微分方程 第一章1.7 几种可降阶的高阶微分方程

1、1 1.7 几种可降阶的高阶方程几种可降阶的高阶方程 第二章第二章 电路的过渡过程电路的过渡过程 2 2.3.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应),(yxfy 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 )()(xfyn),(yyfy 三、 型的微分方程 2一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过n 次积分, 可得含n个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程 3例例1. .cos2xeyx 求解解解: : 12cosCxdxeyx 12

2、sin21Cxexxey241xey2811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC4,00tx例例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻,)0(0FF随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 .如果开始时质点在原点, 解解: 据题意有)(dd22tFtxmtFoT0FF0(1)tFT0dd0ttx)1(0TtFt = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初初速度为0, 且对方程两边积分, 得 5120)2(ddCTttmFtx利用初始条件, 01C得于是

3、)2(dd20TttmFtx两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用00tx, 02C得故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx0dd0ttx6),(yxfy 型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、7例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32

4、xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为8三、),(yyfy 型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy9例例5. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCeCy12解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd10M : 地球质量m : 物体质量例例6. 静止开始落向

5、地面, 求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力). 解解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,ddtyv 设tvtydddd22则ddddvyytddvvy 代入方程得,dd2yyMkvv积分得122CyMkv一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 yoRl11,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2两端积分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有)arccos(22lylyylMkltlylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”号号12由于由于 y = R

6、时时,gy 由原方程可得由原方程可得MRgk2因此落到地面因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为时的速度和所需时间分别为)arccos(212lRlRRlglRtRylRlRgvRy)(222ddtym,2yMmkyyllMkv2)arccos(22lylyylMkltyoRl13说明说明: 若此例改为如图所示的坐标系, Ryol22ddtym2)(ylMmk,00ty00ty，令tyvdd解方程可得)11(22lylMkv问问: 此时开方根号前应取什么符号此时开方根号前应取什么符号? 说明道理说明道理 .则定解问题为14为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例8.)0()(xxy设函数二阶可导, 且, 0)( xy)(xyy 过曲线上任一点 P(x,y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,1S区间 0, x 上以,2S记为)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因为. 0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 设曲线在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 ., 1)0(y积记为ttySxd)(02Pxy1S1oyx1516内容小结内