第9次课-静电能量与力

1、第第 一一 章章静静 电电 场场1.9 1.9 静电能量与力静电能量与力1. 静电能量静电能量 (Electrostatic Energy)Electrostatic Energy and Force 电磁场是物质电磁场是物质能量是物质的基本属性能量是物质的基本属性 能量能量作功（作功（电场能量是在建立电场过程中从与各电场能量是在建立电场过程中从与各导体相连接的电源中取得的，因此电场储能是外力导体相连接的电源中取得的，因此电场储能是外力做功形成的）做功形成的） 带电系统的静电能：带电过程伴随着电荷运动，在带电系统的静电能：带电过程伴随着电荷运动，在此过程中外力克服电场力作功，转化为带电系统的此

2、过程中外力克服电场力作功，转化为带电系统的能量能量静电能量。静电能量。 电场由电荷分布决定，静电能量也一样。电场由电荷分布决定，静电能量也一样。第第 一一 章章静静 电电 场场 用场源（电荷和电位）表示静电能量用场源（电荷和电位）表示静电能量讨论前提讨论前提线性系统；线性系统；电场建立无限缓慢，忽略能量的辐射；电场建立无限缓慢，忽略能量的辐射；没有动能，只考虑位能。没有动能，只考虑位能。明确几点：明确几点：带电系统的静电能量是由外界提供的能量转化而获得的；带电系统的静电能量是由外界提供的能量转化而获得的；带电系统的静电能量等于将各电荷元从无限远移来过程中带电系统的静电能量等于将各电荷元从无限远

3、移来过程中外力作的功，即外力所做的功等于带电系统能量的增加；外力作的功，即外力所做的功等于带电系统能量的增加；带电系统的形成过程实际上就是建立电场的过程，带电系带电系统的形成过程实际上就是建立电场的过程，带电系统的静电能量分布在电场所在的整个空间中。统的静电能量分布在电场所在的整个空间中。第第 一一 章章静静 电电 场场 电荷之间具有相互作用能（电位能），当电荷间电荷之间具有相互作用能（电位能），当电荷间相对位置发生变化或系统电荷量发生变化时，静电能相对位置发生变化或系统电荷量发生变化时，静电能转化为其它形式的能量。转化为其它形式的能量。假设假设q1、q2从相距无穷远移至相距为从相距无穷远移至

4、相距为r。 先把先把q1从无限远移至从无限远移至A点，因点，因q2与与A点相距仍然为点相距仍然为无限，外力做功等于零。无限，外力做功等于零。q1Aq1q2一、电荷系统的静电能量一、电荷系统的静电能量（1 1）两个点电荷系统）两个点电荷系统第第 一一 章章静静 电电 场场 再把再把q2从无限远移至从无限远移至B点，外力要克服点，外力要克服q1的电场力的电场力做功，其大小等于系统电势能的增量。做功，其大小等于系统电势能的增量。q1Aq1q2()Aq VV22q2BrV2是是q1在在B点产生的电势，点产生的电势，V是是q1在无限远处的电势。在无限远处的电势。qVr11014V 0所以所以Aq V22

5、q qr12014第第 一一 章章静静 电电 场场 同理，先把同理，先把q2从无限远移从无限远移B点，再把点，再把q1移到点，移到点，外力做功为外力做功为Aq V11q qr12014V1是是q2在在A点产生的电势。点产生的电势。两种不同的迁移过程，外力做功相等。两种不同的迁移过程，外力做功相等。根据功能原理，外力做功等于系统的相互作用能根据功能原理，外力做功等于系统的相互作用能W。q qWAr12014q1Aq1q2q2Br第第 一一 章章静静 电电 场场可改写为可改写为qqWqqrr21120011112424q Vq V11221122iiiqV2112 Vi 为为qi i处的电位，表示

6、在给定的点电荷系中，处的电位，表示在给定的点电荷系中，除第除第i个点电荷之外的其他所有点电荷在第个点电荷之外的其他所有点电荷在第i个点电个点电荷处所激发的电位。荷处所激发的电位。第第 一一 章章静静 电电 场场依次把依次把q1 、q2、 q3从无限远移至所在的位置。从无限远移至所在的位置。Aq1把把q1 移至移至A点，外力做功点，外力做功A 10再把再把q2 移至移至B点，外力做功点，外力做功q2Br12qAqr1220 124最后把最后把q3 移至移至C点，外力做功点，外力做功q3Cr13r23()qqAqrr12330 130 2344（2 2）三个点电荷系统）三个点电荷系统第第 一一 章

7、章静静 电电 场场三个点电荷组成的系统的相互作用能量（电势能）三个点电荷组成的系统的相互作用能量（电势能）WAAA123()qqqqqrrr112230 120 130 23444Aq1q2Br12q3Cr13r23第第 一一 章章静静 电电 场场可改写为可改写为()()qqqqWqqrrrr3321120 120 130 120 23124444()qqqrr1230 130 2344()q Vq Vq V11223312iiiqV3112V V1 1是是q q2 2和和q q3 3在在q q1 1 所在处产生的电位所在处产生的电位. .V V2 2是是q q1 1和和q q3 3在在q q

8、2 2 所在处产生的电位所在处产生的电位. .V V3 3是是q q1 1和和q q2 2在在q q3 3 所在处产生的电位所在处产生的电位. .第第 一一 章章静静 电电 场场 推广至由推广至由n个点电荷组成的系统，其相互作用能个点电荷组成的系统，其相互作用能（电位能）为（电位能）为niiiWqV112Vi是除是除qi外的其它所有电荷在外的其它所有电荷在qi 所在处产生的电位。所在处产生的电位。（3 3）多个点电荷系统）多个点电荷系统第第 一一 章章静静 电电 场场 以体电荷分布为例，设想不断把体电荷元以体电荷分布为例，设想不断把体电荷元 dV从从无穷远处迁移到物体上，无穷远处迁移到物体上，

9、系统的静电能为系统的静电能为dVWV12 是体电荷元处的电位。是体电荷元处的电位。同理，面分布电荷系统的静电能为：同理，面分布电荷系统的静电能为：dSWS12二、电荷连续分布导体系统的静电能量二、电荷连续分布导体系统的静电能量第第 一一 章章静静 电电 场场以平板电容器以平板电容器C为例，计算电容器两极板为例，计算电容器两极板A A和和B B分别带有分别带有电量电量 和和 ，两极板间电势差为，两极板间电势差为 时，所具有的时，所具有的静电能量。静电能量。QQU外力作功，使原来无电场的电容外力作功，使原来无电场的电容器两极间建立了静电场！器两极间建立了静电场！三、静电场的能量密度与总能量三、静电

10、场的能量密度与总能量qqdqUEBA第第 一一 章章静静 电电 场场当电容器极板带电当电容器极板带电 ，两板电势，两板电势差为差为 时，把电荷元时，把电荷元 从从 板板移到移到 板，外力克服电场力作功为板，外力克服电场力作功为qUdqBAqdWUdqdqC 若使电容器两板带电若使电容器两板带电 和和 ，外力总功，外力总功即为电容器静电能量。即为电容器静电能量。QQQeqQWdWdqCC2012即即eQWU QC UC22111222qqdqUEBA第第 一一 章章静静 电电 场场平板电容器的能量平板电容器的能量ABWCUE SdE V222111222电能贮藏在电场中，静电场能量的体密度为电能

11、贮藏在电场中，静电场能量的体密度为eWDwEDEV2211222ddeVVWw VDE V12 上式虽然从特例导出，但这是一个普遍适用公式，上式虽然从特例导出，但这是一个普遍适用公式，对任意电场都是正确的，因此，计算任一带电系统整个对任意电场都是正确的，因此，计算任一带电系统整个电场的总能量为电场的总能量为其积分遍及电场所占有的整个空间。其积分遍及电场所占有的整个空间。第第 一一 章章静静 电电 场场VdmmqdWd VVdVdVmdmW 2110 tt 000)(10m m )(10m m dmd 电荷增量电荷增量Vdmdq 设设将将dq电荷电荷移至电场中外源做功移至电场中外源做功四、带电系

12、统静电能量的一般推导过程四、带电系统静电能量的一般推导过程第第 一一 章章静静 电电 场场推广推广2 2： 若是带电若是带电导体导体系统，静电能量为系统，静电能量为iniiniSiiSqdSdSW 11212121推广推广1 1 ：若是连续分布的电荷，若是连续分布的电荷， lSVqd ,d ,ddVlS dldSdW 212121VVdVW 21注意上式建立在静电场是位场的基础上，只适用上式建立在静电场是位场的基础上，只适用于静电场。于静电场。第第 一一 章章静静 电电 场场推广推广3 3： 若是若是 n 个点电荷的系统，静电能量为个点电荷的系统，静电能量为iniiqW121只含互有能只含互有

13、能固有能和相互作用能固有能和相互作用能固有能固有能将一个带电体视为无穷多个带电体元。将这无穷多将一个带电体视为无穷多个带电体元。将这无穷多个带电体元从无限分散状态聚集成该带电体，外力个带电体元从无限分散状态聚集成该带电体，外力所作的功即为该带电体的固有能。所作的功即为该带电体的固有能。互有能互有能把各区域的电荷放置到各自给定位置所需的功。或者把各区域的电荷放置到各自给定位置所需的功。或者说，将各带电体从现有位置彼此分开到无限远时，他说，将各带电体从现有位置彼此分开到无限远时，他们之间的静电力所做的功定义为带电体间的互有能。们之间的静电力所做的功定义为带电体间的互有能。第第 一一 章章静静 电电

14、 场场设空间有两个电荷分布区设空间有两个电荷分布区 说明要把一定量的电荷压缩到几何上的一个说明要把一定量的电荷压缩到几何上的一个点需要克服无穷大的斥力，需要作无穷大的功。点需要克服无穷大的斥力，需要作无穷大的功。同理，线电荷的固有能也为无穷大。对点、线电同理，线电荷的固有能也为无穷大。对点、线电荷只研究互有能。荷只研究互有能。点电荷点电荷q qV1 1V2 2 2102121iViiiiVi)dV(dVW 2102121iVViiiiiiidVdV 0iiiWW 当当0iVi iiiW 第第 一一 章章静静 电电 场场 半径为半径为a a的球面带电荷的球面带电荷Q，球心放一点电荷球心放一点电荷

15、q，求静电求静电能量。能量。互互固固WWW总a4Qar0 )(a4qQ0 aQ0124 球面电荷的固有能球面电荷的固有能21122121 QqW互互例例解解 qa8QdSdSW02SS 221固固Q在在球面产生的电位球面产生的电位Q在在球心建立的电位球心建立的电位aq 0214 q q在在球面产生的电位球面产生的电位把点电荷从把点电荷从 移至球面移至球面电荷中心所电荷中心所需作的功需作的功第第 一一 章章静静 电电 场场 用场量表示静电能量用场量表示静电能量能量能量VVd21DVVWd21 DDD)()（矢量衡等式矢量衡等式VVVVWd d) (21DDVSVd21d21EDSDVSdSdW2

16、121V若用公式计算若用公式计算第第 一一 章章静静 电电 场场J dEDWVV21定义能量密度定义能量密度3 J/mEDw21各向同性均匀媒质各向同性均匀媒质DEw222121适用适用于静于静电场电场和时和时变场变场VdEDSdDWVS2121 因因 当时，面积分为零，故当时，面积分为零，故,1 3rDr,2rs第第 一一 章章静静 电电 场场 半径为半径为a a的球面带面电荷的球面带面电荷Q，球心放一点电荷球心放一点电荷q，求静求静电能量。电能量。aQ)(qaq02024421例例解解 qadrrrq022200442VVdVEdEDW20221VadrrrQq22200442aQqa8Q

17、0024点电荷的固有能点电荷的固有能第第 一一 章章静静 电电 场场)qq(qWKKKe2211212121 221CU 试求平板电容器的静电能量。试求平板电容器的静电能量。例例 平行板电容器解解带电带电导体导体系统系统qUqq212121)( 电容能量电容能量的计算式的计算式EDESdqUVWwe212121第第 一一 章章静静 电电 场场 试求真空中体电荷密度为试求真空中体电荷密度为 的介质球产生的静电能量。的介质球产生的静电能量。rrErrVd421d4212122202021 aaVeEdEDWarraarrrreeE20333）（05215192a由场量求静电能量由场量求静电能量例例

18、解一解一第第 一一 章章静静 电电 场场 由场源求静电能量由场源求静电能量球内任一点的电位球内任一点的电位)22(3 d43/4d43/4022220323ararrarrraar)(05215192 a dWVV 21解二解二rrrdaaWa2022202422321 )(第第 一一 章章静静 电电 场场 原子可看成由带正电荷原子可看成由带正电荷q的原子核被体电荷分布的负的原子核被体电荷分布的负电荷云电荷云-q包围，试求原子结合能。包围，试求原子结合能。体点总WWW520体154aW0202202)3(2)0(arar2002483234aqaaq20283aq)0(qW点前例中当前例中当

19、时时 ， 0aqaqaW0202520总40983154 原子结构模型例例解解第第 一一 章章静静 电电 场场2.2.静电力静电力 (Electrostatic Force)1 1） 根据电场定义计算静电力根据电场定义计算静电力Edqfd Edqf注意上式使用的条件只适用于均匀介质只适用于均匀介质式中的电场式中的电场E不包括不包括dq本身的贡献本身的贡献矢量积分矢量积分第第 一一 章章静静 电电 场场 多导体系统 ( K 打开 )虚位移法虚位移法2 2） 根据电场能量计算静电力根据电场能量计算静电力 在多导体系统中，导体在多导体系统中，导体p发生位移发生位移dg后后, ,系统发生的功系统发生的

20、功能过程为：能过程为：外源提供能量 = 静电能量增量 + 电场力所作功gdfWdWde 常电荷系统（常电荷系统（K打开）打开）gdfWde0eWdgdf第第 一一 章章静静 电电 场场 取消外源后，电场力做功必须靠减少电场取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。中静电能量来实现。.cunstqekgWf表明 常电位系统（常电位系统（K 闭合）闭合） 多导体系统( K 闭合 )pkkqdWd 外源提供能量的增量外源提供能量的增量第第 一一 章章静静 电电 场场 外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。另一半用于电场力做功

21、。constekgWf gdfqdqdkkkk 21表明ekkWddqgdf 21注意 dg广义坐标：距离、面积、体积、角度。距离、面积、体积、角度。第第 一一 章章静静 电电 场场广义力广义坐标 =功 广义坐标 距 离 面 积 体 积 角 度 广义力 机械力 表面张力 压强 转矩 单 位 N N/m N/m2 N m f广义力：企图改变某一个广义坐标的力。企图改变某一个广义坐标的力。满足满足对应关系：对应关系： 广义力是代数量广义力是代数量 ，根据，根据 f 的的“”号判断力的方号判断力的方向。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。向。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。第第 一一 章章静静

22、电电 场场常电位系统cedWf0222022dSUdCU221CUWedSC0试求图示平行板电容器两极板间的电场力。试求图示平行板电容器两极板间的电场力。平行板电容器取取d 为广义坐标（相对位置坐标）为广义坐标（相对位置坐标） 负号表示电场力的方向企图使负号表示电场力的方向企图使 广义坐标广义坐标d 减小，即电容增大。减小，即电容增大。例例解一解一第第 一一 章章静静 电电 场场常电荷系统SdqCqCUWe022222121 0202SqdWfcq 当满足所设条件，两种计算结果相同当满足所设条件，两种计算结果相同2200220022222dUSESSDS 解二解二第第 一一 章章静静 电电 场

23、场 图示一球形薄膜带电表面，半径为图示一球形薄膜带电表面，半径为a ，其上带电荷为，其上带电荷为q，试求薄膜单位面积所受的电场力。试求薄膜单位面积所受的电场力。 取体积为广义坐标取体积为广义坐标CqWe221aC04)34(3aWVWfecqe)412(4022aqaaf 的方向是广义坐标的方向是广义坐标V V 增加的方向，表现为膨胀力。增加的方向，表现为膨胀力。0324022aqN/m2 球形薄膜例例解解第第 一一 章章静静 电电 场场根据库仑定律，点电荷根据库仑定律，点电荷q q处的电场处的电场应用虚位移法应用虚位移法图示为半径为图示为半径为R、接电压、接电压U0的导体球位于点电荷的导体球

24、位于点电荷q的电的电场中场中，试求导体球所受的电场力。，试求导体球所受的电场力。 应用镜像法应用镜像法例例解解2200044)(bdqdRU1E004URQ Q2220204)(RdqdRdqRUqEf2kkeqW 21)(qdRRUU000421)(220042RdqRdRUq第第 一一 章章静静 电电 场场22204)(Rd dRqdWf2cqe 沿广义坐标沿广义坐标增大的方向增大的方向 设为常电荷系统设为常电荷系统 设为常电位系统设为常电位系统22204)(Rd dRqdWf2ce )(220220082RdqRRUWe 虚位移法的结果不正确，因为系统不属于常电虚位移法的结果不正确，因为

25、系统不属于常电位系统，也不是常电荷系统。位系统，也不是常电荷系统。第第 一一 章章静静 电电 场场3 3） 根据法拉第观点计算静电力根据法拉第观点计算静电力（Farades review） 法拉第认为，在场中沿通量线作一通量管，沿其轴向受法拉第认为，在场中沿通量线作一通量管，沿其轴向受到电场的纵张力，垂直于轴线方向受到侧压力，纵张力和侧到电场的纵张力，垂直于轴线方向受到侧压力，纵张力和侧压力大小相等，为：压力大小相等，为：EDf21)(2mN 电位移管受力情况 物体受力情况第第 一一 章章静静 电电 场场2202dUSf 如平板电容器极板受力大小：如平板电容器极板受力大小：极板单位面积受力大小：极板单位面积受力大小：DEdU/SdUSf2122220220应用法拉第对电场清应用法拉第对电场清晰和形象化的描述可晰和形象化的描述可以定性的分析判断带以定性的分析判断带电系统受力情况电系统受力情况法拉第观点的作用第第 一一 章章静静 电电 场场应用法拉第观点可以对一些电场力问