第三十四讲 解直角三角形的应用

1、知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习步步高中考总复习第三十四讲解直角三角形的应用第三十四讲解直角三角形的应用知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习考纲要求考纲要求会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题问题(主要包括仰角、俯角问题、坡度问题、航海问主要包括仰角、俯角问题、坡度问题、航海问题、方案设计问题等题、方案设计问题等)c知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习网络构建网络构建知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防

2、范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习解直角三角形的应用中的相关概念解直角三角形的应用中的相关概念1仰角、俯角仰角、俯角如图如图1，在测量时，视线与水平，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰角在水平线的角叫仰角在水平线_的角叫俯角，图的角叫俯角，图1中中，_是是仰角仰角，_是是俯角俯角图图1上方上方下方下方知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习2坡度坡度(坡比坡比)、坡角、坡角如图如图2，坡面的高度，坡面的高度h和和_的比叫坡度的比叫坡度(或坡比或坡比)，即即itan_，坡面与，坡面与_的夹角叫坡角的夹

3、角叫坡角图图2图图3水平宽度水平宽度l水平线水平线知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习3方向角方向角指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于_度的度的水平角叫做方向角如图水平角叫做方向角如图3，OA表示的是表示的是_方向的一条射线方向的一条射线90北偏东北偏东60知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习【即时应用即时应用1】如图是市民广场到地下通道的手扶电梯示如图是市民广场到地下通道的手扶电梯示图其中图其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处分别表示地下通道、市民

4、广场电梯口处地面的水平线，地面的水平线，ABC135，BC的长约是的长约是5m，则，则乘电梯从点乘电梯从点B到点到点C上升的高度上升的高度h是是_m.答案答案5知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习 运用解直角三角形的方法解决实际问题运用解直角三角形的方法解决实际问题在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我们在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我们要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的的_之间的关系，这样就可以运用解直角三角形的方之间的关系，这样就可以运用解直角三角形的方

5、法了法了【即时应用即时应用2】在一自助夏令营活动中，小明同学从营地在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到出发，要到A地的北偏东地的北偏东60方向的方向的C处，他先沿正处，他先沿正东方向走了东方向走了200m到达到达B地，地，再沿北偏东再沿北偏东30方向走，恰方向走，恰能到达目的地能到达目的地C(如图如图)，那，那么，由此可知，么，由此可知，B、C两地相距两地相距_m.答案答案200边、角边、角知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习助学微博助学微博转化思想转化思想1在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转在直角三角形中，求锐角三角函数值的

6、问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识化为求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角函数求锐角三角函数值值)转化为旧知识转化为旧知识(求直角三角形的边长求直角三角形的边长)，因此不可避免地，因此不可避免地用到勾股定理若原题没有图形，可以画出示意图，直观用到勾股定理若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型地观察各边的位置及类型(直角边直角边还是斜边还是斜边)，再运用定义，再运用定义求解；也可以直接通过字母来判断边的位置和类型，即求解；也可以直接通过字母来判断边的位置和类型，即A的对边为的对边为BC，B的对边为的对边为AC，C的对边为的对边为AB.知识梳理知识梳理对接中考

7、对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习2在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形再利用解直角三角形的有关知识解决问题注意三角形再利用解直角三角形的有关知识解决问题注意在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况.知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习对接点一：解直角三角形的应用对接点一：解直角三角形的应用(一一)常考角度常考角度：常规的

8、计算距离、角度、高度的应用题：常规的计算距离、角度、高度的应用题【例题例题1】(2013舟山舟山)某学校的校门是伸缩门某学校的校门是伸缩门(如图如图1)，伸，伸缩门中的每一行菱形有缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为个，每个菱形边长为30厘厘米校门关闭时，每个菱形的锐角度数为米校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60(如图如图2)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60缩小为缩小为10(如图如图3)问：校门打开了多少米？问：校门打开了多少米？(结果精确到结果精确到1米，参考数据：米，参考数据：sin50.0872，cos50.9962，sin100.1736，

9、cos100.9848)知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习分析分析：先求出校门关闭时，：先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可们相减即可知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习解解如图，校门关闭时，取其中一个菱形如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD.根据题根据题意，得意，得BAD60，AB0.3米米在菱形在菱形ABCD中，中，ABAD，BAD是等边三角形，是等边三角

10、形，BDAB0.3米，米，大门的宽是：大门的宽是：0.3206(米米)；知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习校门打开时，取其中一个菱形校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得根据题意，得B1A1D110，A1B10.3米米在菱形在菱形A1B1C1D1中，中，A1C1B1D1，B1A1O15，在在RtA1B1O1中，中，B1O1sinB1A1O1A1B1sin50.30.02616(米米)，B1D12B1O10.05232米，米，伸缩门的宽是：伸缩门的宽是：0.05232201.0464米；米；校门打开的宽度为：校门打开的宽度为：61.

11、04644.95365(米米)故校门打开了故校门打开了5米米知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习1遇角度求线段时，常常把实际问题转化为数学中的解遇角度求线段时，常常把实际问题转化为数学中的解直角三角形的问题；直角三角形的问题；2遇菱形想得到菱形的性质及有一个角是遇菱形想得到菱形的性质及有一个角是60的等腰三的等腰三角形是等边三角形；角形是等边三角形；3已知角度求线段时常常运用解直角三角形的知识来解已知角度求线段时常常运用解直角三角形的知识来解决，理解直角三角形中的边角关系是本题关键决，理解直角三角形中的边角关系是本题关键知识梳理知识梳理对接中考对接中

12、考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习【预测预测1】如图，从热气球如图，从热气球C处测得地面处测得地面A、B两点的俯角两点的俯角分别是分别是30、45，如果此时热气球，如果此时热气球C处的高度处的高度CD为为100米，点米，点A、D、B在同一直线上，则在同一直线上，则AB两点的距离两点的距离是是()知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习解析解析由已知，得由已知，得A30，B45，CD100，CDAB于点于点D，在在RtBCD中，中，CDB90，B45DBCD100米，米，答案答案D知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前

13、必读步步高中考总复习对接点二：解直角三角形的应用对接点二：解直角三角形的应用(二二)常考角度常考角度：用解直角三角形的知识解决航海、测量、方案：用解直角三角形的知识解决航海、测量、方案设计等问题设计等问题【例题例题2】(2013宁波宁波)天封塔历史悠久，是宁波著名的文天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹，如图，从位于天封塔的观测点化古迹，如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物测得两建筑物底部底部A，B的俯角分别为的俯角分别为45和和60，若此观测点离地，若此观测点离地面的高度为面的高度为51米，米，A，B两点在两点在CD的两侧，且点的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求在同一水平直线上，

14、求A，B之间的距离之间的距离(结果保结果保留根号留根号)知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习分析分析：在：在RtACD和和RtCDB中分别求出中分别求出AD，BD的长的长度，然后根据度，然后根据ABADBD即可求出即可求出AB的值的值解解由题意得，由题意得，ECA45，FCB60，EFAB，CADECA45，CBDFCB60，ACDCAD45，知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习利用解直角三角形解决实际应用题的一般步骤：利用解直

15、角三角形解决实际应用题的一般步骤：1弄清题中名词术语的意义弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向如俯角、仰角、坡角、方向角等角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；2将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；3寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解行求解【名师课堂名

16、师课堂】登陆登陆，聆听名师精讲，聆听名师精讲(题题33)知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习【预测预测2】如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上的台阶上A点处测得树顶端点处测得树顶端D的仰角为的仰角为30，朝着这棵树，朝着这棵树的方向走到台阶下的点的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端处，测得树顶端D的仰角为的仰角为60.已知已知A点的高度点的高度AB为为3米，台阶米，台阶AC的坡度为的坡度为1 (即即A

17、B BC1 )，且，且B、C、E三点在同一条直线上请根三点在同一条直线上请根据以上条件求出树据以上条件求出树DE的高度的高度(侧倾器的高度忽略不计侧倾器的高度忽略不计)知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习解解如图，过点如图，过点A作作AFDE于于F，则四边形则四边形ABEF为矩形，为矩形，AFBE，EFAB3，设设DEx，在在RtAFD中，中，DFDEEFx3，知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习答：树高为答：树高为9米米.知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习易错

18、点易错点1：对坡度的概念理解不透：对坡度的概念理解不透辨识辨识：坡度指的是铅直高度与水平宽度的比：坡度指的是铅直高度与水平宽度的比【例题例题1】(2012广安广安)如图，如图，某水库堤坝横断面迎水坡某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是的坡比是1 ，堤坝，堤坝高高BC50m，则迎水坡面，则迎水坡面AB的长度是的长度是()知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习错因分析错因分析把坡度看成坡面的铅直高度与坡面的比，没把坡度看成坡面的铅直高度与坡面的比，没有掌握坡度的概念有掌握坡度的概念知识梳理知识梳理对接中考对接中考易错防范易错防范课前必读课前必读步步高中考总复习易错点易错点2：没有把分散条件集中起来：没有把分散条件集中起来辨识辨识：求角的度数时，往往利用三角形内角和定理或解直：求角的度数时，往往利用三角形内角和定理或解直角三角形；求线段的长度时，往往利用勾股定理、解直角角三角形；求线段的长度时，往往利用勾股定理、解直角三角形和相似，其中最常用的方法是