食堂窗口建模优化

1、排队论模型应用 排队论模型应用食堂窗口设置合理化改进指导老师： 学 生： 学 号： 2010年6月19日问题 学生食堂的卖饭菜窗口个数和同学们吃饭的方便程度有关.窗口太少,吃饭高峰期同学排除时间很长,浪费时间,引发学生的不满情绪.窗口太多,会造成资源浪费,增加食堂成本.请同学们完成以下问题:(1)请建立数学模型说明窗口设置是否合理;(2)给食堂管理部门写一封短信,提出你对改进食堂卖菜饭窗口数量设置的建议.问题分析 食堂窗口与就餐人员之间是服务机构与顾客的关系,可以用服务系统模型来表示,就餐人员打饭的过程,即为顾客接受服务机构服务的过程.离去到达顾客排队规则等待服务服务时间服务系统接受服务故可以

2、用排队论模型中有关服务系统的理论来分析和解决该问题.模型建立 学生到食堂就餐的时刻可以认为是随机的,若用N(t)表示0,t)时间内到达该服务系统的顾客数,则对于任意一个给定的时刻t,N(t)的值都是随机的,即随机变量族N(t)|t0,A)是一个随机过程.同样,打饭需要的时间长短因人而异,也认为是随机的,若用V(n)表示第n位顾客所需的服务时间,则有随机变量族Vn,n=1,2,.我们排除团体用餐的情况,并且将少数结伴而来的学生亦视为有先后顺序,故这里将学生就餐的过程看作是排队论中的泊松过程(最简单流)讨论.因此,由排队论的有关知识, t时刻到达服务系统的人数为k 的概率为:P(N(t)=k)=

3、(t)kk!e-t ,k=1,2,其中0,第n位顾客所需的服务时间不超过t的概率服从负指数分布:P(Vnt)= 1-e-t , t0 , 0 , t<0 . 其中0.为了使模型便于求解,假定每个工作人员的打饭效率相同,每个窗口的饭菜相同,即不会出现某个窗口“扎堆”排长队或无人问津的现象.由于每个窗口独立排队、服务,这里把m个窗口服务X位顾客的情况等同为1个窗口服务 Xm 位顾客的情况来讨论.又假定食堂打陶服务系统的容量无限,来到食堂就餐的学生不会在未打好饭之前离去.这样,得到一个输入过程为最简单流,服务时间为负指数分布,1个服务台,系统容量无限,顾客源数无限的等待制排队模型.这里,对有关

4、符号的数量指标加以说明: 单位时间内平均到达的顾客数,即平均到达率; 单位时间内受到服务的顾客数,即平均服务率;1 每位顾客的平均服务时间;Lq 等待队长的期望值; Wq 等待时间的期望值. 模型求解 某食堂有4个服务窗口,对该食堂进行讨论.在11:30至12:10之间,每4分钟为1个时段,统计到达人数,如下表.时段12345678910到达数68931051181341471361138947求得平均到达率为:= 68+93+105+118+134+147+136+113+89+4710×4×4 = 5.94 (人/分钟)相应地,对50名顾客接受服务的时间进行统计,得到下

5、表.时间(秒)055101015152020252530人数2358311求得平均服务时间为:1 = 2×2.5+35×7.5+8×12.5+3×17.5+1×22.5+1×27.550×60 = 0.157(分钟)平均服务率为: = 6.37 (顾客/分钟)等待队长的期望值为:Lq = 2(-)=5.9426.37×(6.37-5.94) = 12.88(顾客)等待时间的期望值为:Wq = (-)=5.946.37×(6.37-5.94) = 2.17(分钟)结果分析 上述模型求出的平均服务时间为9.4

6、秒,这与实际情况大体吻合;等待队长的期望值为12.88顾客,明显偏长,但实际上,高峰期往往排队会更长些,这主要是因为在高峰期,用餐人数比闲时明显增多(如下图所示),且持续时间较长;相应地,现实中高峰期的等待时间也比求得的平均等待时间(2.17分钟)要久.另外,实际上并不是每个窗口的饭菜都一样的,存在个别窗口很受欢迎或不受欢迎的情况,造成该窗口前的排队明显过长.就餐人员排队时间过长,自然会产生不满情绪.时段到达人数相应地,在就餐人数较少时,单位时间到达的顾客数明显少于单位时间工作人员所能服务的人数,造成资源浪费,增加了食堂的成本.因此,该食堂的窗口设置尚不够合理的.现从就餐人员排队时间过长引起不

7、满和食堂资源浪费增加成本两个方面来考虑改进窗口设置.窗口设置改进:现假设各时段内的用餐人数是均匀增加的,根据各时段的到达人数分别求出每个时段需要的窗口数,如下表所示.11:30为零点，每4分钟为1个时段时段窗口数11:30前, 3个窗口即可; 11:35应开放4个窗口;11:45应开放5个窗口,以防止出现排队过长的现象;直到12:05再减少为4个窗口,至此时,5、6、7时段排队的就餐人员已经服务完毕;12:10后只需2个窗口即可.调整后,各时段能够服务人数和需要排队等待人数如下表.时间11:3011:3511:4512:0512:10窗口3个4445个4个时段11:3411:3811:4211

8、:4611:5011:5411:5812:0212:0612:10服务76.44101.9101.9101.9127.4127.4127.4127.4127.450.96排队003.0816.086.619.68.6000这里做出说明,大约到11:48,到就餐人数的才达到5个窗口能够服务的人数,按平均服务时间来算,11:45至11:48之间的3分钟时间内,5个窗口的服务能力有剩余,完全能够完成之前排队人员( 所示)的服务.窗口调整后的等待时间( 和 部分取最大值)仅为调整前(2.17分钟)的一半:(6.6+19.6+8.6)/5×0.157=1.09(分钟),改进的效果十分明显.对于

9、食堂的运营成本, 其它因素不变的情况下,这里只讨论人力部分.该食堂11:20至12:10之间营业,每个窗口有1名工作人员,总的人力成本为:50×4=200(人·分钟).调整窗口设置后,11:20至11:30只需最多2个窗口,12:10至12:20也只需最多2个窗口,总的人力成本最多为:2×10+3×5+4×10+5×20+4×5+2×10=190(人·分钟).故窗口设置按照该方案调整后,食堂的运营成本也会相应减少.给食堂管理部门的建议 某食堂现在有4个窗口,经过我们的调查分析,人少时窗口空闲浪费资源,增加成本,人多时就餐人员排队过久,引起不满情绪.为既减少排队等待时间防止用餐人员不满,又降低食堂成本,有如下2条建议:1.按就餐人员到达时间设置窗口:11:30前个,11:30后3个,11:35后4个,11:45后5个,12:05后4个,12:10后2个.调