选修2-3独立性检验

1、3.2独立性检验的独立性检验的基本思想及其初基本思想及其初步应用步应用高二数学高二数学 选修选修2-3 第三章第三章 统计案例统计案例授课教师：胡周明2 2定量变量回归分析（画散点图、相关系数r、定量变量回归分析（画散点图、相关系数r、变量 相关指数R 、残差分析）变量 相关指数R 、残差分析）分类变量分类变量研究两个变量的相关关系：定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、 宗教信仰、国籍等等。宗教信仰、国籍等等。两种变量：独立性检验独立性检验本节研究的是两个分类

2、变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。吸烟有害健康！吸烟有害健康！正常人的肺正常人的肺吸烟者的肺吸烟者的肺 吸烟与肺癌列联表吸烟与肺癌列联表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟77757775424278177817吸烟吸烟20992099494921482148总计总计98749874919199659965为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机为了调查吸

3、烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了地调查了99659965人，得到如下结果（单位：人）人，得到如下结果（单位：人）列联表列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是在不吸烟者中患肺癌的比重是 在吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。肺癌的可能性大。0.54%0.54%2.28%2.28%探究探究不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟7775427817吸烟吸烟2099492148总计总计98749199651、列联表2、三维柱形图3、二维条形图不患肺癌患

4、肺癌吸烟不吸烟不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟080007000600050004000300020001000从三维柱形图能清晰看出从三维柱形图能清晰看出各个频数的相对大小。各个频数的相对大小。从二维条形图能看出，吸烟者中从二维条形图能看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通过图形直观判断两个分类变量是否相关：4、等高条形图等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%不吸烟吸烟不患肺癌患肺癌 上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和

5、患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点这需要用统计观点来考察这个问题。来考察这个问题。 现在想要知道能够以多大的把握认为现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关吸烟与患肺癌有关”，为此先假设为此先假设 H0：吸烟与患肺癌没有关系：吸烟与患肺癌没有关系.不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟aba+b吸烟吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表 用用A表示不吸烟，表示不吸烟，B表示不患肺癌，则表示不患肺癌，则“吸烟与患肺

6、癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”等价于等价于“吸烟与患肺癌独立吸烟与患肺癌独立”，即假设，即假设H0等价于等价于 P(AB)=P(A)P(B).因此因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟aba+b吸烟吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+dadbc即aa+ba+caa+ba+cnnnnnna+ba+bP(A),P(A),n na+ca+cP(B),P(B),n n.a aP(AB)P(AB)n n其中

7、为样本容量，即n = a+b+c+dn = a+b+c+d在表中，在表中，a恰好为事件恰好为事件AB发生的频数；发生的频数；a+b和和a+c恰好分别为事恰好分别为事件件A和和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条成立的条件下应该有件下应该有(a+b+c+d)a(a+b)(a+c), 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量析，我们构造一个随机变量-卡方统计量卡方统计量22(),()()()()其中为样本容量。n adbcKab cdac bdnabcd（1

8、） 若若 H0成立，即成立，即“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”，则，则K2应很小应很小。根据表根据表3-7中的数据，利用公式（中的数据，利用公式（1）计算得到）计算得到K2的观测值为：的观测值为：那么这个值到底能告诉我们什么呢？那么这个值到底能告诉我们什么呢？242 209956.6327817 2148 9874 91k9965(7775 49）（2） 独立性检验独立性检验在在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率成立的情况下，统计学家估算出如下的概率 即在即在H0成立的情况下，成立的情况下，K2的值大于的值大于6.635的概率非常小，近似的概率非常小，近似于于0.01。2(

9、6.635)0.01.P K （2） 也就是说，在也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量成立的情况下，对随机变量K2进行多次观进行多次观测，观测值超过测，观测值超过6.635的频率约为的频率约为0.01。思考 206.635?KH如果，就断定不成立，这种判断出错的可能性有多大答：判断出错的概率为0.01。2009965 7775 49 42 2099566327817 2148 9874 91().kHH 现现在在观观测测值值太太大大了了，在在成成立立的的情情况况下下能能够够出出现现这这样样的的观观测测值值的的概概率率不不超超过过0 0. .0 01 1，因因此此我我们们有有9 99 9%

10、%的的把把握握认认为为不不成成立立，即即有有9 99 9% %的的把把握握认认为为“吸吸烟烟与与患患肺肺癌癌有有关关系系”。判断判断 是否成立的规则是否成立的规则0H如果如果 ，就判断，就判断 不成立，即认为吸烟与不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断患肺癌有关系；否则，就判断 成立，即认为吸烟成立，即认为吸烟与患肺癌有关系。与患肺癌有关系。6.635k 0H0H独立性检验的定义独立性检验的定义 上面这种利用随机变量上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上来确定在多大程度上可以认为可以认为“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”的方法，称为两的方法，称为两个分类变量的个分类变量的独立

11、性检验独立性检验。在该规则下，把结论在该规则下，把结论“ 成立成立”错判成错判成“ 不不成立成立”的概率不会差过的概率不会差过0H0H2(6.635)0.01,P K 即有即有99%的把握认为的把握认为 不成立。不成立。0H独立性检验的基本思想（类似独立性检验的基本思想（类似反证法反证法）(1)(1)假设结论不成立假设结论不成立, ,即即 “两个分类变量没有关系两个分类变量没有关系”. .0:H(2)(2)在此假设下我们所构造的随机变量在此假设下我们所构造的随机变量 K K2 2 应该很小应该很小, ,如果由如果由观测数据计算得到观测数据计算得到K K2 2的观测值的观测值k k很大很大, ,

12、则在一定可信程度上则在一定可信程度上说明说明 不成立不成立. .即在一定可信程度上认为即在一定可信程度上认为“两个分类变量有两个分类变量有关系关系”；如果；如果k k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对对 的充分证据。的充分证据。0H0H(3)(3)根据随机变量根据随机变量K K2 2的含义的含义, ,可以通过评价该假设不合理的可以通过评价该假设不合理的程度程度, ,由实际计算出的由实际计算出的, ,说明假设不合理的程度为说明假设不合理的程度为1%,1%,即即“两两个分类变量有关系个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为这一结论成立的可信度为约

13、为99%.99%.怎样判断怎样判断K K2 2的观测值的观测值k是大还是小呢？是大还是小呢？ 这仅需要确定一个正数这仅需要确定一个正数 ，当，当 时就认为时就认为K K2 2的观测的观测值值 k大。此时相应于大。此时相应于 的判断规则为：的判断规则为：0k0kk0k如果如果 ，就认为，就认为“两个分类变量之间有关系两个分类变量之间有关系”；否则；否则就认为就认为“两个分类变量之间没有关系两个分类变量之间没有关系”。0kk0k-临界值临界值按照上述规则，把按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系两个分类变量之间没有关系”错误的判断错误的判断为为“两个分类变量之间有关系两个分类变量之间有关系”的

14、概率为的概率为P( ).20Kk思考：思考： 利用上面的结论，你能从列联表的等高条形图中利用上面的结论，你能从列联表的等高条形图中看出两个分类变量是否相关呢？看出两个分类变量是否相关呢？表表1-11 2x2联表联表 一般地，假设有两个分类变量一般地，假设有两个分类变量X和和Y，它们的取值，它们的取值分别为分别为x1,x2和和y1,y2,其样本频数列联表（称为其样本频数列联表（称为2x2列联表）列联表）为：为：y1y2总计总计x1aba+bx2cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d 若要判断的结论为：H1：“X与Y有关系”，可以按如下步骤判断H1成立的可能性：aabccd2、可以利用独立性

15、检验来考察两个分类变量是否有关系，并、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。且能较精确地给出这种判断的可靠程度。1、通过等高条形图，可以粗略地判断两个变量是否有关系、通过等高条形图，可以粗略地判断两个变量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。 在等高条形图中，在等高条形图中， 主对角线上两个柱形高度的乘积主对角线上两个柱形高度的乘积ad与与副对角线上两个柱形高度的乘积副对角线上两个柱形高度的乘积bc相差越大，相差越大，H1成立的可能成立的可能性就越大。性就越大。 在实际应用中，要在

16、获取样本数据之前通过下表确定临界值：在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：0.500.400.250.150.100.455 0.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.841 5.0246.6367.87910.8280)k2P(K0k0k0)k2P(K具体作法是：具体作法是：(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值根据实际问题需要的可信程度确定临界值 ；(2)利用公式利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量，由观测数据计算得到随机变量 的观测值；的观测值；(3)如果如果 ，就以，就以 的把握认为的把握认为“X与与Y有关系有

17、关系”；否则就说样本观测数据没有提供；否则就说样本观测数据没有提供“X与与Y有关系有关系”的充分证据。的充分证据。0k2K0kk20(1() 100%P Kk随机变量随机变量-卡方统计量卡方统计量22(),()()()()其中为样本容量。n adbcKab cdac bdnabcd独立性检验独立性检验0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280k0)k2P(K临界值表临界值表828.102K635. 62K706. 22K22.706K 0.1%0

18、.1%把握认为把握认为A A与与B B无关无关1%1%把握认为把握认为A A与与B B无关无关99.9%99.9%把握认把握认A A与与B B有关有关99%99%把握认为把握认为A A与与B B有关有关90%90%把握认为把握认为A A与与B B有关有关10%10%把握认为把握认为A A与与B B无关无关没有充分的依据显示没有充分的依据显示A A与与B B有关，但也不能显示有关，但也不能显示A A与与B B无关无关第一步：设第一步：设H H0 0： 吸烟吸烟和和患病患病之间没有关系之间没有关系 患病患病不患病不患病总计总计吸烟吸烟a ab ba+ba+b不吸烟不吸烟c cd dc+dc+d总计

19、总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d第二步：列出第二步：列出2 22 2列联表列联表 独立性检验的步骤独立性检验的步骤第三步：计算第三步：计算第四步：查对临界值表，作出判断。第四步：查对临界值表，作出判断。)()()()(22dcbadbcabcadnKP(P(k kkk0 0) )0.500.500.400.400.250.250.150.150.100.100.050.05 0.0250.025 0.0100.010 0.0050.005 0.0010.001k k0 00.4550.455 0.7080.708 1.3231.323 2.0722.072 2.7062

20、.706 3.8413.841 5.0245.024 6.6356.635 7.8797.879 10.82810.828反证法原理与假设检验原理反证法原理： 在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。 小试牛刀小试牛刀1、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 （ ） A. 若若k2=6.635,则有则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟名吸烟 者中，有者中，有99

21、个患肺病个患肺病. B. 从独立性检验可知从独立性检验可知,有有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某可以说某人吸烟人吸烟,那么他有那么他有99%的可能性患肺病的可能性患肺病. C. 若从统计量中求出有若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的的可能性使推断出现错误可能性使推断出现错误. D. 以上三种说法都不对以上三种说法都不对.22k2、在独立性检验时计算的的观测值、在独立性检验时计算的的观测值 =3.99，那么我们有（，那么我们有（ ）的把握认为这）的把握认为这两个分类变量有关系两个分类变量有关系

22、（ ） A90% B95% C99% D以上都不对以上都不对3、在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查、在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查1768人，经计算的人，经计算的k2=27.63，根据这，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是_ 的的.(填填“有关有关”“”“无关无关”)DD有关例例1.1.在在500500人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一年中的人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一年中的感冒记录与另外感冒记录与另外500500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。表所示。未未感冒

23、感冒感冒感冒合计合计使用血清使用血清252252248248500500未未使用血清使用血清224224276276500500合计合计47647652452410001000试画出列联表的条形图，并通过图形判断这种血清能否起到预试画出列联表的条形图，并通过图形判断这种血清能否起到预防感冒的作用？并进行独立性检验。防感冒的作用？并进行独立性检验。解：设解：设H0：感冒与是否使用该血清没有关系。感冒与是否使用该血清没有关系。075.7500500526474216242284258100022K因当因当H0成立时，成立时，K26.635的概率约为的概率约为0.01，故有，故有99%的把握认的把握

24、认为该血清能起到预防感冒的作用。为该血清能起到预防感冒的作用。P(kkP(kk0 0) ) 0.500.500.400.400.250.250.150.150.100.100.050.050.0250.025 0.0100.010 0.0050.005 0.0010.001k k0 00.4550.455 0.7080.708 1.3231.323 2.0722.072 2.7062.706 3.8413.841 5.0245.024 6.6356.635 7.8797.879 10.82810.828P(kkP(kk0 0) ) 0.500.500.400.400.250.250.150.1

25、50.100.100.050.050.0250.025 0.0100.010 0.0050.005 0.0010.001k k0 00.4550.455 0.7080.708 1.3231.323 2.0722.072 2.7062.706 3.8413.841 5.0245.024 6.6356.635 7.8797.879 10.82810.828有效有效无效无效合计合计口服口服585840409898注射注射646431319595合计合计1221227171193193解：设解：设H0：药的效果与给药方式没有关系。药的效果与给药方式没有关系。3896.19598711224064315

26、819322K因当因当H0成立时，成立时，K21.3896的概率大于的概率大于15%，故不能否定假设，故不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。例例2 2：为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效：为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查的结果列与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查的结果列在表中，根据所选择的在表中，根据所选择的193193个病人的数据，能否作出药的效果个病人的数据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？和给药方式有关的结论？P(kkP(kk0 0)

27、 ) 0.500.500.400.400.250.250.150.150.100.100.050.050.0250.025 0.0100.010 0.0050.005 0.0010.001k k0 00.4550.455 0.7080.708 1.3231.323 2.0722.072 2.7062.706 3.8413.841 5.0245.024 6.6356.635 7.8797.879 10.82810.828例例3：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，

28、所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？有效有效无效无效合计合计复方江剪刀草复方江剪刀草18461245胆黄片胆黄片919100合计合计27570345解：设解：设H0：两种中草药的治疗效果没有差异。两种中草药的治疗效果没有差异。098.11100245702759161918434522K因当因当H0成立时，成立时，K210.828的概率为的概率为0.001，故有，故有99.9%的把握的把握认为，两种药物的疗效有差异。认为，两种药物的疗效有差异。例例4 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系

29、，在某城市的某校高中生中随机抽取某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：名学生，得到如下联表：喜欢数学课程喜欢数学课程不喜欢数学课程不喜欢数学课程总计总计男男37378585122122女女3535143143178178总计总计7272228228300300由表中数据计算由表中数据计算K2的观测值的观测值k 4.514。能够以能够以95%的把握认为高的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出结论的依据。结论的依据。()()()()()abcd ab cdac bd 22(),()()()()n adbcKab cd ac bd因此，因此， 越大，越大， “性别与喜欢数学课程之间有关系性别与喜欢数学课程之间有关系”成立的可能性就越大。成立的可能性就越大。2K另一方面，在假设另一方面，在假设“性别与喜欢数学课程之间有关系性别与喜欢数学课程之间有关系”的前提下，事件的前提下，事件 的概率为的概率为23.841K 2(3.841)0.05,P K 因此事件因此事件A是一个小概率事件。而由样本数据计算得是一个小概率事件。而由样本数据计算得 的观测值的观测值k=4.