第5章-导数和微积分-5-3参变量函数的导数

1、 平面曲线通常用方程来表示;一般情形下则采用参数方程这样做最明显的好处,是能方便地推广为多维空间的情形, 例如 中的曲线: 3 参变量函数的导数数学分析 第五章导数和微分( )yf x ( , )0F x y 或( ),( ),.xx tyy ttI( ),( ),( ),.xx tyy tzz ttI3R数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社3 参变量函数的导数设平面曲线设平面曲线 C 的参数方程为的参数方程为平面曲线两种方程之间的联系平面曲线两种方程之间的联系. ( ),.(1)( ),xttyt 如果函数如果函数 有反函数有反函数( )xt ),(1xt 1( )( ).yxf x

2、确定复合函数确定复合函数( ), ( ),tt 如如果果都都可可导导, 0)( t 且且根据复合根据复合这种由参数方程这种由参数方程 (1) 所表示的函数所表示的函数, 称为参变量函称为参变量函则则(1)式可式可由此说明由此说明数数.后退 前进 目录 退出函数和反函数的求导法则函数和反函数的求导法则, 得到得到数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社3 参变量函数的导数( ),.(1)( ),xttyt ddd( )dd.(2d)ddd d( )yyttyxttxtxt 设由设由 (1) 式表示的曲线式表示的曲线 C的割线的割线 的斜率为的斜率为00( ),( )Qtttt PQ00( (

3、), ( )Ptt 在在点点0000( )(),( )()tttyxttt (2)(2) 式的几何意义如下式的几何意义如下: 处有切线处有切线. 过点过点 及邻近点及邻近点 P如果如果0( ),( )ttt 在在点点则切线则切线, 0)(0 t 可导，可导，的斜率为的斜率为0tanlimtyx 00000 ( )() lim ( )() ttttttttt ,)()(00tt 数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社3 参变量函数的导数22( )( )0,tt 则称曲线则称曲线 C 为为光滑曲线光滑曲线. , , 若若在在上都存在连续导数上都存在连续导数, ,且且yQOyxPx C切线切线,

4、 且切线与且切线与 x 轴正向的夹角轴正向的夹角( ) tt 是是 的的连连续续函函数数. .,0)(0时时当当 t 有有.)()(cot00tt 其中其中 是切线与是切线与 x 轴轴 正向的夹角正向的夹角 ( 见图见图 ) . .光滑曲线的每一点都存在光滑曲线的每一点都存在数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社3 参变量函数的导数例例1 求由参数方程求由参数方程cos ,(0, )sin ,xattybt ( 这是上半椭圆方程这是上半椭圆方程 ) 所确定的函数所确定的函数 的的( )yf x 导数导数, 并求此椭圆在并求此椭圆在 处的切线方程处的切线方程.4t ddddddyyxttx

5、4d.dtybax 故所求切线为故所求切线为: :22().22bbayxa 解解 由公式由公式 (2) 得到得到( sin )cot ,( cos )btbtata 数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社3 参变量函数的导数( )cos ,( )sin.xy 例例2 若曲线若曲线 由极坐标方程由极坐标方程 ( ) 给出给出, , 则则C可以把它转化成以极角可以把它转化成以极角 为参数的参数方程为参数的参数方程xOT HM C dd,ddxy如果存在如果存在, 0dd x且且则则d( ( )sin )( )sin( )cosd( ( )cos )( )cos( )sinyx ( )tan(

6、 ).(3)( )( )tan 数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社3 参变量函数的导数夹角夹角 的正切是的正切是将将 (3) 式代入式代入 (4) 式式, 化简后可得化简后可得tantantantan().(4)1tantan ( )tan.(5)( ) 夹角夹角 tan. 的的正正切切过过 M 的射线的射线 OH ( 即点即点M的向径的向径 ) 与切线与切线 MT 的的xOT HM C (3) 式表示的是曲线式表示的是曲线)( 线线 MT 与极轴与极轴 Ox 的的( , )M 在在点点处处的切的切数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社3 参变量函数的导数证证, 因因为为对对每每一一值值arctan2.常常数数所以这条曲线上任一点的切线与向径的夹角等于所以这条曲线上任一点