第十一章动能定理

1、1 动量定理和动量矩定理完整描述了外力系对质点系效应。但不反映内力效应。 动能定理揭示了质点系动能的改变量与作用力(内、外力)的功之间的关系 。11-1 功与动能11-2 动能定理11-3 动力学普遍定理的综合应用211-1-1 功的计算11-1 功与动能功与动能11-1-2 动能的计算3功是标量，有正负。1) 元功2) 功1.功的一般概念11-1-1 功的计算kjirkjiFzyxFFFzyxdddd,21ddcos0MMssFWrF则力从点M1到点M2过程作的功为21)ddd(12MMzyxzFyFxFWsFWdcos或rF dW( W )4 图示绕线轮沿斜面下滑S距离，计算各外 力的功。

2、sinGWGSN0FW,SS2FWF S T0FW,SCCTFGNFSF11-1-1 功的计算速度瞬心速度瞬心5一对内力,AB FFdddAABBW FrFrdddAABBABAB rrrrrr 两点距离变化时，内力功不为零。 为引力时，距离减小，内力功为正；反之为负。dddAABAAB FrrFr变形体中内力功不为零，刚体中内力功为零。变形体中内力功不为零，刚体中内力功为零。可见:2.内力的功AFBFArBrAB11-1-1 功的计算61.发动机内力作正功，汽车加速行驶；2.机器中内摩擦作负功，转化为热能；3.人骑自行车,内力作功，加速行驶；4.外力使弹性体变形，内力作负功。 内力功实例:1

3、1-1-1 功的计算73.几种常见力的功1)重力的功)(2112zzmgW 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。11-1-1 功的计算82)弹力的功22211221kW)11(122112rrmGmW3)万有引力的功1m2m2m1r2r121l2lk形量。分别为始末位置弹簧变和21 1.2.弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点 运动的路径无关。11-1-1 功的计算间的距离。分别为始末位置两质点和21rr9)d( 2112FzMW如果作用力偶m ,则力偶作的功:设在绕定轴 z轴转动的刚体上A点作用有力F，如图示刚体从1到2转动

4、过程中力F作的功为)(d 121221mmW4) 定轴转动刚体上作用力的功、力偶的功11-1-1 功的计算105) 理想约束及理想约束的功约束力作功为零的约束称为理想约束a)理想约束：b)几种常见的理想约束：（1）光滑固定面约束（2）活动铰支座、固定铰支座和向心轴承（3）联接刚体的光滑铰链（中间铰）（4）柔索约束（不可伸长的绳索）11-1-1 功的计算（5）刚体沿固定面作纯滚动11012W(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功(3)圆轮沿固定面作纯滚动时，滚阻力偶Mf的功 (1) 动滑动摩擦力的功SFWd12RSMMWf21f)(摩擦力的功摩擦力的功11-1-1 功的计算ChFmgS

5、FCaNFMf12 重物由平衡位置下移 ，求弹簧力的功。221()()2GGkkkkG均质轮纯滚动S距离后静止，求摩擦阻力的功。v(0 )CvccvrrCvCfM11-1-1 功的计算SF222121kWFRSMWMff0SFW1311-1-2 动能的计算1. 质点的动能221mvT 2. 质点系的动能)(T221iivmT上面第二式 为第i个质点相对质心C的速度，称为柯尼希定理柯尼希定理。iv222121iiCvmmvT或141) 平移v2222vv111222( )vCCC_CCCTmvJJvC C, JJC C m3) 平面运动3. 刚体的动能CvCCv221CmvT 221zJT 11

6、-1-2 动能的计算2) 定轴转动15rCCvmvC222121CCJmvT222)(22121rvmrmvCC243Cmv221VCJT 234Cmv22)(23(21rvmrC或 均质轮纯滚动，已知 ,求 。 Cm ,vT11-1-2 动能的计算16mLmvKC61)6(12122LmmLJLOO291mL22218121mLJTO223mRJLOO2224321mRJTOmRmvKC计算图示均质系统的动量K,动量矩LO ，动能Tm,Rm,L11-1-2 动能的计算17mvmvKO221mRJLOO222121OOJmvT11-1-2 动能的计算纯滚轮m,RO2224121mRmv 18作

7、业作业： P862；P871 11-2-1 动能定理的三种形式191) 平移v2222vv111222( )vCCC_CCCTmvJJvC C, JJC C m3) 平面运动3. 刚体的动能CvCCv221CmvT 221zJT 11-1-2 动能的计算2) 定轴转动20222r11() ()CCvvlrr1rvCr轮 均质轮在均质OA杆上纯滚动，已知OA杆和轮质量m, 1Crm,r,l, ,v且知，OB=a,求系统的动能T。1rCvlrCmAOB轮杆COBTTT2121OOBJT杆2122126321mama222121轮轮CCCJmvT22222121轮mrmvC其中：11-1-2 动能的

8、计算21应考虑 是否变化!vCJ2222003111()4222 12lTmvm vml v21 ,2CTJvddCTJ,则对吗?l0vOrCmm,vr,l,m,0 均质轮与均质杆铰接，已知T。求系统不一定。轮纯滚11-1-2 动能的计算2211-2 动能定理动能定理(包括内力和外力功)11-2-1 动能定理的三种形式11-2-2 动能定理的应用1212WTT231 .微分式2 .积分式微分式多用来求解加速度和角加速度问题，积分式既可以求速度和角速度，也可以求加速度和角加速度（必须取一个具体时刻和一个任意时刻任意时刻，然后对时间求导数）。所有力的元功之和外主动力功内力功约束力功11-2-1 动

9、能定理的三种形式WTd1212WTT243.守恒式(机械能守恒)2211VTVT 质点系在运动过程中只有保守力(有势力)作功，则其机械能保持不变，这就是机械能守恒定律机械能守恒定律。 有势力有势力：重力、弹性力、万有引力或.constVT11-2-1 动能定理的三种形式25 动能定理与动量矩定理数学上独立吗?一般不独立，例如均质轮纯滚，v0.Cv32CCCFvmv a对t求导，得vCFrJ 故即动量矩定理vvddCCLMtSrCmvCCvCFF2cmvFS43由动能定理11-2-1 动能定理的三种形式26212Vk 对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡，其功之和为零，可同时不考虑。 图(a)系

10、统由静平衡位置转动 角，此时，系统势能以静平衡为“0”，21()22lVk对吗?为什么? bOmk又如图(b)所示:l2l2k a11-2-1 动能定理的三种形式27行星齿轮传动机构, 放在水平面水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加速度。 取整个系统为研究对象，受力分析和运动分析01T2122211212121OOOJvgPJTrlrv,lvOO111 212222 2 21213211grPvgPgQlO221292lgPQ初始时刻：任意时刻：11-2-2

11、动能定理的应用OO1M1Ov128）（ 10129222MlgPQPQgMl9232：解得将(1)式两边分别对t 求导，可得2926lPQgM)(由动能定理 有1212WTTMW1211-2-2 动能定理的应用(逆时针)OO1M1Ov129 图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？取整体为研究对象，受力分析和运动分析)(.2221122121kPW2121OJT 02T初始时刻：OA水平： .2228283121ml22142021.,其中：) J (.438812W

12、11-2-2 动能定理的应用30 .438882802由动能定理 有1212WTTrad/s673 . 解得：11-2-2 动能定理的应用3100CCv,2222121BCCABAJJT图(b)瞬时，点C为BC杆速度瞬心CBA b 已知 均质轮由图(a) 位置开始滚动。求A,B,C水平时 。AB001, ,br m m F铰接机构ABBBCBCv,01Trb0F0CBA1m a轮纯滚动 取整体为研究对象， 受力分析和运动分析mgmgABBCBvCv初始时刻：ABC水平：11-2-2 动能定理的应用3203()sinABFmgmb22001sinsin3ABmbFbmgb0012sinmgbsi

13、nFbW由动能定理 有1212WTT题型特点:单自由度系统，已知力求运动。 运动过程很明显，用动能定理的积分式进行求解十分方便。22231ABmbT231mbJJCA11-2-2 动能定理的应用CBA bABBCBvCvrb0F0CBA1m a轮纯滚动mgmg33 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘B上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)11-2-2 动能定理的应用QABBAOCDDvCvM取系统为研究对象，受力分析和运动分析,RvCARvvBDC234 12Qhm

14、W2222221 2121 21ACCBODJvgPJvgQT）（R/h01T初始时刻：任意时刻：)78(162PQgvD11-2-2 动能定理的应用221RgPJJCOQABBAOCDDvCvM35(1) )(0)78(162hQRMPQgvD式（1）对时间求导得：)dd( dd)(dd21678thvthQRMtvvgPQDDD)(78)/(8PQgQRMaD：解得由动能定理 有1212WTTPQhgQRMvD78)/(4 11-2-2 动能定理的应用QABBAOCDDvCvM36作业作业： P896,7；P9010 思考思考： P882,411-2-2 动能定理的应用37 两根均质杆AC

15、和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。又由于初始静止，所以水平方向质心位置守恒，即C点速度方向竖直向下。取整体为研究对象， 0)(exF分析受力：CBAhPP11-2-2 动能定理的应用38显然AC杆和BC杆的动能相同。PhhPW221201T222223131221CvgPlgPJTAghvPhvgPCC3 0312 lvCAC杆的速度瞬心为A点，于是可得由动能定理 有1212WTTCBAhPP11-2-2 动能定理的应用391 .微分式2 .积分式11-2-1 动能定理的三种形式WTd1212WT

16、T3.守恒式(机械能守恒)2211VTVT40长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。 因水平方向不受外力，且初始静止，质心C铅垂下降。因约束反力不作功, 主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。sin2 , sin2 cos12 lylyly 即又由机械能守恒定律：)2(2124120222ylmgymmlmgl将代入上式，化简后得sin2ly ygy22sin31sin6mglVT2, 011初瞬时：222222212412121ymmlymJTC)2(2ylmgV任一瞬时：11-2-2 动能定理的应用41

17、223dsindcoscosABAAABavtll(a) , cosAAAABvvRl1GAv2GRCBAv1CvCAAB 在任意位置 时，轮与杆的速度瞬心分别为 和 ，且有 vCv1C0,Avv时，试求该瞬时轮心A的加速度。 已知 轮纯滚45120BABl,G ,G ,R, f,轮杆铰接11-2-2 动能定理的应用421CWG y (b) 1GAv2GRCBAv1CvCAABy ，得 ，将式(b)代入，有dTWdddTWtt由动能定理有任意时刻：2221211ABCACJJTVV222226143ABAlgGvgGT212122212231)(,VVlgGlgGJRgGJCCABABABAA

18、lGtlGlgGavgGsind)cosd(2231231122211-2-2 动能定理的应用43再将式(a)代入上式，并经整理得22111233111sin()tan23cos3cos2AAGGGGlavggg(c) ABABABAAlGtlGlgGavgGsind)cosd(22312311222223dsindcoscosABAAABavtll(a) 将 ，代入式(c)得045 ,Avv21021612 2()9423AG gavGGgl11-2-2 动能定理的应用44若 时 ， 则4500v 121394AG gaGG1GAv2GRCBAv1CvCAABy 本题若将动能定理积分形式或机

19、械能守恒式两边对时间t求导，可获同样结果。若取AB与水平方向的夹角 为变量时， 与 正方向相同，而与实际 方向相反。, AB11-2-2 动能定理的应用4511-3 动力学普遍定理的综合应用动量定理动能定理动量矩定理1212WTT动力学普遍定理nieioot1)()(ddFML;dd)(etFp)()(eCCMJF)()(eyCyexCxFmaFma)()(ezzMJF46 加速度和角加速度问题速度和角速度问题约束力问题若有过程，优先考虑动能定理。 方法一：用动能定理求解（求导） 用动量定理或动量矩定理求解 求解中还要注意应用三大定理的守恒条件以及运 动学的补充关系。三种题型11-3 动力学普

20、遍定理的综合应用 方法二：用动量定理和动量矩定理综合求解。47AB11-3 动力学普遍定理的综合应用选系统为研究对象,受力分析)2( 212cosfsinSmgcosmgSfsinSmgW22222121212121 0mrmvmvTTAB运动分析，运动学关系：rvvBA245Bmv 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求滑块的加速度。BvAvgmgmdFs4811-3 动力学普遍定理的综合应用)2(0452cosfsinmgSmvBgfaB)cossin(5254由动能定理 有1212WTT上式两边对时间求导得)2(

21、025cosfsinmgvamvABB于是可得：AB 杆的内力？ABBvAvgmgmdFs(沿斜面向下)4911-3 动力学普遍定理的综合应用重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束力。1. .取圆盘为研究对象取圆盘为研究对象0 )(BBBJMF0 B00B所以圆盘平移。BBAyF2GAxF5011-3 动力学普遍定理的综合应用 （2）用动能定理求速度用动能定理求速度。 取系统研究。初始时T1=0 ，22222121BAvgGJT221222163213121BBBvgGGvgGvgG)3

22、0)(2()30()3022(212112sinllGGsinllGsinllGWlvB)30sin)(2(06321221llGGvgGGB代入数据，得m/s 58. 1Bv由动能定理 有1212WTTBv最低位置时：2G1G5111-3 动力学普遍定理的综合应用（3）取整体，用动量矩定理求杆的角加速度取整体，用动量矩定理求杆的角加速度 。)(22212213131lgGlgGlvgGlgGLBA由于0)(dd)(eAAMtLF所以 0 。盘质心盘质心B 的加速度的加速度：)0( 22CnCCalaa)0( 2BnBBalaarad/s 58. 624. 058. 1lvB：其中杆质心杆质心

23、 C的加速度的加速度：AyFAxFBA C 1GCa2GBaBv5211-3 动力学普遍定理的综合应用（4）研究整个系统，由质心运动定理求支座的约束力由质心运动定理求支座的约束力 代入数据，得N401 0AyAxF,F;AxxBcxFagGagG212121GGFagGagGAyyBCy由; )(exixiCxFamma(e)yiyiCyFamma有AyFAxFBA C 1GCa2GBa5311-3 动力学普遍定理的综合应用 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。2mP 取系统为研究对象。设任一瞬

24、时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为v/2，角速度rv2系统的动能21611mv主动力的元功之和：dSPW方法一：用动能定理求解。方法一：用动能定理求解。)(222212221221轮CJvmmvT222121rmJC轮5411-3 动力学普遍定理的综合应用由动能定理的微分形式WTddSPmv)1611(d2两边除以，可得t dvPavm21611mPa118 ：即得5511-3 动力学普遍定理的综合应用(2) 方法二：用动量矩定理求解方法二：用动量矩定理求解取系统为研究对象，O点为系统的质心mvrrvrmrvmrmvLO411)222122(222rPeO2)()(FM根据动量矩定理： ，得)(ddFMOOtLrPmvrt2)411(ddmParPmra118 2411O5611-3 动力学普遍定理的综合应用作业作业： P921