导数的概念与应用

1、导数的概念与应用 时间：08年4月29日一、高考要求了解导数的实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念；熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数；理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值二、两点解读重点:利用导数求切线的斜率；利用导数判断函数单调性或求单调区间；利用导数求极值或最值；利用导数求实际问题最优解难点：理解导数值为零与极值点的关系；

2、导数的综合应用三、课前训练1若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是 （A） （B） （C） （D） 2函数，已知在时取得极值，则=（ ）（A）2（B）3（C）4（D）53若函数f（x）=ax3x2+x5在R上单调递增，则a的范围是 4与函数的图象相切，切线斜率为1的切点是 答案：1A2D3 4四、典型例题例1 函数在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是（ ）（A）1，1 （B）1，17xyO（C）3，17 （D）9，19分析：由得，令得，令得或，令可得，考虑到，所以的增区间是，减区间为，又，所以最大值、最小值分别为3，17故选C 例2 设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则导函数y=

3、f ¢(x)可能为（）分析：由图象知，当时，为增，所以这时导数为正，可排除选项A、C；又当时，存在减区间，所以导数存在负值，于是可排除选项B，选DxyO（A）xyO（B）xyOxyO（D）（C）P4（C）例3 如右下图,函数的图象在点P处的切线方程是，则的值为 分析：从图中可见，P点是直线和曲线的公共点，所以由P点的纵坐标，可得；又P点处切线的斜率为，即，故例4（） 曲线在点处的切线方程是 ；（）已知函数，过点作曲线的切线的方程 分析：（）设切线的斜率为，因为，故所以所求的切线的点斜式方程为：，化简得：；（），设切点为，则：，即：，解得：或，由得或，得：或例5 已知函数（）若在实数集

4、R上单调递增，求的范围；（）是否存在实数使在上单调递减若存在求出的范围，若不存在说明理由分析：（）若在实数集R上单调递增，则恒成立，即（）在上小于等于零即：例6 函数在R上有极值，求取值范围 分析： 对函数求导得：，令，即得方程：，此方程的判别式：若，显然方程无解，函数无极值；若，则方程有两个相等实根，这时，所以在两侧均大于零，因此不是函数的极值；当时，方程有两个不等的实根且的符号如下表：+00+因此函数在处取得极大值，在处取得极小值综上所述，函数当且仅当时有极值，由得或 巩固练习： 1抛物线在点x=1处的切线方程为（ ）（A） （B） （C） （D） 2已知函数，且，则（ ）（A）1（B）1

5、（C）2（D）23设点是曲线上的任意一点，点处切线倾斜角为，则角的取值范围是（ ） （A）（B） （C）0， （D）0， 4已知函数在R上是减函数，则的取值范围是： 5用总长148m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长05m，那么高为 时容器的容积的最大，最大容积 答案：1A2A3C 451.2m，1.8m36设是二次函数，方程有两个相等的实根，且，则的表达式是： 7已知向量，若函数在区间上是增函数，求t的取值范围分析：依向量数量积的定义：故：，若在上是增函数，则在上可设的图象是开口向下的抛物线，由根的分布原理可知：当且仅当，且，上满足，即在上是增函数综上所述的取值范围是8设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线（）用表示a，b，c；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围分析：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，即.因为