维欧氏空间上正交变换的分类

1、论文题目 正交变换的分类N维欧氏空间上正交变换的分类摘要：本文通过对正交变换的概念以及正交变换的一些定理进行定义，再逐步了解n维欧氏空间上的正交变换。最后讨论普通几何空间中正交变换的类型。 最终掌握欧氏空间、性质、判别及其初步分类关键字：欧氏空间 正交变换 分类1.1 正交变换的概念定义1 设V是一个欧氏空间，是V的一个变换若保持向量的内积不变，即"，V，都有(),()=, (1)则称是V上的一个正交变换从定义1容易看出，V的正交变换保持向量的长度不变，保持两个非零向量的夹角不变，保持正交性不变命题1.1 欧氏空间V上的正交变换一定是线性变换证 先证"，V, 有(+)=()

2、+()事实上， á(+)()+(),(+)()+()ñ=|(+)|22á(+),()+()ñ+|()+()|2=|+|22á(+),()ñ2á(+),()ñ+|()|2+|()|2+2á()，()ñ=|+|22á+, ñ2á+, ñ+|2+|2+2á，ñ=|+|22á+，+ñ+|+|2=0，所以保持加法运算同理可证(k)=k()，"V，kR故是V的一个线性变换 从命题1.1和定义1容易得出，正交变换保持两个

3、向量之间的距离不变命题1.2 欧氏空间V上的正交变换一定是单射因此，有限维欧氏空间的正交变换是可逆变换证 因为á(),()ñ=á,ñ，所以"KerÛ()=q Ûá(),() ñ=0Ûá,ñ=0Û=q从而Ker=0因此是单射此时，当dimV=n，则是满射，所以是双射，故可逆 注意到欧氏空间V的任一自同构均保持内积不变，因此由命题1.2立得推论1.1 有限维欧氏空间V的变换是正变变换的充分且必要条件为是欧氏空间V的自同构 我们可从另外一个角度来刻画正交变换，即定理1.1

4、 欧氏空间V到自身上的变换是正交变换的充分且必要条件为是保持向量的长度不变的线性变换证 必要性从定义1和命题1.1立即得到充分性 设EndV，且保持向量的长度不变，则",V，有(+),(+)=+,+ (2)(2)式的左边、右边分别为|2+2á,ñ+|2所以，(),()=,故是正交变换 显然，欧氏空间V的任两正交变换，的乘积仍然是正交变换1.2 n维欧氏空间的正交变换定理1.2 设是n维欧氏空间V的一个线性变换，则下列陈述彼此等价：1)是正交变换；2)若1,n是V的一个标准正交基，则(1),(n)也是V的标准正交基；3)在V的任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵证

5、1)Þ2) 因为(i),(j)=i,j=ij，i,j=1，2，n；且(i)q，i=1，n所以(1)，(n)是V的一个标准正交基2)Þ3) 任取V的一个标准正交基1，,n由假设知(1)，(n)也是V的标准正交基从而由基1，n到基(1),(n)的过渡矩阵A是正交矩阵，即(1,n)=( 1,n)A (3)(3)式说明在基1,n下的矩阵是A，故3)成立3)Þ1) 取V的一个标准正交基1，n，设在这个基下的矩阵是正交矩阵A"=(1,n)X，=(1,n)YV，则()=(1,n)(AX),()=( 1,n)(AY)由于1,n是V的标准正交基，所以(),()=(AX)&

6、#162;(AY)= X ¢ (A¢ A)Y= X ¢Y=,因此是正交变换 据上，在标准正交基下，n维欧氏空间V的正交变换与实n阶正交矩阵一一对应因而可利用正交矩阵将正交变换分类注意到正交矩阵的行列式等于1或1因此，行列式等于1的正交变换称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于1的正交变换称为第二类的 n维向量空间的任意一个n1维子空间称为一个超平面例1 在欧氏空间V中取一个标准正交基1,n定义V上的一个线性变换，使得(1)=1，(i)= i，i=2，n，则在基1,n下的矩阵为A=diag(1，In1)显然A是正交矩阵，因此是正交变换由于|A| = 1，因此是第二类

7、的这个正交变换是关于超平面W=L(2，n)的一个镜面反射(参见本节习题第2题)1.3 普通几何空间中正交变换的类型下面讨论几何空间V2和V3的正交变换有哪些类型？设是V2的一个正交变换，在V2的一个标准正交基1，2下的矩阵是U=，则U是一个正交矩阵因此a2+c2=1，b2+d2=1，ab+cd=0 (4)由第一个等式，存在一个角使a=cos，c=±sin由于cos=cos(±)，±sin=sin (±)，因此可设a=cosj，c=sinj这里j=或同理，由(4)的第二个等式，存在一个角y，使b=cosy，d=siny将a,b,c,d代入(4)的第三个等式

8、得cosjcosy+sinjsiny=0，或cos(jy)=0最后等式表明，jy是的一个奇数倍于是cos=sinj，siny =cosj所以，或对前一情形，是将V2的每一向量旋转角j的旋转；对后一情形，将V2中以(x，y)为坐标的向量变成以(xcosj+ysinj，xsinjycosj)为坐标的向量这时是关于直线y=x的反射这样，V2的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射若是后一情形，可以取V2的一个标准正交基b2，b3，使在基b1，b2下的矩阵为现在设是V3的一个正交变换，的特征多项式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根r令1是的属于特征值r的一个特征向量，并且取1是一个单位向量再添加单位向量2，3使1,2,3是V3的一个标准正交基则可设在这个基下的矩阵为由于U是正交矩阵，则有r2=1，rs=rt=0，从而r=±1，s=t=0于是由U的正交性推出，矩阵是一个二阶正交矩阵由上面的讨论，存在一个角j使在前一情形，在后一情形，根据对V2的正交变换的讨论，我们可以取V3的一个标准正交基1 ,b2 , b3 使在这个基的矩阵是T=若在T中左上角的元素是1，则重新排列基向量,在基b3, b2 ,1的矩阵是若左上角的元素是1，则在基b2 , b3 ,下的矩阵是这样，V3的任意正交变换在某一标