复合函数的概念及复合函数的单调性

1、复合函数的概念及复合函数的单调性一、知识点内容和要求：理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间二、教学过程设计（一）复习函数的单调性 引例：函数y=f（x）在上单调递减，则函数（a0，且a1）增减性如何？（二）新课1、复合函数的概念如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=fg（x）叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立，a是中间变量。2、复合函数单调性由引例：对任意a，都有意义（a0且a1）且。对任意，当a1时，单调递增，当0a1时，单调递减。当a1时，

2、y=f（u）是上的递减函数 是单调递减函数类似地，当0a1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当XM时，uN。有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=fg（x）在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=fg（x）在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=fg（x）在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=fg（x）在M上也是增函数。即：同增异减。

3、注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。  例1、讨论函数的单调性（1）（2）解：又是减函数函数的增区间是（-，2，减区间是2，+）。x（-1，3）令x（-1，1上，u是递增的，x1，3）上，u是递减的。是增函数函数在（-1，1上单调递增，在（1，3）上单调递减。注意：要求定义域 练习：求下列函数的单调区间。1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-，-3），减区间（1，+）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。2、已知求g（x）的单调区间。提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-，-1，0

4、，1，单调递减区间分别为-1，0，1，+）。例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）（1）y=f（x）的表达式及定义域；（2）求y=f（x）的值域；（3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。答案：（1）x（0，3）（2）（0，（3）y=f（x）在上单调递增函数，在上是单调递减函数当x时，；当x时，。例3、确定函数的单调区间。提示，先求定义域：（-，0），（0，+），再由奇函数，先考虑（0，+）上单调性，并分情况讨论。函数的递增区间分别为（-，-1， 0，+）函数的递减区间分别为-1，0），（0，1。作业：1、求下列函数的单调区间。（1）（2）（3）2、求函数的递减区间。3、求函数的递增区间。4、讨论下列函数的单调性。（1）（2）答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+）（3）递减区间（-，0递增区间