O相位落后法相位落后法22kd21d21dvvVmW)(cosuxtAy-)(sinuvxtAty-2 振动动能振动动能)(sind21d222kuxtVAW-xxOxdxOyydxd 3、 波的能量波的能量2Pd21dykW 杨氏模量杨氏模量

3、llESFEu )(sinuxtAuxy-xSEkd)(sind21222uxtVA-22)dd(d21xyVu22P)dd(d21d21dxyxESykW2 弹性势能弹性势能llESFxxOxdxOyydxd 体积元的总机械能体积元的总机械能Total mechanical energy )(sindddd222pkuxtVAWWW-)(sind21dd222pkuxtVAWW-讨讨 论论2 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大均最大.2 体积元的位移最大时，三者均为零体积元的位移最大时，三者均为零. 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能

4、、在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是作周期性变化，且变化是同相位同相位的的.tx,2 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.2 体积元的位移最大时，三者均为零体积元的位移最大时，三者均为零.在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能势能、总机械能均随均随 作周期性变化，且变化是作周期性变化，且变化是同相位同相位的的.tx,简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图tx-t-v221kAE 0tAxcostAsin-vv, xt

5、oT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21典型题形典型题形1、已知波动方程求某些物理量、已知波动方程求某些物理量2、已知某些条件给出波动方程、已知某些条件给出波动方程 3、波的干涉、驻波问题、波的干涉、驻波问题5、已知波动方程求某些物理量、已知波动方程求某些物理量2、一平面简谐波沿、一平面简谐波沿Ox轴正向传播，波动表达式为轴正向传播，波动表达式为 4/)/(cos-uxtAy则则x1 = L1处质点的振动方程是处质点的振动方程是_x2 = -L2处质点的振动和处质点的振动和x1 = L1处质点的振动的相位差为处质点的振动的相位差为2 1 =_ )/(c

6、osuxtAy-)/cos(uxtA-1、一平面简谐波的表达式为、一平面简谐波的表达式为 其中其中x / u表示表示_； x / u表示表示_；y表示表示_ 波从坐标原点传至波从坐标原点传至x处所需时间处所需时间, x处质点比原点处质点滞后的振动处质点比原点处质点滞后的振动相位相位, t时刻时刻x处质点的振动位移处质点的振动位移 4/)/(cos11-uLtAyuLL)(213、一平面简谐波沿、一平面简谐波沿x轴正方向传播，波速轴正方向传播，波速u = 100 m/s，t = 0时刻的波形曲线如图所示可知波长时刻的波形曲线如图所示可知波长= _； 振幅振幅A = _； 频率频率= _ 0.8m

7、 0.2m 125Hz4、一简谐波沿、一简谐波沿x轴正方向传播轴正方向传播x1和和x2两点处的振动速度与时间两点处的振动速度与时间的关系曲线分别如图的关系曲线分别如图(a)和和(b)已知已知| x2 - x1 | ，则，则x1和和x2两点间两点间的距离是的距离是_ （用波长（用波长 表示）表示） t v1 0 t v2 0 (a) (b) 21例例1：如图所示，为一简谐波在：如图所示，为一简谐波在t=0时刻的波时刻的波 形图。试写出形图。试写出O、1、2、3点的初位相点的初位相The figures below show the wave form of a simple harmonic w

8、ave at the moment of t = 0. Try to write the phases at the moment of t = 0 at the positions of 0,1,2,3. yxt=0uO123yxt=0uO123解：如图画出下一时刻的波形图解：如图画出下一时刻的波形图-3210202yxt=0uO123yxt=0uO123t+t5. 一振幅为一振幅为10 cm，波长为，波长为200 cm的一维余弦波。的一维余弦波。 沿沿x 轴轴正方向传播，波速为正方向传播，波速为100 cm/s，在，在t = 0时原点处质点开始时原点处质点开始从平衡位置沿正位移方向运动。从

9、平衡位置沿正位移方向运动。 求：（求：（1）原点处质点的）原点处质点的振动方程；（振动方程；（2）在）在x = 150 cm处质点的振动方程。处质点的振动方程。 A = 10 cm， = 2 = s-1， = u / = 0.5 Hz 初始条件：初始条件： y(0, 0) = 0 )cos(0tAy0v-210)21cos(10. 0-ty23)2321cos(10. 0-ty)2cos(10. 0-t解：解：(1) 振动方程：振动方程： 得得 故得原点振动方程：故得原点振动方程： x = 150 cm处相位比原点落后处相位比原点落后所以所以6. 一弹性波在介质中以速度一弹性波在介质中以速度u

10、=103m/s传播，振幅传播，振幅A=1.0 10-4m，频率频率 =103Hz，若介质的密度为，若介质的密度为800kg/m3。求：（。求：（1）该波的平均）该波的平均能流密度；（能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积分钟内垂直通过面积S=4 10-4m2的总能量。的总能量。24222210*6 . 1)2(2121) 1 (uAuAI242438660104106 . 1)2(-ISt5：如图所示，为一正行波在 t=0时刻的波形图，已知：波速 u=857m/s 。由图中的参数写出此波的波动方程。y(m)x(m)t=0OA/20.1uM10解：波动方程cos),(0-uxtAtxy由图可知：m

11、A10. 0由旋转矢量法可确定2/3/0-My(m)x(m)t=0OA/20.1uM10t+t)/(71sradxutM)(324271cos1.0),(mxttxy-波动方程为： 注意：沿波的传播方向位相依次落后 6、已知某些条件给出波动方程、已知某些条件给出波动方程)4cos(3 . 0-ty x y x y u u A A O D D 1、一平面简谐波在介质中以速度、一平面简谐波在介质中以速度u = 20 m/s自左向右传播自左向右传播已知在传播路径上的某点已知在传播路径上的某点A的振动方程为的振动方程为 另一点另一点D在在A点右方点右方9米处米处 若取若取x轴方向向左，并以轴方向向左，

12、并以A为坐标原点，试写出波的表为坐标原点，试写出波的表达式，并求出达式，并求出D点的振动方程点的振动方程(2) 若取若取x轴方向向右，以轴方向向右，以A点左方点左方5米处的米处的O点为点为x轴原点，轴原点，再写出波的表达式及再写出波的表达式及D点的振动方程点的振动方程 2、图示一平面余弦波在、图示一平面余弦波在t = 0 时刻与时刻与t = 2 s时刻的波形图已知波时刻的波形图已知波速为速为u，求：，求： (1) 坐标原点处介质质点的振动方程；坐标原点处介质质点的振动方程； (2) 该波该波的波动表达式的波动表达式 x (m) O 160 A y (m) 80 20 t=0 t=2 s 2A

13、cos0Asin00A-v-21)214cos(2/-AA-21441)218/cos(0-tAy 解：解：(1) 比较比较t = 0 时刻波形图与时刻波形图与t = 2 s时刻波形图，可知时刻波形图，可知此波向左传播在此波向左传播在t = 0时刻，时刻，O处质点处质点 ， 又又t = 2 s，O处质点位移为处质点位移为 所以所以 = 1/16 Hz 振动方程为振动方程为 (SI) (2) 波速波速 u = 20 /2 m/s = 10 m/s 波长波长 = u / / = 160 m 波动表达式波动表达式 21)16016(2cos-xtAy(SI) 3. 已知一沿已知一沿x 轴负方向传播的

14、平面余弦波，在轴负方向传播的平面余弦波，在t=1/3s时的时的波形如图，且周期波形如图，且周期T=2s。（。（1）写出）写出O点的振动方程；点的振动方程；（2）写出该波的波动方程；（）写出该波的波动方程；（3）写出）写出Q点的振动方程；点的振动方程；（4）Q点离点离O点的距离多大点的距离多大PQOX105m4 . 02TT2)cos(1 . 00ty0,31,2-vtAy21)3cos(0-0)cos(1 . 0y0t解：（解：（1）A=0.1m，令令令令代入代入 由旋转矢量法由旋转矢量法 )4 . 02cos(1 . 0y0 xt)6cos(1 . 0yt307, 0 xy可得令（2）（3）

15、令）令（4） )cos(1 . 0Qty0,31, 0vty 由旋转矢量法由旋转矢量法 6QuuxuxtOQ-)(另解： 4、一平面简谐波沿、一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波长为轴的负方向传播，波长为 ，P处质处质点的振动规律如图所示点的振动规律如图所示 (1) 求求P处质点的振动方程；处质点的振动方程； (2) 求此波的波动表达式；求此波的波动表达式； (3) 若图中若图中 21d求坐标原点求坐标原点O处质点的振动方程处质点的振动方程 xOPd t (s) 0 -A 1 yP (m) )4/2cos(tAyP)21cos(tA)4(2cos-dxtAy)21cos(0tAy解：解：(1)

16、 由振动曲线可知，由振动曲线可知，P处质点振动方程为处质点振动方程为 (2) 波动表达式为波动表达式为 (3) O处质点的振动方程处质点的振动方程 7、波的干涉、驻波问题、波的干涉、驻波问题1、. 如图所示，两列平面简谐相干横波，在两种不同的媒质中传播，如图所示，两列平面简谐相干横波，在两种不同的媒质中传播，在分界面上的在分界面上的P点相遇点相遇. 频率频率= 100Hz，振幅，振幅A1 = A2 = 1.0010 3 m，S1 的位相比的位相比S2的位相超前的位相超前1/2，在媒质，在媒质1中波速中波速u1 = 400m/s，在，在媒质媒质2中的波速中的波速u2 = 500m/s，S1P =

17、 r1 = 4.00m , S2P = r2 =3.75m , 求求：P点的合振幅。点的合振幅。20020)40000. 450075. 3(cos2)(112212-uu32110*00. 2-AAA解：解： 5、 如图所示，原点如图所示，原点O是波源，振动方向垂直于纸面，波长是是波源，振动方向垂直于纸面，波长是，AB为波的反射平面，反射时无半波损失。为波的反射平面，反射时无半波损失。O点位于点位于A点的正上点的正上方，方，AO = h，OX轴平行于轴平行于AB，求，求OX轴上干涉加强点的坐标轴上干涉加强点的坐标（限于（限于x 0)hOAxBxhOABP解：沿ox轴传播的波与从AB面上P点反

18、射来的波在坐标x处相遇，两波的波程差为：2 , 1)2(222-kkxhxhkkkhx22 , 124222-（当x=0时由4h2-k22=0可得k=2h/.)6、一驻波表达式为、一驻波表达式为 txAy100cos2cos (SI)位于位于x1 = (1 /8) m处的质元处的质元P1与位于与位于x2 = (3 /8) m处处的质元的质元P2的振动相位差为的振动相位差为_ 7、如果入射波的表达式是、如果入射波的表达式是，在，在x = 0处发生反射后形成驻波，反射点为波腹设反处发生反射后形成驻波，反射点为波腹设反射后波的强度不变，则反射波的表达式射后波的强度不变，则反射波的表达式y2 = _； 在在x = 2/3处处质点合振动的振幅等于质点合振动的振幅等于_ )(2cos1xTtAy)(2cosxTtA-A8. 一平面简谐波沿一平面简谐波沿x正向传播。振幅为正向传播。振幅为A，频率为，频率为 ，传播速度为，传播速度为u。（1）t=0时，在原点时，在原点O处的质元由平衡位置向处的