4复数-拔高难度-讲义

1、复数引入复数的引入(一)复数的诞生1545年，意大利数学家卡丹(或 朱丹诺” 1501576)发表重要数学著作伟大的艺术，在 书中提出了三次方根的求根公式.同时，提出了另一个问题，有没有两个数的和是10,乘积是40 ?在实数范围内，我们可以这么思考： 这两个数必须都是正数，但两个正数的和一定时，积有最大值，和为10时，积的最大值为 25,故这样两个数一定不存在.从另一个角度，由韦达定理知这样的两个数是一元二次方程x2 10x 40 0的两个根，这个方程的判别式小于零，故没有实数解.卡丹给出答案：5 ，75与5 5 ,但并不清楚这有什么意义.于是引发了一个重要问题，是什么？(二)复数与虚数.笛卡

2、尔并不承认，并起名为“imaginary number于是大家称为 虚数i莱布尼兹说：上帝在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，介于存在与不存在之间欧拉说： 它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们是纯属虚幻(三)复数的意义引入后，所有的二次方程都有根，由此可以得到所有的n次方程都有根，且必有 n个根.(重根重复计算)解读、复数的概念1 .虚数单位i ： i21, i /彳；2 .复数：所有形如 a bi(a , b R)的数就称为复数(complex number),复数通常用小 写字母z表示，即z a bi(a , b R),其中更

3、叫做复数z的实部,b叫做复数 z的虚部.教师内容：注意虚部是一个实数.如3 4i的实部为3,虚部为4; 3 4i的虚部为 4 .3 .复数的分类：z a bi ( a, b R )若 b 0 ,贝 U z 为实数(real number);若b 0,则z为虚数(imaginary number)； a 0, b 0时，z称为纯虚数.教师内容：如3 4i是一个虚数，但不是一个纯虚数；i是一个纯虚数.可以举例：若z (m 1) (m 1)i ,问z是实数、虚数、纯虚数时，m分别为多少？z是实数 m 1 ； z是虚数 m 1 ； z是纯虚数m 1 .4 .复数集：全体复数所构成的集合，也称复数系，常

4、用C表示，即 C z|z a bi, a R , b R .教师内容：常见数集的关系为：N*茴N Z茴Q R ? C .数系都用黑粗体的字母表示，区别于普通的集合C, R等.手写时有时习惯多加一道竖线加上区别.5 .复数相等与比较大小：相等的复数：a bi c d i ac且bd；比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小.教师内容：注意：如果题目中出现 Zi z2,则一定有Zi , z2 R ；如果出现z 0,则一定有z R.复数能比较大小的说法是错误的，复数不能比较大小的说法也是错误的.两个复数能比较大小当且仅当它们都是实数.26 .对所有的头系数一兀二次方程ax bx c 0 (a

5、 0),2 b . 4ac b2右 b 4ac 0 ,则此万程没有实根， 但有两个虚根，且两根x i2a2 a互为共轲复数，故实系数方程的虚根成对出现.(讲完这个知识点再讲例2)、复数的几何意义教师内容：如何引出复平面与复数的几何意义，下面提供一个参考：实数的几何意义：实数与数轴上的点 对应.如1表示数轴上一个点，1表示数轴上另一个点，它们关于 0对称,1也可以理解成1绕着原点O逆时针旋转180 ,得到1,如图.+ 180°1这相当于两次逆时针旋转 901 i i 1,故虚数i就是1绕原点逆时针旋转 90 ,故i在如图所求的位置, 它不在数轴上，在与数轴垂直的直线上.由此得到启发，可

6、以建立一个平面直角坐标系来表示复数，这就是复平面.用平面来理解复数是高斯在1831年提出的，这对复数被承认起到了很大的推动作用，建立复平面后，复数从一个抽象的概念变得具体，并与平面向量建立 起了联系.这里的引入我们会在复数乘法的几何意义中进一步阐述，这个内容我们会放在 同步讲解复数时，那时我们会进一步介绍复数的三角形式及乘除法的几何意义.1 .复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.y轴的单位是i .实轴与在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.x轴的单位是1,虚轴的交点叫做原点,复数z a bi2.复数的模：uur设 OZ a bi(a , b原点 (0, 0)对应复数0. uu

7、r 有序实数对(a, b) 点Z(a, b) 向量OZ -uurR),则向量 OZ的长度叫做复数a bi的鱼(或绝对值)|a bi | , |a bi | 后行.三、复数的运算教师内容：复数的运算是很自然的，但它是人为定义出来的，要求是与实数运算一定是相融的，不必深究这里的运算规律，直接按照常理运算即可.讲完运算可以接着做 后面的练习.2 .复数的加法定义：设乙 a bi (a, b R) , z2 c di (c, d R),定义 z1 z2 (a c) (b d)i . 复数的加法运算满足交换律、结合律.几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3 .复数的减法：定义： z

8、1 z2 (a bi) (c d i) (a c) (b d)i .几何意义：复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.4 .复数的乘法定义：z1 z2 (a bi) (c d i) (ac bd) (bc ad )i复数的乘法符合多项式的运算，且满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律.5 .共轲复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，贝座两个复数叫做互为共斩复数.复数z的共轲复数用z表示，即当z a bi时，z a bi . z z .共轲的几何意义：在复平面内，表示两个共轲复数的点关于实轴对称，并且共轲复数的z z iz2-模相等.一个复数与其共轲复数的乘积等于这个复数模的平方.

9、即 教师内容：轲”字本意：拉犁的两头牛牛背上的架子称为轲，轲使两头牛同步行走.共轲即为按一定的规律相配的一对.通俗点说就是挛生.2222有共轲双曲线的概念， 。与1与乌勺1称为共轲双曲线，它们共渐近线.a b b a即利用z z2z .复数的除法就是引出共轲复数后，就可以对复数进行实数化, 上下同乘分母的共轲复数.教师内容：讲完共轲复数，可以先讲下面的例子加深对共轲复数的理解 例：在下列命题中，正确命题的有 .对任意复数有z Z为纯虚数.对任意复数z是虚数的一个充要条件是 答案：；错误，z z可以为0;z z R ;z R的一个充要条件是 z z . 错误，z为实数时，也有z z R .6 .

10、复数的除法(abi) (ca bi di)c dia b i(a bi)( a b i)(a bi)(c c2 da bia，222a b |z|,1称为复数z ( z 0)的倒数. z教师内容：复数的乘法与除法也有几何意义，我们会在春季同步时进行介绍，春季还会介绍复数的三角形式与棣莫佛定理，产与计算.复数乘法可以看成旋转加上模长的伸缩，k的性质及与此相关的较复杂的复数的这时复数首先要用模长与角度表示出来,如1 i表小模长为 霹,角度为45 (称为幅角)的向量,一个复数乘以 如(3 4i)(1 i)这样(1 i)(1i)i即表示这个复数逆时针旋转 45 ,模长再伸长到原来的 72倍,1 7i

11、,如下图.2i就非常好理解了.可以在假期有同学发问时适当引导，但这些内容我们会在春季同步时稍微展开,典例精讲.选择题(共10小题)1.(2018春?孝感期末)已知复数z=a- 2+ai(a R)为纯虚数，贝U/？ " - ?2+x2)dx的值为()A. +兀B. +2兀C. 8+九D. 8+2冗33【分析】由已知求得a值，再由和的积分等于积分的和求解.【解答】解：: z=a- 2+ai (aCR)为纯虚数，伫*0,即a=2.2A 0?22 6 (V4- ?2+x2) dx= (V4- ?+ ?)? J0v4- ?+0?由 y=v4- ?,得 x2+y2=4 (y>0). v4-

12、 ? 4 x ?x4 = ? 1?|038-388 c 一一、8£? (v4- ?2+x2) dx 的值为一+ Tt.03故选：A.2. (2018春？顺德区期末)已知A、B、C是复平面内的三个不同点，点 A、C对 应的复数分别是1+i, 4-2i,若？?2?则点B表示的复数是()A. 5- 1? B. 2C. 2iD. 3-i22【分析】由已知求出A, C的坐标，设出B的坐标，再由已知向量等式列式求解.【解答】解：由题意可知，A (1, 1), C (4, -2),设 B (x, V)， 贝U? (4 - ? - 2- ?) ?= (? 1, ? 1),由？?殁?？得(4 x, -

13、2-y) = (2x-2, 2y- 2),即 x=2, y=0.点B表示的复数为2.a,b,若 z2=5+12i,则？?- ?A.B.512C.D.512故选：B.3. （2018春?邢台期末）记复数z的实部与虚部分别为?【分析】由已知可得z3bi,代入曲可得噌?/25,通分即可求得?一 【解答】解：,z=#bi,z2=a2 b2+2abi=5+12i,.?-?= 5, 2? 12皿？ ?-?2 "?- ?= ?故选：A.4. （2014春?南阳期中）复数| z+i| -|z- i| =2对应复平面内的曲线是（A,双曲线B,双曲线的一支C.线段D.两条射线【分析】根据复数的几何意义，

14、即可得到结论.【解答】解：: | z+i| -|z- i| 二2,丁表示z与点A （0, 1）, B （0, - 1）的距离之差的绝对值是个常数 2=| AB| , 则对应的曲线为两条射线，故选：D.5. （2014?和平区四模）若复数 ?+ （i为虚数单位）的实部与虚部互为相反1-? 2数，则实数a的值为（）A. 2B. 1C. - 1D. 0 ?1-?【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数赤+三，然后根据复数的实部与虚部互为相反数列出等式-等=?!，则实数a的值可求.【解答】V-+ 1-?2?(1+?) +(1-?)(1+?)1-?2?+? 1-?+1?-122 =22 '?又复

15、数言+1? （i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数,?+1?-1?2-'=宁，即 a=0.则实数a的值为0.故选：D.6. (2014春?洛阳期中)复数a十bi(a,bC R)的平方为实数的充要条件是(A. a2+b2=0B. ab=0C. a=0,且 bw0 D. aw0,且 b=0【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：(a 十 bi) 2=a2+2abi+bi2=a2 - b2+2abi,若复数为实数，则2ab=0,即ab=0,当 ab=0 时，(a 十 bi) 2=a2+2abi+bi2=a2 b2+2abi=a2 b2 为实数，故复数a十bi (a, b C R

16、)的平方为实数的充要条件是 ab=0, 故选：B.7. (2013TS口二模)若复数a+bi (a, bC R)满足条件(a+bi) (1+i)为实数或 为纯虚数，则实数a, b满足的条件是()A. a=bB. - a=bC. a2=b2D. a2wb2【分析】利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出.【解答】 解：= z= (a+bi) (1+i) =a b+ (a+b) i.二若z为实数，贝U a+b=0；若z为纯虚数，则? ?)0.综上可知：当(a+b) (a- b) =0即a2=b2时，复数a+bi (a, bC R)满足条件(a+bi) (1+i)为实数或为纯虚数.故选：C.8. (

17、2013?虹口区一模)若2-i是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一根，则该 方程两根的模的和为()A. v5B. 2V5C. 5D. 10.【分析】题目给出的是实系数一元二次方程，2-i是该方程的一个虚根，则方程 的另一个根为2+i,则方程的两根的模的和可求.【解答】解：因为2-i是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一根，根据实系数方程虚根成对原理知，方程 x2+ax+b=0的另一根为2+i.所以，|2 - ?= 2 + ?详 V? + 12 =建.所以，方程x2+ax+b=0的两根的模的和为2V5.故选：B.9. （2012春?连州市校级期中）|z-5+12i| <2,则|

18、z|的最小值为（A. 7B. 9C. 11D. 15【分析】根据复数的几何意义，利用数形结合进行求解即可.【解答】解：由 |z-5+12i|&2 得|z- （5-12i） | <2,则z的几何意义为以C （5, -12）为圆心，半径为2的圆及圆的内部, 则对应的图象为： 则|z|的几何意义为区域内的点到圆的距离, 则由图象知 |z| 的最小值为 |OA|=|OC - 2=v52 + (-12) 2-2=13-2=11,故选：C.c10. （2012春？寿县校级月考）我们用符号ei e表示复数cos阱isin，唧ei =cos +isin 9（其中e是自然对数的底数，8的单位是弧度

19、），给出下面三个结论：2?=2?' ：?一= ?钳+1=0.以上结论中，正确结论的序号是A.B.C.D.【分析】 由 ei =cos +isin 。知： 2e ? =2 ( cos-2 +isin - ) =2i ；?*? 1=(cos(+isin )(+cos( 0) +isin( 8) =cos Qei+1=cosHisin +1=0.【解答】解：: ei =cos +isin ,02e ?=2 (cos+isin) =2i,故正确； 22ei =cos+isin ,00) =cosQ故不成立;?+? 1=- (cos(+isin )0 +cos ( 0) +isin (一 22e

20、i =cos+isin ,0/. ei +1=cos +isin +1=0,故正确.故选：C.二.填空题（共4小题）11 .设复数z满足条件| z| =1，那么|?+西+ ?锹最大值时的复数 z 为一三 + 2 ?.【分析】复数的模转化为距离，| z| =1是单位圆上的点，|?+芭+ ?绿单位圆上点与（- 1）的距离的最大值，可求解答案.【解答】解：复数z满足条件|z| =1,它是复平面上的单位圆，那么|?+芯+ ?旅示单位圆上的点到（-西，-1）的距离，要使此距离取最大值的复数z,就是（-花，-1）和）（0, 0）连线和单位圆在第 一象限的交点.点（-苕,-1）到原点距离是2 .单位圆半径是

21、1 ,此连线与单位圆在第一象限 交点是（:,2）.故答案为：-2- + 2 ?12. （2018 春?无锡期末）已知复数 z1 , z2满足 | z1| =| z2| =| z1+z2| =1,则 |z1-z2| 二 v3 _.【分析】由已知可知两复数z1, z2对应的点Z1, Z2在单位圆上，且？?为？?所 成角为120。，再由余弦定理求解.【解答】解：设z1对应的点为Z1, z2对应的点为Z2,由 |z1| =|z2| =| z1+z2| =1,可知 Z1, Z2 在单位圆上,且？?右？?所成角为120°, |?- ?2?|2 = 12 + 12 - 2X1贝U | z1 z2|

22、 =v3.故答案为：V3.13.（2018春？海淀区校级期中）【分析】由复数模的几何意义,设 zC C, | z| =1,则 | z （1+i） | 的最大值是1+V2 .数形结合即可求得|z- （1+i） |的最大值.【解答】解：由题意可知，复数z的轨迹为单位圆,|z- （1+i） |的几何意义为单位圆上的动点到定点 P的距离, 由图可知，|z- （1+i） |的最大值为| AP| =1+0.?-2? 则F故答案为：1+ V2.14. （2018秋？中原区校级月考）已知复数 z=1+i,_ ?-2?【分析】把z=1+i代入与不,然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.【解答】,.,z=1

23、+i,?-2?(1+?2-2(1+?)2?-2-2?.?-11+?-1故答案为：2i.?=2i.三.解答题（共4小题）111M15. （2018春？镇安县校级期中）（1）已知z1=1-2i, z2=3+4i,求满足-+一的 ? ?复数z.?（2）已知z,为复数，（1+3i） -z为纯虚数，=2+?且|=5力.求复数 .1 1 1，一 “一1【分析】把Z1, Z2代入而右，利用复数代数形式的乘除运算化简求出-?进一步求出z;(2)设 z=a+bi (a, bCR),利用复数的运算及(1+3i) ?z= (1+3i) (a+bi) =a-一”QC c 一 ? 2?+? 2?-?_3b+(3a+b)

24、i为纯虚数，可得母冷3?%0,又士k + 丁7产5普,可得V2?警+ (警竽=5及，即可得出a, b,再代入可得 必【解答】解：(1)由 Z1=12i, Z2=3+4i,得 LL+L=L +? ? 1-2?3+4?1+2? + (1-2?)(1+2?)3-4?(3+4?)(3-4?)=1 + 2 ?+ - - ?= + ?5525252525则 z*=25(8-6?)=2-3?8+6?(8+6?)(8-6?)2 "(2)设 z=a+bi (a, b C R),v (1+3i) ?z= (1+3i) (a+bi)=a- 3b+ (3a+b) i 为纯虚数,? 3?= 0 >>

25、;3?+ 2A0,? (?+?)(2-?) 2?+?-(2?-?)?2?+? 2?-?_又2+?" (2+?)(2-?) =5= 5 +5 i' | ”| 一5.*2+(22?-?2=5整把 a=3b代入化为 b2=25,解得 b=±5, a=+ 15.=±(2X15+5 + 10-15 i) =± (7-i). 5516. (2017春？未央区校级期中)已知复数 z=1+i (i为虚数单位)，a、bCR, (I )若？?= ?+ 3?2 4,求| | ;?+?+?(R)若？-?+1 = 1 - ?求2, b 的化【分析】(I)利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.(II)利用复数的运算法则、复数相等即可得出.【解答】解：(I) . ?= ?+ 3?2 4= (1 + ?)+ 3(1 - ?) 4 = -1 - ?|?|=，(-1) 2 + (-1) 2 = V2.(II)由条件?+?+? (1+?2 +?(1+?)+? (?+?)+(?+2)?用-?+1(1+?)2-(1+?)+1?(a+b) + (a+2) i=i (1 i) =1+i,即?+?= 1,解得?= -1 .?+ 2 = 1?= 2.? 一，17. (2017春?扶余县校级月考)(1)已知Z是复数，Z+2i,均为实数，且复 2-?数(Z+ai) 2在复平面上对应