第4章空间力系

1、12 第四章第四章 空间力系空间力系m2Pr2PFByxyzFBzFCzFCy 作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且不作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且不能简化到某一平面时，这种力系就称为空间力系。能简化到某一平面时，这种力系就称为空间力系。Fm1Fr1PFCBAE341 空间汇交力系空间汇交力系 一、一、 力在空间直角坐标系上的投影力在空间直角坐标系上的投影1 1、直接投影法、直接投影法已知力与已知力与 x、y、z 轴夹角，即力的方向角轴夹角，即力的方向角、。 FxFcosFyFcosFzFcos90 FyFzOFxyzFx4xzFyO已知力已知力F 与与 z 轴夹角轴夹角

2、，以及在与该轴垂直平面上的投影与另，以及在与该轴垂直平面上的投影与另一轴的夹角一轴的夹角。(2) (2) Fxy向向 x、y 轴投影轴投影FzFcosFxyFsin(1) (1) F 向向 z 轴和轴和 xy 面投影面投影FxFsincosFyFsinsinFzFxFyFxFsincosFyFsinsinFzFcos2二次投影法二次投影法Fxy5FFFFFFFFFFzyxzyx coscoscos222 在直角坐标系中，投影与分力的关系和平面问题完全相同。在直角坐标系中，投影与分力的关系和平面问题完全相同。力对同向平行轴的投影相等。力对同向平行轴的投影相等。（空间问题往往作辅助坐标轴（空间问题

3、往往作辅助坐标轴） 力力投影投影（1 1）投影的绝对值）投影的绝对值分力的大小。分力的大小。（2 2）投影的符号为正，）投影的符号为正，分力与相分力与相 应坐标轴的方向一致。应坐标轴的方向一致。将力沿坐标轴分解，如图。将力沿坐标轴分解，如图。FyFzFxFzFyFxOFxyz6F yxzxzy例：例：半径为半径为 r 的斜齿轮，其上作用有力的斜齿轮，其上作用有力F。求力求力F沿坐标轴的投影。沿坐标轴的投影。作辅助坐标轴作辅助坐标轴 xyz。分解分解FxyFxyFcos (1)(1)先分解先分解FFa Fcos cos ( 轴向力轴向力)Ft Fcos sin ( 圆周力或切向力圆周力或切向力)

4、解：解：Fr Fsin ( 径向力径向力) FrFxyFtFaxzFtFr(2) 求求F在在 x、y 、z 轴投影。轴投影。Fz Fr Fsin Fx Ft Fcos sin Fy Fa Fcos cos xyFaFtFxy 压力角、压力角、螺旋角螺旋角7二、二、空间汇交力系的合力与平衡条件空间汇交力系的合力与平衡条件RxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFF合力投影定理合力投影定理RiFF空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 合力的大小合力的大小222()()()RxyzFFFFcos(, )xRRFF iF 方向余弦方向余弦cos(, )yRRFFjFcos(, )zRRFF kF

5、空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点线通过汇交点.8空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程0RF 该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零。个坐标轴上的投影的代数和分别为零。0 xF 0yF 0zF 注意：看懂题注意：看懂题看清图看清图必要时作辅助图必要时作辅助图9EzABy30oFFAP例例2 2已知：物重已知：物重

6、P=10kN，CE=EB=DE；CBD与平面成与平面成30o，30 求：杆受力及绳拉力。求：杆受力及绳拉力。EDx zABC y30oFPx解：研究对象：起重杆解：研究对象：起重杆AB0 xF045sin2 F0 yF30sinAF0 zF30cosAF 解得：解得：kNFF54. 321 kNFA66. 8 FAF1F2CBE DBE45o30cos45cos1F 030cos45cos2 F30sin45cos1F30sin45cos2F 0 P45sin1F45cos1F10 平面上力对一点之矩，实际上为力使物体对过该点与平面上力对一点之矩，实际上为力使物体对过该点与平面垂直的轴的力矩。

7、即：平面垂直的轴的力矩。即：xyF平面上平面上 实际中，当力不作用在垂直与转轴的平面内时，力也可实际中，当力不作用在垂直与转轴的平面内时，力也可使物体转动。仅有平面上力对点的力矩的概念是不够的。使物体转动。仅有平面上力对点的力矩的概念是不够的。yxz空间空间F1142 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩( (1)1)作用面：力矩作用面。作用面：力矩作用面。（力和矩心确定的平面）（力和矩心确定的平面）(2)(2)方向：转动方向。方向：转动方向。( (3 3）大小：力）大小：力F F与力臂的乘积。与力臂的乘积。空间力对点之矩与下列因素有关：空间力对点之矩与下列因素有关：x zyFF12B

8、OxyzFrFMO )( sin)( rFFMOF)(FMOh OAB 2 A(x,y,z)rkzj yi xr kFjFiFFzyx FrFMO )(zyxFFFzyxkji kyFxFjxFzFizFyFxyzxyz 1 1、 力对点的矩用矢量表示力对点的矩用矢量表示 力矩矢力矩矢42 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩方位：方位： 力矩作用面法线；力矩作用面法线；指向：指向： 右手螺旋法则。右手螺旋法则。ijk大小：大小：定义式：定义式：13 yzxOzFyFFM )( zxyOxFzFFM )( xyzOyFxFFM )(力矩矢量在坐标轴上的投影：力矩矢量在坐标轴上的投影：

9、力矩矢的力矩矢的起点起点：力对点之矩力对点之矩大小和方向都与矩心位大小和方向都与矩心位置有关，故力矩矢的起点必须在点。所以力对点之矩为置有关，故力矩矢的起点必须在点。所以力对点之矩为定点矢量定点矢量(定位矢量定位矢量)。BOxyzF)(FMOijkA(x,y,z)r kyFxFjxFzFizFyFFMxyzxyzO )(14hBzyOx2、力对轴之矩力对轴之矩是力使物体绕轴转动效果的度量。是力使物体绕轴转动效果的度量。分解分解Fxy在与在与z轴垂直的轴垂直的xy面内面内FFz z经验可知经验可知：Fz不能使门转动。只有不能使门转动。只有Fxy对门对门有转动效应。且这种转动效应与力有转动效应。且

10、这种转动效应与力Fxy的大小的大小及其作用线到点及其作用线到点O的距离有关。的距离有关。hFFMFMxyxyOz )()(为代数量为代数量即：力对轴之矩，等于力在即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴垂直于该轴的平面上的投影的平面上的投影对轴与平面交点之矩。对轴与平面交点之矩。Fz Fxy 力对轴之矩定义式为：力对轴之矩定义式为：FA15逆逆 z 轴看，轴看，Fxy使物体绕使物体绕O点逆时针转动为正，反之为负。点逆时针转动为正，反之为负。符号规定符号规定：右手螺旋法则：右手螺旋法则：四指屈向表四指屈向表Fxy绕绕O点转动方向，拇指点转动方向，拇指与与 z 轴指向一致为正，反之为负。轴指向一致为正，

11、反之为负。 FMz 0 0zOFxyFxy FMz 0 0zOFxyhFFMFMxyxyOz )()(为代数量为代数量2、力对轴之矩力对轴之矩16力对轴之矩力对轴之矩hFFMFMxyxyOz )()(为代数量为代数量即：力对轴之矩，等于力在垂直于即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交该轴的平面上的投影对轴与平面交点之矩。点之矩。1、力与轴平行，矩为零。、力与轴平行，矩为零。即：即： 力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。2、力与轴相交，矩为零。、力与轴相交，矩为零。特殊情况：特殊情况：zyOxF1 F2 F17合力矩定理合力矩定理

12、 空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）18力对轴之矩的解析式：力对轴之矩的解析式：xyzzyxxyFFyFxF以矩心为原点。以矩心为原点。)()()()(zzyzxzzFMFMFMFM xyzyFxFFM )(计算力对轴之矩，常用合力矩定理。计算力对轴之矩，常用合力矩定理。zxyxFzFFM )(yzxzFyFFM )( kyFxFjxFzFizFyFFMxyzxyzO )(对照：对照：OxFyFzF同理：同理：A(x,y,z)19所以，欲求力对一点之矩，可先

13、求力对过该点三个直角坐所以，欲求力对一点之矩，可先求力对过该点三个直角坐标轴的矩。标轴的矩。 222)()()()(FMFMFMFMOOxO )()(),cos(FMFMiMOxO )()(),cos(FMFMjMOyO )()(),cos(FMFMkMOzO 理论分析理论分析用力对点之矩。用力对点之矩。实际计算实际计算用力对轴之矩。用力对轴之矩。注意：注意：20 x z解：解：laDlABCEx zyF例例4-4 4-4 直角手柄直角手柄ABCDE在平面在平面Axy内，力内，力F在垂直与在垂直与y轴的平面内如图。轴的平面内如图。求力求力F对对x、y、z轴的力矩。轴的力矩。（方法（方法1）利用

14、合力矩定理）利用合力矩定理)()(alFFMxz )()(alFFMzx lFFMzy )()(sinalF )(cosalF lF cos（方法（方法2）利用）利用 解析式求解析式求 sinFFx 0 yF cosFFz 力的投影力的投影力作用点坐标力作用点坐标lx aly 0 zzxyxFzFFM )(yzxzFyFFM )()cos()( Fal cosFl xyzyFxFFM )( sin)(0Fall )(sinalF )(cosalF xFzF分解力分解力F2143 空间力偶空间力偶400N400N0.2m0.5m0.5m讨论空间力偶对物体的作用效果讨论空间力偶对物体的作用效果（1

15、 1） 大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：转动方向；方向：转动方向；400N400N400N400N1000N1000N22F dMCBArABFrMBA FrMAB F大小：力乘以力偶臂大小：力乘以力偶臂 Fd=2ABC。方位：力偶作用面法线。方位：力偶作用面法线。转向：右手螺旋法则。转向：右手螺旋法则。23F BArAFBArBrOFrFrFMFMBAOO )()(FF FrrFMFMBAOO )()()(FrMBA 力偶的性质力偶的性质（3 3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。）力偶

16、对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。( (2 2）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。( (1)1)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。24F BArAFB2、空间力偶等效定理、空间力偶等效定理 作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等，作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等，则它们彼此等效。则它们彼此等效。力对点之矩为定点矢量。力对点之矩为定点矢量。ABCFFF力为滑移矢量。力为滑移矢量。 只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任

17、意移转，可以可以同时改变力的大小与力偶臂的长短同时改变力的大小与力偶臂的长短，且，且作用面可以平行作用面可以平行移动移动，对刚体的作用效果不变。，对刚体的作用效果不变。空间力偶矩矢为自由矢量。空间力偶矩矢为自由矢量。251M2MnM1M2MnM1M2MnM与汇交力系的合成相同，对于空间力偶系：与汇交力系的合成相同，对于空间力偶系：3 3力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件（证明（证明P80P80自习）自习） iMM为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。M26合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦: :MMix cosMMiy co

18、sMMiz coskMjMiMMzyx ixxMM iyyMM izzMM 222 iziyixMMMM合矢量投影定理：合矢量投影定理： iMM合力偶矩矢合力偶矩矢力偶系的合成力偶系的合成（与汇交力系的计算完全相同）（与汇交力系的计算完全相同）27空间力偶系的平衡方程空间力偶系的平衡方程. .空间力偶系平衡空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。0 M即：即：0 ixM0 izM0 iyM0 xM0 zM0 yM 222 iziyixMMMM28把各力偶矩矢把各力偶矩矢平行移到一点。平行移到一点。3M iyyMM mNMMMMMizz 1 .193

19、45cos45cos541求力偶在坐标轴的求力偶在坐标轴的投影投影解：解：45o4M5M例例4-4-5 5 已知：在工件四个面上同时钻已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶个孔，每个孔所受切削力偶矩均为矩均为80Nm。求：工件所受合力偶矩在。求：工件所受合力偶矩在x、y、z 轴上的投影轴上的投影 Mx、My、Mz 。x zyll2l2l4M5M2M1M3M45ox zyA2M3M1MixxMM mN 1 .19345cos45cos54MM mNM 80229解：解：解得解得0 xMmmF4002 0 zMmmF4001 NFFBxAx5 . 1 NFFBzAz5 . 2 例例4

20、-4-6 6 已知：两圆盘半径均为已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面，圆盘面O1垂垂直于直于z 轴，圆盘面轴，圆盘面O2垂直于垂直于x 轴，两盘面上作用有力偶，轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N，F2=5N，构件自重不计，求：轴承构件自重不计，求：轴承A，B处的约束力。处的约束力。yzx ABF1F2F1F2OO1O20 mmFAz800 0 mmFAx800 研究对象：整体研究对象：整体FAxFBxFAzFBz30 x zyOx zyO1F2FnF2F nF 2MnM1F 1Mx zyORF OM44 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主矩主矢和主

21、矩1 1空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化iiFF iOiFMM 空间任意力系空间任意力系空间汇交力系空间汇交力系空间力偶系空间力偶系RF OM31RiixiyixFFF iF jF k 称为原力系的称为原力系的主矩主矩( )( )( )oxyzMMF iMF jMF k称为原力系的称为原力系的主矢主矢空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 iOOFMM1 1空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化32x zyORF OM空间任意力系的主矩，大小方向一般与简化中心有关。空间任意力系的主矩，大小方向一般与简化中心有关。x zyORF D

22、DOr)(RDODFMMM DDOrr RDRDFrFM )(空间任意力系的主矢，大小方向与简化中心无关。空间任意力系的主矢，大小方向与简化中心无关。)(RDFM OMDx zyORF DDrDMRDODFrMM RDORDFrFM )(空间任意力系向不同点空间任意力系向不同点O、D简化后，主矩的关系式。简化后，主矩的关系式。33有效推进力有效推进力RxF 飞机向前飞行飞机向前飞行RyF 有效升力有效升力飞机上升飞机上升RzF 侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移OxM滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x轴滚转轴滚转OyM偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头 飞机所受的全部

23、力向重心简化的主矢和主矩，沿三个坐标飞机所受的全部力向重心简化的主矢和主矩，沿三个坐标轴方向的分量。轴方向的分量。340 RF0 OM（1）0 RF0 OM（3）0 RF0 OM（2）0 OM0 RF（4）0 RF0 OM原力系的合力偶矩，大小方向与简化中心无关。原力系的合力偶矩，大小方向与简化中心无关。（1）简化为一个合力偶的情况。简化为一个合力偶的情况。2 2空间任意力系的简化结果分析（最终结果）空间任意力系的简化结果分析（最终结果）35RF RFOdOMRF ORF O0 RF0 OM当当力力。时时，可可以以简简化化为为一一个个合合当当ORMF 0 RF0 OM原力系的合力，大小方向与简

24、化中心有关。原力系的合力，大小方向与简化中心有关。（2 2）简化为一个合力的情况。）简化为一个合力的情况。2 2空间任意力系的简化结果分析（最终结果）空间任意力系的简化结果分析（最终结果）ROFMd RFOO36（3）简化为一个简化为一个的情况。的情况。时时，称称为为力力螺螺旋旋。当当ORMF OMRF ORF OOMRF ORF O是由静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单的是由静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单的力系。不能进一步合成。力系。不能进一步合成。力的作用线为中心轴。力的作用线为中心轴。右螺旋右螺旋左螺旋左螺旋2 2空间任意力系的简化结果分析（最终结果）空间任意力系的简化结

25、果分析（最终结果）37螺螺旋旋。时时，可可以以简简化化为为一一个个力力当当ORMF （3）简化为一个简化为一个的情况。的情况。ORF OM OM RFOOdROFMd OMRF OROFM sin（4）空间任意力系平衡的情况。空间任意力系平衡的情况。0 OM0 RF0 RF0 OM一般情况下，一般情况下，都可以简化为一个力螺旋。，都可以简化为一个力螺旋。OM 。化化为为一一个个力力可可以以简简和和RORFMF 3845 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。1.1.空间任意力系

26、的平衡方程空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐要条件：所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和等于标轴上的投影的代数和等于零，以及所有各力对于每一零，以及所有各力对于每一个坐标轴的矩的代数和等于个坐标轴的矩的代数和等于零。零。 000000zyxzyxMMMFFF6个独立方程，求解个独立方程，求解6个未知量。个未知量。39空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程 000yxzMMF3个独立方程，求解个独立方程，求解3个未知量。个未知量。F1F2FnxzOy 000000zyxzyxMMMFFF402.2.空间约束类型举例空间约束类型举例约束力

27、约束力(反力反力) ：约束给予被约束物体的阻碍运动的力。约束给予被约束物体的阻碍运动的力。 观察被约束物体在空间可能的观察被约束物体在空间可能的6种独立的位移种独立的位移中（沿中（沿x、y、z的移动和绕此三轴的转动）有哪几种的移动和绕此三轴的转动）有哪几种位移被约束所阻碍。阻碍移动的是约束力，阻碍转位移被约束所阻碍。阻碍移动的是约束力，阻碍转动的是约束力偶。动的是约束力偶。确定约束的约束力个数的方法确定约束的约束力个数的方法 ：P8888411.2m2m0.2m0.2m0.6m0.6mOP1PA B C D E 例题例题47 三轮小车，自重三轮小车，自重P8kN，载，载荷荷P110kN。求小车

28、静止时地面对车。求小车静止时地面对车轮的约束力。轮的约束力。yzxFAFBFD研究对象：研究对象：小车小车 0 xM0 yM 0zF解解：承受空间平行力系承受空间平行力系1P AF BF DF 0 P 2 . 01 P2 . 1 P2 DF0 8 . 01 P6 . 0 P6 . 0 DF0 2 . 1 BF42yzxF200200200F1F2D ABR例题例题4-8 已知如图：皮带直径已知如图：皮带直径D400mm，拉力，拉力F22F1,30O ,60O 。曲柄。曲柄R=300mm,作用铅垂作用铅垂力力F2000N,求皮带张力和轴承反力。求皮带张力和轴承反力。解解：研究对象：曲轴研究对象：

29、曲轴0 xM0 yM0 zM 0 xF 0zFAxF BxF sin1F0 21DF sin2F AzF BzF cos1F 0 cos2F F 200cos1 F200cos2 F200 F400 BzF0 22DF RF 0 200sin1 F200sin2 F400 BxFF1zDxRF2F0 FBzFBxFAxFAz4338848876DABCFxFyFzFrFtr例例 车床主轴。车床主轴。车刀的切削力车刀的切削力Fx=4.25kN，Fy=6.8kN，Fz=17kN。齿轮齿轮C的啮合力的啮合力Ft0.36Fr ，节圆半径，节圆半径R=50mm, 工件的半径工件的半径r=30mm。切削时

30、。切削时工件等速转动。工件等速转动。 求求（1）齿轮齿轮C的啮合力；（的啮合力；（2）轴承）轴承A、B 的约束力；的约束力；（3）三爪卡盘对工件的约束力。）三爪卡盘对工件的约束力。FBxFBzFByyzxFAxFAz FzFxxzFtFrrR100 xz解解（1）研究对象：轴研究对象：轴44例例 已知已知Fx=4.25kN，Fy=6.8kN，Fz=17kN。Ft0.36Fr ，R=50mm, r=30mm。求。求（1）啮合力；（啮合力；（2）轴承约束力）轴承约束力z38848876DABCFxFyFzFrFtrFBxFBzFByyxFAxFAz FzFxxzFtFrrRxz 0 xF 0yF

31、0zF0 xM0 yM0 zMAxF ByF0 tF xF yF 0 BxFAzF 0 rF zF BzF564 BzF76 rF388 zF0 RFt rFz 0 564 BxF76 tF388 xF30 yF0 解解45例例 车刀的切削力车刀的切削力Fx=4.25kN，Fy=6.8kN，Fz=17kN。求（求（3）三爪卡盘对工件的约束力。）三爪卡盘对工件的约束力。30100FxFzFy 0 xF 0yF 0zF0 xM0 yM0 zMMzxzyOOyF0 xF yF 0 OxF0 zF OzF100 zFxM0 30 zFyM0 100 xFzM0 30 yFFOyFOzFOxMx解解（1

32、）研究对象：研究对象：工件工件My46 对于空间力系，相互独立的平衡方程有对于空间力系，相互独立的平衡方程有6 6个，可个，可以根据题意列出多个力矩方程，灵活求解问题。以根据题意列出多个力矩方程，灵活求解问题。平面力系的平衡方程有基本式、二矩式、三矩式。平面力系的平衡方程有基本式、二矩式、三矩式。力矩平衡方程形式简单，求解方便。力矩平衡方程形式简单，求解方便。47EHABCDFGbbaP612345F例例 均质长方形板由均质长方形板由6根直杆支撑于根直杆支撑于水平位置。板重水平位置。板重P。F=2P，求各杆内力。求各杆内力。F1F2F3F4F5F60 0 AEM0 CGM0 bF cos50

33、BFMbF cos10 0 ACMBDF5 . 04 0 0 ADMbP5 . 0 bF 60 bP5 . 0 aF aF 45cos30 FGMbF bF 20 yzx05 F01 F04 F26PF PFF2223 PF5 . 12 解解（1）研究对象：研究对象：长方形板长方形板481F2FABRFC1、平行力系的中心、平行力系的中心平行力系的中心是平行力系的合力通过的一个点。平行力系的中心是平行力系的合力通过的一个点。21FFFR 利用合力矩定理，确定合力作用点。利用合力矩定理，确定合力作用点。)()()(21FMFMFMCCRC BCFACF 210 ABFACFFMRRA 2)(BC

34、FACF 21ABFACFBCFR 214-6 重重 心心 平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。此点称为平行力系的中心。置有关，而与各平行力的方向无关。此点称为平行力系的中心。49对于反向平行力系，上述方法和结论仍适用。对于反向平行力系，上述方法和结论仍适用。 平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。此点称为平行力系的中心。置有关，而与各平行力的方向无关。此点称为平行力系的中心。1FA2FB设

35、合力作用点为设合力作用点为C)()()(21FMFMFMCCRC BCFACF 210 ABFACFFMRRA 2)(BCFACF 21ABFACFBCFR 21CRF50 xzyo2 2、重心、重心WC1W1W2WiCiC2C物体的重力物体的重力是地球对物体的吸引力。是地球对物体的吸引力。 若将物体视为无数微元的集若将物体视为无数微元的集合，则所有微元所受地球引力合，则所有微元所受地球引力近似构成近似构成空间平行力系空间平行力系。 实验证明，无论物体怎样放置，其重力永远通过物实验证明，无论物体怎样放置，其重力永远通过物体内一个固定的点，该点为物体的重心。体内一个固定的点，该点为物体的重心。其

36、合力即为物体的重力。其合力即为物体的重力。其中心即为物体的重心。其中心即为物体的重心。512 2、重心、重心xzyC1W1W2WiWCiC2CxCyCzCxiyizi利用合力矩定理：利用合力矩定理：CxW iixW )()(iyyWMWM WWxxiic 若物体在若物体在xi、yi、zi处单位体积的重量处单位体积的重量为为 。则：则：Wi= dVi VVcdVdVxx VVcdVdVyy VVcdVdVzz 对于均质物体对于均质物体 为常量：为常量：VdVxxVc VdVyyVc VdVzzVc 52 R 3 3、确定物体重心的方法、确定物体重心的方法（1）简单几何形状的物体的重心）简单几何形

37、状的物体的重心 均质物体有对称面、对称轴、对称中心，物体的重心一定在对称均质物体有对称面、对称轴、对称中心，物体的重心一定在对称面、对称轴、对称中心上。面、对称轴、对称中心上。xy例题：例题：求图示扇形面积的重心。求图示扇形面积的重心。解：解：RRddA 21 dR32 cos32Ry AdAAAdAyyAc 22cos3221RdRR sin32R 对于半圆对于半圆2 ，重心，重心 34RyC 由对称性，有由对称性，有xC0 0 2221RdR53（2）组合法求重心）组合法求重心 若物体由多个形状简单的物体组合而成，每块物体重力为若物体由多个形状简单的物体组合而成，每块物体重力为P1, P2

38、. Pn，重心为（，重心为（x1,y1,z1） （x2,y2,z2） （xn,yn,zn），那么整个），那么整个物体的重心为：物体的重心为： iiiCiiiCiiiCPzPzPyPyPxPx54（2）组合法求重心）组合法求重心 若物体由多个形状简单的若物体由多个形状简单的均质物体均质物体组合而成，每块物体体积为组合而成，每块物体体积为V1, V2. Vn，重心为（，重心为（x1,y1,z1） （x2,y2,z2） （xn,yn,zn），那么整），那么整个物体的重心为：个物体的重心为： iiiCiiiCiiiCVzVzVyVyVxVx 对于均质物体重心位置仅取决于物体的几何形状和尺寸，此对于均质物体重心位置仅取决于物体的几何形状和尺寸，此时，时，重心又为物体的几何中心，即形心。重心又为物体的几何中心，即形心。55（2）组合法求重心）组合法求重心 若物体由多个形状简单的若物体由多个形状简单的均质等厚的薄板均质等厚的薄板组合而成，组合而成，每块物体面积为每块物体面积为A1, A2. An，重心在对称面上的坐标为，重心在对称面上的坐标为（x1,y1） （x2,y2） （xn,yn），那么整个物体的重心为：），那么整个物体的重心为： iiiCiiiCAyAyAxAx具体应用：具体应用：（1）分割法）分割