最新人教版九年级数学上册24.4.1弧长和扇形面积(第1课时)

1、制造弯形管道时，要先按中心线计算制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度展直长度”( (虚线的长度虚线的长度) )，再下料，再下料，试计算图所示管道的展直长度试计算图所示管道的展直长度L L( (单位：单位：mm)mm)创设情境创设情境学习学习目标目标了解扇形的概念，理解了解扇形的概念，理解n n 的圆心角所对的的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算弧长和扇形面积的计算公式公式, ,并应用这些公式并应用这些公式解决相关问题。解决相关问题。（1 1）半径为）半径为R R的圆的圆, ,周长是周长是_C=2RC=2R（3 3）圆心角是）圆心角是1 10 0的扇形是圆周长的的扇形是圆周长的_ 3601A

2、 AB BOOn n（4 4）n n圆心角所对的弧长是圆心角所对的弧长是1 1圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长的_倍，倍，是圆周长的是圆周长的_ _ n n（5 5）n n圆心角所对弧长是圆心角所对弧长是_ 180Rn 自学提纲自学提纲1 1自学教材自学教材P111P111，思考下列内容：，思考下列内容： （2 2）圆的周长可以看作是）圆的周长可以看作是_度的圆心角度的圆心角 所对的弧长所对的弧长3603601 1圆心角所对弧长是圆心角所对弧长是_ _ 18023601RR360n若设若设OO半径为半径为R R，n n的圆心角所的圆心角所对对的弧长为的弧长为l l，则，则 180Rnll l

3、A AB BOOn n在应用弧长公式在应用弧长公式 进行计算时进行计算时, ,要注意公式中要注意公式中n n的意的意义义, ,n n表示表示1 1圆心角的倍数圆心角的倍数, ,它是不它是不带单位的；带单位的；180Rnl注意：注意：1 1、弧长与哪些因素有关？、弧长与哪些因素有关？2 2、在、在3 3个量个量l、R R、n n中，只要已知其中两中，只要已知其中两个量就可以求第三个量，那么请将公式变个量就可以求第三个量，那么请将公式变形求出形求出R R和和n n。Rln180nlR180圆心角圆心角 半径半径尝试练习尝试练习1 1已知弧所对的圆周角为已知弧所对的圆周角为9090, ,半径是半径是

4、4,4,则弧长为多少？则弧长为多少？360nlC圆4180Rn24)360解决问题：解决问题：制造弯形管道时，要先按中心线计算制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展，再下料，试计算图所示管道的展直长度直长度L L( (单位：单位：mm)mm)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧ABAB的长的长因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 180nRl5007002L100 900500180 如图：在如图：在AOC中，中，AOC=900，C=150，以，以O为为圆心，圆心，AO为半径的圆交为半径的圆交AC于于B点，若点，

5、若OA=6，求弧求弧AB的长。的长。ACBOAOC=900，C=150 OAC=750 又又OA=OB OAB=OAC=750 BOA=300 OA=6 180nRl180630 如下图，由组成圆心角的两条如下图，由组成圆心角的两条半径半径和和圆心角所对的圆心角所对的弧弧围成的图形是围成的图形是扇形扇形。半径半径半径半径OOB BA A圆心角圆心角弧弧OOB BA A扇形扇形精讲点拨精讲点拨（1 1）半径为）半径为R R的圆的圆, ,面积是面积是_ S=RS=R2 2 （2 2）圆心角为）圆心角为1 1的扇形的面积是的扇形的面积是_ 360R2（3 3）圆心角为）圆心角为n n的扇形的面积是圆

6、的扇形的面积是圆心角为心角为1 1的扇形的面积的的扇形的面积的_倍倍, ,是圆面积的是圆面积的_ _ n n（4 4）圆心角为）圆心角为n n的扇形的面积是的扇形的面积是_ _ 3602Rn自学提纲自学提纲2 2自学教材自学教材P112P112，思考下列内容：，思考下列内容： A AB BOOn n（2 2）圆的面积可以看作是）圆的面积可以看作是_度的度的圆心角所对的扇形圆心角所对的扇形360360360n1 1个圆面积个圆面积21个圆面积个圆面积41个圆面积个圆面积43个圆面积个圆面积圆心角是圆心角是1 10 0的扇形面积是多少？的扇形面积是多少？圆心角为圆心角为n n0 0的扇形面积是多少

7、的扇形面积是多少? ?圆心角是圆心角是1 10 0的扇形面积是圆面积的的扇形面积是圆面积的 3601圆心角是圆心角是n n0 0的扇形面积是圆面积的的扇形面积是圆面积的 360n如果用字母如果用字母 S S 表示扇形的面积，表示扇形的面积，n n表示圆心角的度数，表示圆心角的度数，r r 表示圆半表示圆半径，那么扇形面积的计算公式是：径，那么扇形面积的计算公式是：S扇形扇形 S圆圆360n360n r2在在半径半径为为 R 的圆中，的圆中，圆心角圆心角为为 n0 的扇形的面积是：的扇形的面积是：扇形面积公式扇形面积公式 注意注意: :（1 1）公式中）公式中n n的意义的意义n n表示表示1

8、1圆心角的倍数，它是圆心角的倍数，它是不带单位不带单位的；的；（2 2）公式要）公式要理解记忆理解记忆（即按照上面推导过程记忆）（即按照上面推导过程记忆）. . 已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为120120, ,半径为半径为2 2，则这个，则这个扇形的面积为多少？扇形的面积为多少？尝试练习尝试练习2 22360n RS扇形2360360nnSSR圆扇形212024360321204(2 )36032.2.（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角的增大而的增大而_。增大增大1.1.扇形的弧长和面积都由扇形的弧长和面积都由_、_决定？决定？面面 积积圆心角圆

9、心角 半径半径S扇形扇形 S圆圆360n360n R2 .d360n R180n 弧长弧长与与圆的周长圆的周长有关，扇形的有关，扇形的面积面积与与圆的面积圆的面积有关。因此，计算弧长有关。因此，计算弧长是是 ；而计算扇形的面积时是而计算扇形的面积时是 。C圆圆360nS圆圆360n弧弧 C圆圆360nl已知扇形的半径为已知扇形的半径为3 3cm,cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cm,cm,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2, ,180Rnl2336036036022RnS扇形1803n60n当堂训练当堂训练,3lR代 入问题问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？：扇形的弧长公式

10、与面积公式有联系吗？ 想一想想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？：扇形的面积公式与什么公式类似？ lRS21扇形3602RnS扇形180Rnl精讲点拨精讲点拨RRnRRnS180212180扇形lR21ahS21已知扇形的半径为已知扇形的半径为3cm,3cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cm,cm,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2, ,回顾思考回顾思考lRS21扇形解：2332123如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是半径是6 6，其中水面高为，其中水面高为3 3，求截面上有水，求截面上有水部分的面积。部分的面积。0 0B BA AC

11、CD D弓形的面积弓形的面积 = S= S扇扇- S- S提示：要求的面积，可提示：要求的面积，可以通过哪些图形面积的以通过哪些图形面积的和或差求得和或差求得解：如图，连接解：如图，连接OAOA、OBOB，作弦，作弦ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，垂足为垂足为D D，交弧，交弧ABAB于点于点C. C. OC=6OC=6，DC=3 DC=3 在在RtRtOADOAD中，中，OA=6OA=6，利用勾股定理可得：，利用勾股定理可得：3336AD2222ODOAOD=OC-DC=6-3=3OD=OC-DC=6-3=3AOD=60AOD=60， AOB=120 AOB=120在在RtRt OAD

12、OAD中，中，OD=1/2 OAOD=1/2 OAOABABSSO扇形630 0B BA AC CD D OAD=30 OAD=30336211239-12 有水部分的面积为有水部分的面积为= =ODAB21-36061202变式：变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是截面半径是6 6，其中水面高为，其中水面高为9 9，求截面上有，求截面上有水部分的面积。水部分的面积。0ABDCE弓形的面积弓形的面积 = S= S扇扇+ S+ S S弓形弓形=S扇形扇形-S三角形三角形 S弓形弓形=S扇形扇形+S三角形三角形规律提升规律提升00 0弓形的面积是扇形的面

13、积与三角形弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差面积的和或差通过本节课的学习，通过本节课的学习，我知道了我知道了学到了学到了感受到了感受到了体会分享体会分享2. 2. 扇形面积公式与弧长公式的区别：扇形面积公式与弧长公式的区别：S扇形扇形 S圆圆360nl弧弧 C圆圆360n1.1.扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？（2 2）与半径的长短有关）与半径的长短有关（1 1）与圆心角的大小有关）与圆心角的大小有关lRS21扇形2360n RS扇形180Rnl1.1.如图，已知扇形如图，已知扇形AOBAOB的半径的半径为为1010，AOB=60AOB=60，求

14、弧求弧ABAB的长和扇形的长和扇形AOBAOB的面积的面积（写详细过程）（写详细过程）当堂测验当堂测验2.2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是，则此扇形的圆心角是_813 3、已知扇形的半径为、已知扇形的半径为3cm,3cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cm,cm,则该扇形的积是则该扇形的积是_cm_cm2 2, ,扇形的圆心角为扇形的圆心角为_. .1.1.如图，已知扇形如图，已知扇形AOBAOB的半径为的半径为10cm10cm，AOB=60AOB=60，求弧，求弧ABAB的长的长和扇形和扇形AOBAOB的面积的面积( (写过程）写过程）

15、当堂测验当堂测验2.2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是，则此扇形的圆心角是_813 3、已知扇形的半径为、已知扇形的半径为6cm,6cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cm,cm,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2, ,扇形的圆心角扇形的圆心角为为_. .cm3102350cm4545330301.已知弧所对的圆心角为已知弧所对的圆心角为900，半径是，半径是4，则弧，则弧长为长为 。 2. 已知一条弧的半径为已知一条弧的半径为9，弧长为，弧长为8，那么这，那么这条弧所对的圆心角为条弧所对的圆心角为 。3、已知一条弧的弧长为

16、、已知一条弧的弧长为4 ，那么这条弧所，那么这条弧所对的圆周角为对的圆周角为45 ，这条弧所在的半径，这条弧所在的半径。4. 钟表的轴心到分针针端的长为钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经那么经过过40分钟分钟,分针针端转过的弧长是分针针端转过的弧长是( ) A. B. C. D. cm310cm320cm325cm35021600B3CCB推荐作业推荐作业1.1.教材教材124-125124-125页，习题页，习题24.424.4第第3 3、7 7题题 2.2.变式练习变式练习：如图、水平放置的圆柱形排如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是水管道的截面半径是0.6cm0.6cm，其中

17、水面高，其中水面高0.9cm0.9cm，求截面上有水部分的面积。，求截面上有水部分的面积。0如图，两个同心圆中，大圆的半径如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cmOA=4cm，AOB=BOC=60AOB=BOC=60，则图中阴影部分的面积是则图中阴影部分的面积是_cm_cm2 2。 BCAA A, , B B, , C C两两不相交两两不相交, ,且半径都且半径都是是1 1cmcm, ,则图中的三个扇形的面积之和则图中的三个扇形的面积之和为多少为多少? ?弧长的和为多少弧长的和为多少? ? （0707年北京）年北京）已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为a a，分别以，分别以A

18、 A、B B、C C为圆心，以为圆心，以0.5a0.5a为半径的圆相切于为半径的圆相切于点点D D、E E、F F，求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积S.S.如图如图,A,A、BB、CC、DD相互外离相互外离, ,它们的它们的半径都是半径都是1,1,顺次连接四个圆心得到四边形顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,ABCD,则图形中四个扇形则图形中四个扇形( (阴影部分阴影部分) )的面积之的面积之和是和是_._.如图，如图， A、 B、 C、 D两两不相交，两两不相交，且半径都是且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积。 （07年山东）年山东）ABCD 拓展提高拓展提高

19、：如图，如图，A是半径为是半径为1的圆的圆O外外一点，且一点，且OA=2，AB是是 O的切线，的切线，BC/OA，连结，连结AC，则阴影部分面积等，则阴影部分面积等于于 。OABC6OCDACDSS611360602OCDSS扇形阴影如图，半圆的直径如图，半圆的直径AB=2,弦弦CDAB,连连AC.AD,CAD=30,求求阴影部分的面积。阴影部分的面积。略解：连接略解：连接OC.OD分析：所求阴影部分是非常规分析：所求阴影部分是非常规图形，可转化为常规图形来解图形，可转化为常规图形来解决决COD=60 如图如图, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,已知已知DD经过原经过原点点O,O,

20、与与x x轴、轴、y y轴分别交于轴分别交于A A、B B两点两点,B,B点坐标点坐标为为(0, ),OC(0, ),OC与与DD相交于点相交于点C,OCA=30C,OCA=30, ,求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积?x?y?O?C?D?B?A32如图如图,Rt,RtABCABC中中,ABC=90,ABC=90,AB=BC=2,AB=BC=2,以以BCBC为直径为直径的圆交的圆交ACAC于点于点D, D, 则图中阴影部分的面则图中阴影部分的面积为积为_ ?O?C?D?B?A1 1、正方形的边长为，求阴影部分的面积、正方形的边长为，求阴影部分的面积2、正方形的边长为，求阴影部分的面积、正方形的边长为，求阴影部分的面积3.3.等边三角形的边长为，求阴影部分的面等