特殊函数的导数-文档资料

1、数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出 （1）已知）已知 ，求，求 ； （2）已知）已知 ，求，求 2310 yxddyxddyx31x yxy数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出 有些隐函数可以化成显函数有些隐函数可以化成显函数的形式，但有

2、些隐函数是难以甚至无法化成显函数的形式的形式，但有些隐函数是难以甚至无法化成显函数的形式. 函数函数 与自变量与自变量 的关系可由的关系可由 确定，也可由方程确定，也可由方程 确定确定. yx( )yf x(,)0F xy 我们把由我们把由 定的函数称为定的函数称为显函数显函数； ( )yf x而把由方程而把由方程 确定的确定的 是是 的函数称为的函数称为隐函数隐函数. (,)0F xy yx 例如，例如， 是显函数，而由方程是显函数，而由方程确定的确定的 y 是是 x 的函数就是隐函数的函数就是隐函数. 2sinyxx3232530 xyxyx 如果隐函数如果隐函数 可导，如何来求它的导数呢

3、？下面可导，如何来求它的导数呢？下面通过具体的例题进行说明通过具体的例题进行说明.(,)0F xy 数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出 例例13 求隐函数求隐函数 的导数的导数 .解解 将方程两边同时对将方程两边同时对 求导，即求导，即 ，得，得: x23(3)(2)xy2630 xxyy解得解得22xxyy 说明说明 本题也可从方程中求出显函数本题也可从方程中求出显函数 ，然后利用复合函数求导法则求出然后利用复合函数求导法则求出 ，两种方法结论相同，请同，两种方法结论相同，请同学们自行验证学们自行验证.32( )32yf

4、xxxy2332xyxy数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出 凡是遇到变量凡是遇到变量 的关系式，的关系式，先求关系式对变量先求关系式对变量 的导数，再乘上的导数，再乘上 对对 的导数的导数 由上例可以看出，求隐函数由上例可以看出，求隐函数 的导数的导数 ，就是将，就是将方程方程 的两边同时对的两边同时对 求导，求导， (,)0F xy xy(,)0F xy xyyxyyx（即按照复合函数的求导法则进行计算，先求关系式对中间变（即按照复合函数的求导法则进行计算，先求关系式对中间变量的导数，再乘上中间变量对自变量的导数），量的导

5、数，再乘上中间变量对自变量的导数）， 然后解方程到然后解方程到 . xy数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出 因为方程两边同时对因为方程两边同时对 求导，得求导，得 例例14 求由方程求由方程 确定的隐函数确定的隐函数 关于关于 的导数的导数. 31xyx yyx解解 x(3)0 xyx y即即 3ln3 (1)0 xyyyx y所以所以 3ln33ln3xyxyyyx 数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出 所以所以 不是幂函数，不能看成幂函数的复合函数；不是

6、幂函数，不能看成幂函数的复合函数； 所以也不所以也不是指数函数，也不能看成指数函数的复合函数是指数函数，也不能看成指数函数的复合函数. 例例15 求函数求函数 导数导数.1xyx分析分析 因为幂函数的底数为自变量，指数为常量，因为幂函数的底数为自变量，指数为常量， 1xyx又因为指数函数的底数为常量，指数为自变量，又因为指数函数的底数为常量，指数为自变量， 由此可见，本题无法直接分解成一个或几个基本初等函数由此可见，本题无法直接分解成一个或几个基本初等函数来求导，但可以先将方程两边同时取对数，然后再利用隐函数来求导，但可以先将方程两边同时取对数，然后再利用隐函数求导法则求导，这种方法叫做求导法

7、则求导，这种方法叫做对数求导法对数求导法.数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出 两边同时取对数得两边同时取对数得 ，即，即 ，由隐函数求导法则得由隐函数求导法则得 解解 1lnlnxyxln(1)lnyxxln(1)lnyxx（）即即11ln(1)yxxyx 所以函数的导数为所以函数的导数为 . 111(ln1)(ln1)xyyxxxxx 例例15 求函数求函数 导数导数.1xyx数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出 两边同时取对数得两边同时取对数得 ，即，即

8、 ，利用隐函数求导法则得利用隐函数求导法则得 例例16 求函数求函数 的导数的导数. sinxyx解解 sinlnlnxyxlnsinlnyxx(ln )(sinln)yxx即即 11cosln(sin )yxxxyx 所以函数的导数为所以函数的导数为sin(cosln)xyxxyx sinsin(cosln)xxxxxx数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出 因为因为 （ ）可以改写成）可以改写成 （ ），所以利用隐函数求导法则，两边对），所以利用隐函数求导法则，两边对 求导，得求导，得 *例例17 求函数求函数 （ ）的导数

9、）的导数.arcsinyx11x 解解 arcsinyx11x sin yx11x x(sin )( )yx即即 (cos )1yy解得解得 1.cosyy 数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出 故函数故函数 的导数为的导数为 因为在函数因为在函数 中，有中，有 ， ， arcsinyx11x 22y所以所以 ， 22cos =1 sin=1yyxarcsinyx ( 11)x 211=.cos1yyx 即即 21(arcsin )1 xx( 11)x 数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出 类似地，可以得到下列反三角函数的导数，今后可以作为类似地，可以得到下列反三角函数的导数，今后可以作为公式直接应用：公式直接应用： ,（ ）11x 21(arccos )1 xx21(arctan )1+ xx21(arccot )1+ xx数学数学五年制高职五年制高职( (第第4 4册）高等教育出版社册）高等教育出版社backnext退出退出数学数学五年制高职五年