资料：差分思想

1、第二篇 热量传输10.2导热数值解法10.2.1数值求解基础什么是数值解？就是把难以作出解析解的导热问题的微分方程描述作某种区域离散化后变成在离散点上可以求解的代数方程组，再通过对这些离散区域的代数方程组求解得到各个离散点上的温度值。这些温度点是分布在研究区域上的温度，如果这些点足够密集，它们可以描述物体的空间温度分布，或说温度场。我们把这样求得的离散点上的温度值叫温度场数值解。这种求解方法叫数值化方法。目前常用的数值化方法有：有限元法、有限差分法、有限体积法。这里我们介绍有限差分法。（1） 空间离散化 把一个研究的连续区域划成多个不重叠的小区域，即用网格划分区域，网格的交点叫节点。网格划分有

2、两种方法：1.先选定节点，然后确定控制体界面；2.先定控制体界面，然后以控制体中心定为节点。下面介绍第一种方法如图：代表边界节点，代表内部节点（2） 节点标记如右图：（3） 差分方程的获得A. 直观法 如图令在处的估计值 <1>同样 <2>如果足够小，上面两式可以作为处的近似值。我们把<1>式叫做点处的向后差分，<2>式叫做点处的向前差分，另外定义 <3>叫做点处的中心差分。同样函数在处的二阶导数值： 点处的中心差分同样向前和向后差分： 点处的向前差分 点处的向后差分这种方法可以很直观地写出差分方程，但缺点是不能估计截断误差，从而对如

3、何选择差分时没有依据。B. 泰勒级数法同样考察前面的函数。 在点展开成泰勒级数 <4>再对在点展开成泰勒级数 <5>由<4>得到：由<5>得到：<4>-<5>得到： 或者用和展开代入这样通过泰勒级数展开得到： 向前差分 向后差分 中心差分这样不仅得到一阶导数差分格式，同时得到截断误差估计。同样我们用<4>+<5>可以得到：中心差分我们看到用泰勒级数展开法可以同时估计截断误差。10.2.2稳态导热有限差分方程建立稳态导热微分方程：(1)内节点差分方程为了推导简单，我们这里取等距离网格则代入微分方程中得

4、到： 这就是稳态导热内节点的差分方程（分别是三维、二维、一维问题的差分格式），如果写成编制程序的通用形式：三维：这样根据节点编号；，根据这样的节点编号后内节点共有个方程，而未知数共有个，为了使这样一个节点上的差分代数方程组封闭，必须要同时建立边界节点差分方程个,才能保证方程组封闭。(2)边界节点差分方程的导出A.对第一类边界条件，边界节点温度已知（当然这就是边界节点差分方程）B.对第二、三类边界条件，边界节点方程处理方式有两种：补充边界节点方程（代数方程）；另一种方法是设法从内节点方程中消去未知的边界点温度，这样只有个方程，也只有个未知数，方程组封闭。结果在临近边界节点方程中增加了源项，也称附

5、加源项法。补充边界节点方程法：一般是对边界节点控制体作能量平衡。如右图一个二维问题的第二类边界条件，对边界节点P控制体建立能量平衡：同样考虑 第二类推广到三维：第二类对第三类边界条件，这时上面的，这样代入上式得到：第三类边界条件顶角节点控制体补充方程： 二维 三维附加源项法：是把所有边界都按第一类边界条件处理，对非第一类边界条件的情况，把边界条件上所规定的界面热流以附加源项的形式送入与边界相邻的控制体P节点的差分方程：节点P的差分方程就是内节点方程：其中是边界节点，对非第一类边界条件是未知的；现在我建立W点能量平衡方程：实际上每个边界节点可以写出一个这样的关系式， 这些关系式联立就可以求出用由

6、内节点温度和表示的边界节点表达式，代入相邻边界节点的内节点方程中，从而消除了边界节点温度未知数，同时使内节点方程多了源项。故称附加源项法。(3)差分方程求解对稳态导热，得到的差分方程组是一个线性代数方程组。求解有高斯消元法：对变量不是很多的方程组，把系数矩阵消成一个三角形矩阵，而后由三角形矩阵依次求得方程的解；迭代求解法：首先任意给定初值，然后由初值求得第一次近似解，判断误差，不合格，再由第一次解代入求第二次近似解，.，以此类推，直到：其中是根据工程实际人为规定的误差。达到这一值后能够满足工程精度要求。把计算得到的空间节点上的温度值作出等值线（二维问题）或等值面（三维问题）图就是一个很好的数值

7、解。10.2.3非稳态导热有限差分方程建立（1）以一维不稳态导热为例：在和范围积分（用有限体积积分法得到差分方程）右边：令 右边=左边=上式整理得：其中：， （2）二维不稳态导热：在和，范围积分（用有限体积积分法得到差分方程）（忽略步骤）其中：， （3）同样可以得到三维不稳态导热差分格式在和，范围积分（用有限体积积分法得到差分方程）（忽略步骤）其中：， （4）讨论：（a）当f=0时一维导热：二维导热：三维导热：这就是一维、二维、三维导热显式差分格式。系数如前面描述中f=0。从显式差分格式可以看到，P点后一时刻的值可以由前一时刻的已知温度值直接求得，故称显式。这是显式差分格式的最主要的优点，计算

8、起来很方便；截断误差是；但当的系数为负值时出现数学上不稳定性，物理上得出不真实的解。因此这种格式有严格的网格步长划分要求：要求前系数大于零即一维：二维：三维：这里按等步长考虑：故有：一维：把，代入中得到：整理后得到 或者 这里二维：把， 代入中得到整理后得到 或者 三维：把，代入中 整理后得到： 或者 可以看到时间步长必须满足空间步长的制约，当空间步长很小时，时间步长将非常小，一个较长时间的非稳态问题需要计算机计算非常长的时间。（b）当f=1时一维导热：二维导热：三维导热：这就是一维、二维、三维导热隐式差分格式。系数如前面描述中f=1。 此式表明，P点后一时刻的温度关系式与其相邻节点同时刻的温

9、度值相关，每增加一时间步长，温度场计算都要联立求解所有节点的方程组，故称隐式；截断误差是；这种格式数学上是绝对稳定的，所以时间步长不受空间步长的制约，可以根据需要选较大的时间步长。（c）当f=0.5时就是克兰克-尼克尔森六点差分格式。这种格式的截断误差比前两种要高的；数学上是稳定的，但物理上当后会出现伪温度场。所以一般温度步长要满足；当然也需要迭代求解。（4） 边界节点方程建立（以一维问题为例）在x=0处，在x=s处，对流边界的稳定性判据为绝热边界的稳定性判据为对于隐式格式的边界方程可以类似地建立。补充内容：流场数值计算简述对于流体流动描述：第一项叫积累项，第二项叫对流项，第三项叫扩散项，第四

10、项叫源项。这里可以代表流场中的速度（如果是动量传输的速度时，源项中还包含的压力项），能量传输中的焓H或温度T，传质中的组分浓度。流动问题困难有两个：一个是对流项的差分处理，另一个是压力项的处理。下面分别简述：（1）一维稳定对流扩散方程的的差分在节点P进行控制元（）上积分用传统的中心差分令，叫对流强度，令，叫扩散传导系数，称Peclet准数，中心差分为：式中 讨论：因为系数要保证不为负，故，也就是对流强度不能太大；另外当扩散传导系数为零时，有可能出现，不能得到解；在中有项，这是一维流动问题的微元体是否满足连续性方程，收敛后=0。为了避免上述问题引入上风格式。依据是流动往往是受来流的影响，而下游对

11、上游影响很少（如河流中的石头）当时，当时，用a,b表示在a,b中取大者，在程序中：扩散项仍然用传统差分方式：整理出：式中 上风格式各系数永远为正。（2）压力项的处理对于通用方程表示动量方程时，源项中还包含有压力项，把压力项分离出来写成：计算流场时，压力场是未知的。必须知道压力场才能求解流场。现在一种有效的方法是直接求解压力场：用连续方程来控制压力场方程。由于压力场是流场的原始推动力，当流动状态正确时，必然处处满足连续方程，此时压力场也应该是正确的。A.交错网格的引入由于压力是流动的推动力，最好使压力节点与速度节点的位置分开，使两者相差半格，这样相邻点的压力差就是位于中间速度节点的自然推动力。在

12、差分中实现的办法是使速度节点向左移动半格，速度值储存在主节点的界面上，主节点上储存除速度外的其它变量等和物性等参数。这样就构成了交错网格。主节点上的速度值通过线性插值法得到。B.动量方程和连续性方程的离散动量方程中压力梯度项分离出来得到的差分格式：其它项的差分格式前面已经给出，如果感兴趣的同学可以参阅贺友多编著的传输原理或陶文铨编著的数值计算。这里要说明的是压力项，通过差分得到压力作为推动力的差分方程，要求解速度场，必须要同时求解压力场。为了得到压力修正方程，把连续方程离散化：下解决流场计算问题。C.simple算法先假定一个压力场，代入动量差分方程中求得。把这些迭代速度代入连续方程中，一般都满足（因为没有收敛），这样需要压力修正，修正量：上式表示真实压力等于迭代压力加上修正压力，真实速度等于迭代速度加上修正速度。我们把第一步假定的压力场代入速度场：与前面的速度场关系式相减得到修正速度方程：如果近似地有，这里忽略了，则， 得到可见要求得真实速度必须要求得主节点上的压力修正量。建立压力修正方程是