几种常用纠错码的性能分析及应用研究报告

1、-. z目录设计总说明 IIntroductionIII1 绪论 12 纠错码的根本概念 32.1 数字通信系统 32.1.1 数字通信系统的组成 32.1.2 信道模型 42.2 过失控制系统和纠错码分类 72.2.1 过失控制系统的分类 72.2.2 纠错码的分类 93 线性分组码 113.1 线性分组码的根本概念 113.2 线性分组码的编码 113.2.1 生成矩阵 113.2.2 校验矩阵 153.2.3 编码的实现 153.3 线性分组码的译码 163.3.1 线性分组码的纠检错能力 173.3.2 伴随式解码 14 循环码 204.1 循环码的一般概念 204.1.1 循环码的定

2、义 204.1.2 循环码的生成多项式 204.2 循环码的编码 204.3 循环码的译码 224.4 BCH 码 244.4.1 BCH 的编码算法 244.4.2 BCH 的译码算法 25. - - . 可修编-4.5 RS 码 264.5.1 RS 编码算法 264.5.2 RS 的译码 265 卷积码 285.1 卷积码的表示 285.2 卷积码的编码原理 295.3 卷积码的译码 296 纠错码在移动通信中的应用 326.1 移动通信的概述 326.2 移动通信中的过失控制 326.2.1 移动通信中的过失控制 326.2.2 移动通信中常用的纠错方式 336.2.3 编码方法 34

3、6.3 移动通信中纠错码的应用和开展 346.3.1 模拟移动通信系统中数字信令的 BCH 编码 346.3.2 GSM 的 FEC 编码 356.3.3 DMA 系统(IS-95)中的 FEC 编码 356.3.43G 中的 Turbo 码 467MATLAB 简介及卷积码的仿真 .377.1MATLAB.377.2MATLAB 在通信仿真中的应用.377.3 卷积码的仿真 .388 总结 42参考文献 43附录.44致 46-. z几种常用纠错码的性能分析及应用研究设计总说明随着社会的开展，信息的传播起着越来越重要的作用。现代通信朝着宽带化、智能化、综合化、个人化的方面开展，传播手段如无线

4、多媒体等新技术不断更新，但它们都面临着一个不可防止的问题，即如何不断降低误码率，提高通信质量。提高信息传输的可靠性和有效性，始终是通信工作所追求的目标。纠错码是提高信息传输可靠性的一种重要手段现代通信系统中，它被用来提高信道传输的可靠性和功率利用率，因此它可以检测并纠正信号传输过程中引入的错误，抗干扰能力强，所以纠错码的设计是保证数据可靠传输的一个重要组成局部。伴随着信息时代的到来以及微电子技术的飞速开展，今天纠错码已不再单纯是一个理论上探讨的课题了，它已成为一门标准技术而被广泛采用，它也不再是致力于专门研究的专业人员才应掌握的一门科学，而成为从事通信、计算机、电子系统工程的有关工程技术人员都

5、必需掌握的一门技术。它在通信系统中的应用是不容无视的。这是该毕业设计研究的意义所在。早在 20 世纪中期，香农就提出并证明了著名的抗干扰信道编码定理。这一定理奠定了现代通信特别是纠错码的理论根底。近 50 年来，在信息技术开展和实际需要的不断推动下，人们一直在寻现复杂度合理的更优秀的编译码方法，去逼近 Shannon 理论的理想界限。在这个过程中，已经取得了许多伟大的进展，从早期的分组码、代数码，到 RS 码,到后来的卷积码，以及今天的 Turbo ,LDPC 码，所能到达的性能和 Shannon限间的距离被不断缩小。这些方法也已经投入到多个领域的商用中，如卫星通信和深空通信，数据存储，数据传

6、输，移动通信，数字音频和视频传输等。纠错码无论在理论还是在实际中都得到飞速开展。今天的纠错码已经不再单纯的是一个理论上探讨的课题了，它已成为一门标准技术而被广泛采用。在通信领域中，CRC 校验已成为 CCT 对各类线路传输建议中必不可少的一局部；在移动通信中，纠错码被广泛用于模拟体制的信令传输及数字体制的整个传输，以提高传输的可靠性和节省珍贵频谱资源；在卫星通信中纠错码技术已成为用来降低对高功放的要求和减少地球站天线孔径的尺寸的经济可靠的方法，VSAT 和 VSAT的兴起，都是和纠错码技术的应用有关的；在网上的数据传输中，纠错码、过失控制技术已是使高速数据传输成为现实的关键技术。纠错码技术还广

7、泛应用于计算机存储和运算系统中，此外，纠错码技术还应用于超大规模集成电路设计中，以提高集成电. - - . 可修编-路芯片的成品率，降低芯片的本钱。该毕业设计研究的主要容是介绍数字通信系统、纠错码的根本概念及其分类、以及几种常用纠错码的编译码原理、常用纠错码的应用领域研究及重要意义。几种纠错码包括线性分组码、循环码、BCH 码、RS 码、卷积码。这里对线性分组码、循环码和卷积码做了比较详细的介绍。通过对几种纠错码的分析后，我们再做进一步的研究，介绍一下纠错码在移动通信中的应用和开展。第一章说明纠错码的主要意义，第二章介绍了数字通信系统及纠错码的根本概念，数字通信系统主要由四个局部构成：信源编码

8、、信道编码、数字调制及同步运算，给出了根本的信道模型，方便理解。对于纠错码和过失控制进展了分类。接下来第三到六章是几种纠错码的研究，对其编译码原理分别进展讲解。第七章深入研究纠错码在移动通信中的应用，包括模拟移动通信系统中数字信令的 BCH 编码、GSM 的 FEC 编码及窄带 CDMA 系统(IS-95)中的 FEC 编码。由于纠错码的容非常丰富，涉及领域较广，所需数学知识较多、较深。而且篇幅、时间有限，这里不可能详细介绍所有容，仅讨论纠错码理论中比较根本和重要的，并在实际应用中用得较多的各种码的编译码原理和方法。关键词关键词过失控制；纠错码；编译码原理；移动通信SeveralSeveral

9、 monlymonly usedused error-correctingerror-correcting codecode performanceperformance analysisanalysis andand in-depthin-depth studystudyIntroductionIntroductionWith the development of society, the dissemination of information plays an increasingly important role. Broadband towards modern munication

10、s, Intelligent, prehensive, personal development, munication means, such as new technologies such as wireless multimedia constantly updated, but they are faced with an unavoidable issue of how to continually reduce the error rate and improve the quality of munication. The purpose of munication is to

11、 the other side do not know of reliable and timely transmission of information to each other, therefore, requires a munication system -. ztransmitted information must be reliable and fast, in a digital munication system in a reliable and rapid are often contradictory, if the fast, it will for sure m

12、akes the proportion of each symbol time, waveform narrowing, energy reduction, and thus subject to interference in thepossibility of error after the increase, reducing the reliability of information transmission. If he asks for a reliable, slow transfer rate is made. Therefore, how to solve a more r

13、easonable reliability and speed of this contradiction is the right to design a munications system the key issues. As early as the mid-20th century, Shannon put forward and prove the well-known anti-jamming channel coding theorem. This theorem has laid a modern munications, especially the theoretical

14、 basis for error-correcting codes. The last 50 years, in the information technology development and the continuous promotion of the practical needs, it has been seeking to achieve a reasonable ple*ity codec better ways to approach the ideal limits of Shannon theory. In this process, has made a lot o

15、f great progress, from early block code, on behalf of Digital, and RS codes, convolutional codes later, as well as the Turbo, LDPC codes can achieve the Shannon limit performance and be the distance between shrinking. These methods have also been put into mercial areas, such as satellite munications

16、 and deep space munications, data storage, data transmission, mobile munication, digital audio and video transmission. Error-correcting codes in terms of theory or in practice have been the rapid development. Todays error-correcting codes is no longer simply a theoretical issue of e*plore, it has be

17、e a standard technology and are widely used. In the munications field, CRC checksum CCT has bee the transmission lines of various essential part of the proposed; in mobile munications, the error-correcting codes are widely used in analog systems and digital signal . - - . 可修编-transmission of the ent

18、ire transmission system in order to improve the transmission reliability and to save precious spectrum resources; in the error-correcting codes in satellite munications technology has bee used to reduce the high power requirements and earth station antenna to reduce the aperture size of the economic

19、 and reliable method, VSAT and VSAT rise are error-correcting codes and related technology; in a telephone-line data transmission, the error-correcting codes, error control technology is to enable high-speed data transfer key technologies to bee a reality. Error-correcting code technology is widely

20、used in puter storage and puting systems, In addition, the error-correcting code technology used in VLSI design, integrated circuit chips in order to enhance yield and reduce the cost of chips. Design of the school is to introduce the main elements of the digital munication system, the basic concept

21、s of error-correcting codes and classification, as well as several of the encoding and decoding error-correcting codes monly used principle, the application of monly used error-correcting codes and the importance of research in the field. Several error-correcting codes, including linear block codes,

22、 cyclic codes, BCH codes, RS codes, convolutional codes. Here for linear block codes, cyclic codes and convolutional codes have done a more detailed introduction. Through analysis of several error-correcting codes, we do further research to introduce error-correcting codes in mobile munication appli

23、cations and development. The first chapter is devoted to the digital munication system and the basic concepts of error-correcting codes, digital munication system is mainly posed of four parts: source coding, channel coding, digital modulation and synchronous operation, given the basic channel model

24、, to facilitate understanding. For error-correcting codes and error control are classified. The ne*t chapter is the second to seven of the study of several error-correcting codes, their codec separately on principle. Chapter VIII-depth -. zstudy of error-correcting codes in mobile munication applica

25、tions, including analog mobile munications system, signaling the number of BCH coding, GSM and narrowband of FEC coding CDMA system (IS-95) in the FEC encoding. Error-correcting codes as a result of very rich content, covering a wider area of required knowledge of mathematics more deeply. Due to the

26、 length of time is limited, can not detail here all the contents, only to discuss the theory of error-correcting codes an essential and important, and with a more practical application of a variety of key principles and methods of encoding and decoding. KeyKey wordswordsError control；Error-correctin

27、g codes；Encoding and Decoding；Principle； Mobile munications-. z1 绪论当前人类已步入信息社会，通信是必不可少的。通信的目的是要把对方不知道的消息及时可靠的传送给对方，因此，要求一个通信系统传输消息必须可靠与快速，在数字通信系统中可靠与快速往往是矛盾的，假设要求快速，则必然使得每个码元所占的时间缩短、波形变窄、能量减少，从而在受到干扰后产生错误的可能性增加，传送消息的可靠性减低。假设要求可靠，则使得传输速率变慢。因此，如何较合理的解决可靠性与速度这一对矛盾，是正确设计一个通信系统的关键问题。提高信息传输的可靠性和有效性，始终是通信工

28、作者所追求的目标。使用纠错码是提高信息传输的可靠性的重要手段。迄今，它已经有了 40 年的开展历史。50 年代至 60 年代初，主要研究各种有效的编、译码方法，奠定了线性分组码的理论根底；提出了著名的 BCH 编码、译码方法以及卷积码的序列译码；给出了纠错码的根本码限；还出版了纠错码的第一本专著。这是纠错码从无到有得到迅速开展的年代。自 60 年代至 70 年代初，这是纠错码开展最为活泼的时期。不仅提出了许多有效的编译码方法，而且注意到了纠错码的实用化问题，讨论了与使用有关的各种问题，所有这些问题的研究为纠错码的实用打下了坚实的根底。在此期间，以代数方法特别以有限域理论为根底的线性分组码理论已

29、趋成熟。70 年代初至 80 年代，这是纠错码开展史中具有及其重要意义的时期。在理论上以戈帕为首的一批学者，构造了一类 Goppa 码，其中一类子码能到达香农在信道编码定力中所提出的码香农码，所能到达的性能，这早纠错码的历史上具有划代的意义。在这期间大规模集成电路和微机的迅速开展，为纠错码的实用打下了坚实的物质根底，因而与使用相关的各种技术及有关问题得到了极大的关注，并在使用中取得了巨大成功。应当指出，在此期间利用 FET 技术，从频谱观点研究纠错码，受到了特别重视，使得很多熟悉信号处理技术但不熟悉有限域理论的工程师们，能够较快地掌握纠错码理论，并能熟练地应用与实际中，从而为纠错码在各类通信系

30、统中的广泛使用，起到了极好的推动作用。自 80 年代以来，代数几何码的研究得到了非常迅速的开展，取得了许多成果。目前，利用纠错码来降低各类数字通信系统以及计算机存储和运算系统中的误码率，提高通信质量，延长计算机无故障运行时间等已经非常普遍。而现今最具有开展潜力的. - - . 可修编-Turbo 码也走进了人们的视野，越来越多的人认识到了它的重要性，越来越多的参加到研究这一具有广阔开展前景的纠错码。目前，纠错码的应用更加广泛。鉴于此，我们的研究很有意义。该论文主要研究线性分组码、循环码、卷积码的编译码原理，以及纠错码在移动通信中的应用。设计说明中已说明，这里不再介绍。2 纠错码的根本概念2.1

31、 数字通信系统 数字通信系统的组成数字通信系统模型如图 2.1 所示。图源把原始消息变换成原始电信号。常见的信源有产生模拟信号的机话筒、摄像机输出的视频模拟信号等。下面分别介绍数字通信系统模型中各个方框应完成的任务和所起的作用。信源信源编码 信道编码啊调制器信道解调器信道译码信源译码信宿噪声发端定时同步收端定时同步图 2.1 数字通信系统模型1信源编码信源编码的主要任务有两个：一是将信源送出的模拟信号数字化，即对连续信息进展模拟、数字 (A/D)转换，用一定的数字脉冲组合来表示信号的一定幅度。通常将这种过程称为脉冲编码调制 (PCM)，简称为编码。二是提高信号传输的有效性。也就是说，在保证一定

32、传输质量的情况下，用尽可能少的数字脉冲来表示信源产生的信息，故信源编码也称作频带压缩编码或数据压缩编码。需要说明的是，压缩编码的方式并不是每个数字通信系统均需进展的，视情况需要而采用。2信道编码信道编码主要解决数字通信的可靠性问题，故又称作抗干扰编码或纠错编码。数字信号在信道中传输，不可防止地会受到噪声干扰，并有可能导致承受信号的错-. z误判断，产生错码。信道编码就是为了减少这种错误判断出现的概率而引入的编码。具体来说就是将信源编码输出的数字信号，人为地按一定规律参加一些多余数字代码，形成新的数字信号，接收端按约定好的规律进展检错和纠错，以到达在接收端可以发现和纠正错误的目的。3数字调制编码

33、器输出的信号是数字基带信号 即编码脉冲序列 ，假设将基带信号直接送至信道中去传输，称这种传输方式为基带传输。基带传输必须使用有线信道，且传输距离有限。为了进展远距离传输，需要借助高频振荡信号称为载波来运载。将数字基带信号调制到高频信号上的过程称为数字调制，利用调制技术来传输数字信号的方式称为频带传输。它的主要功能是提高信号在信道上的传输效率，到达信号远距离传输的目的。根据用数字信号控制高频信号的参数不同，数字调制可分为数字调幅、数字调频和数字调相。4同步同步系统是数字通信系统的重要组成局部。所谓同步，是指通信系统的收、发双方具有统一的时间标准，使它们的工作 “步调一致。同步通常包括有载波同步、

34、位码元同步和群帧同步等。同步对于数字通信是至关重要的。如果同步存在误差或失去同步，则通信过程中就会出现大量的误码，导致整个通信系统失效。可见同步问题是数字通信中一个重要的实际问题。接收端的解调、信道解码、信源解码的功能与发送端相对应的方框正好相反，是一一对应的反变换关系，这里不再赘述。实际的数字通信系统方框图与图 2.1 可能不同。例如，如果信源是数字信息，则无需信源编码，直接构成数据通信系统；如果通信距离不远，且容量不大，信道一般采用电缆，即采用基带传输方式，这样就不需要调制和解调局部；如果对抗干扰性能要求不高，数字通信系统同样可以不需要信道编码和信道解码局部。 信道模型 现以图 2.1 的

35、模型来讨论二进制数字序列通过该系统时所发生的情况。设从信源送出字母 A，它的二进制序列为 11000，以基带信号传送，经发射机调制后，送往信道的已调信号如图 2.2 所示。由于信道的干扰，从信道输出端的信号产生了失真，如图 2.3 所示，。这些失真信号送入接收机进展判决时，由于第一、二、四、五的码元的波形失真不大，容易正确地判为1、1 和 0、0；但对于第三个码元来说，. - - . 可修编-由于失真严重而难于判决。这时有以下三种判决方法：一是勉强作出是0 还是 1的判决，即所谓硬判决；另一种是对该码元暂且不作判决，而输出一个未知或待定的信号“*，称其为删除符号；第三种方法是输出一种有关该码元

36、的信息，例如关于 0 和 1 的后验概率或似然函数，这种作法称为软判决。相比之下，软判决的性能较好，但实现起来较复杂。0tS(t)图 2.2 11000 发送的已调信号波形图 2.3 接收端收到地失真信号波形在二进制硬判决情况下，信道可用图2.4 所示的简单模型表示。图中， p01p10分别是 0 错成 1 或 1 错成 0 的概率，称信道转移概率。该信道的信道转移概率矩阵可用P =描述。如果 P01=P10=Pe，则称这种信道为二进制对称信道，简称BSC。否则，称为不对称信道。假设 P01或 P10等于零，则称之 Z 信道。通常 BSC 是一种无记忆信道，所以也称随机信道，它说明数据序列中出

37、现的错误彼此无关。在作删除判决情况下，信道可用图2.4 所示的模型表示，称为二进制删除信道，简称 BEC，一般它也是对称信道。图中， Pe 为信道的转移概率， q 为删除概率，在有删除处理情况下，信道的转移概率， Pe 一般很小，可忽略，因此把图 2.4 所示的模型用图 2.5 代替，称为二进制纯删除信道。应当指出，当码元作删除处理时，P00 P01P10 P11 1-P01 P01P10 1-P10 S(t)0t-. z它在序列中的位置是的，仅不知其值是0 还是 1，故对这种 BEC 信道的纠错要比BSC 信道容易。图 2.4 二进制删除信道图 2.5 二进制纯删除信道上述两种信道模型只是为

38、了讨论问题方便而简化成理想的情况，它们表达了*些实际信道传送信号的主要特征。例如，卫星通信或深空信道，可近似看成BSC。但有很实际信道如高频、散射、有线等信道，由于各种干扰所造成的错误，往往不是单个地而是成串的出现的，也就是一个错误的出现，往往引起其前后码元的错误，表现为错误之间的相关性，产生这种错误的信道称为有记忆信道或突发信道。在计算机存贮系统中，磁带的缺陷或读写头接触不良所引起的错误，也属于这种类型。但由于实际信道干扰的复杂性，所引起的错误往往不是单纯的一种，而是两种错误形式并存，只不过有的信道以 *种形式为主罢了。像这种随机错误与突发错误并存的信道，称为组合信道或复合信道。作为检错与纠

39、错用的抗干扰码，必须针对这几类信道，设计能纠正随机错误或纠正突发错误的码，或者设计既能够纠正随机错误又能够纠正突发错误的码，我们将首先讨论BSC 和 BEC 的纠错码问题，而后讨论纠正突发错误码，最后讨论组合信道的纠错码。2.2 过失控制系统和纠错码分类 过失控制系统的分类. - - . 可修编-发送端接收端纠错码前向纠错 FEC发送端接收端检错码判决信号发送端接收端重传反响ARQ检错和纠错码判决信号混合纠错HEC图 2.6 过失控制方式abc 在数字通信系统中，利用纠错码或检错码进展过失控制的方式大致有如图2.6所示以下几类：1重传反响方式 ARQ。如图 2.6b 所示，发送端发出能够发现

40、检测错误的码，接收端收到通过信道传来的码后，在译码器根据该码的编码规则，判决收到的码中有无错误产生，并通过反响信道把判决结果用判决信号告诉发端。发端根据这些判决信号，把接收端认为有错误的消息再次传送，直到承受端认为正确承受为止。从上可知，应用 ARQ 方式必须有一反响信道，一般较适用于一个用户对一个用户的通信，且要求信源能够控制，系统收发两端必须相互配合、密切合作，因此这种方式的控制电路比较复杂。由于反响重发的次数与信道干扰情况有关，假设信道干扰很频繁，则系统经常处于重发消息的状态，因此这种方式传送消息的连贯性和实时性比较差。该方式的优点是：编译码设备比较简单；在一定的多余度码元下，检错码的检

41、错能力比纠错码的纠错能力要搞得多，因而整个系统的检错能力极强，能获得极低的误码率；由于检错码的检错能力与信道干扰的变化根本无关，因此这种系统的适应性很强，特别适用于短波、微波、有线等干扰情况特别复杂的信道中。2前向纠错方式 (FEC)。如图 2.6a 所示，发送端发送能够被纠错的码，接收端收到这些码后，通过纠错编辑器不仅能够自动的发现错误，而且能够自动的纠正-. z承受码字传输中的错误。这种方式的优点是不需要反响信道，能进展一个用户对多个用户的同播通信，译码实时性较好，控制电路比ARQ 的简单，其缺点是译码设备比较复杂，所选用的纠错码必须与信道的干扰情况相匹配，因而对信道的适应性较差。为了要获

42、得比较低的误码率，往往必须以最坏的信道条件来设计纠错码，故所需的多余度码元比检错码要多的多，从而使编码效率很低。但由于这种方式能同播，特别适用于军用通信，并且随着编码理论的开展和编译码设备所需的大规模集成电路本钱的不断降低，译码设备有可能做的越来越简单，本钱越来越低，因而在实际的数字通信中逐渐得到广泛应用。3混合纠错方式 HEC。如图 2.6c 所示，这种方式是发送端发送的码不仅能够被检测出错误，而且还有一定的纠错能力。接收端收到码字序列后，首先检查错误情况，如果在纠错码的纠错能力以，则自动进展纠错。如果错误很多，超过了码的纠错能力，但能检测出来，则接收端通过反响信道，要求发端重新传送有错误的

43、信息。这种方式在一定程度上防止了FEC 方式要求用复杂的译码设备和 ARQ 方式消息连贯性差的缺点，并能到达较低的误码率，因此在实际中的应用越来越广。 除了上述三种主要方式以外，还有所谓下一信息反响系统IRQ。这种方式是接收端把收到的信息原封不动地通过反响信道发送回发送端，发送端比较发送的与反响回来的消息，从而发现错误，并且把传送的错误消息再次传送，最后到达是对方正确承受的目的。 纠错码的分类在传输过程中发生错误后能在收端自行发现或纠正的码。仅用来发现错误的码一般常称为检错码。为使一种码具有检错或纠错能力，须对原码字增加多余的码元，以扩大码字之间的差异 ，即把原码字按 *种规则变成有一定剩余度

44、 见信源编码 的码字，并使每个码字的码之间有一定的关系。关系的建立称为编码。码字到达收端后，可以根据编码规则是否满足以判定有无错误。当不能满足时，按一定规则确定错误所在位置并予以纠正。纠错并恢复原码字的过程称为译码。检错码与其他手段结合使用，可以纠错。 1948 年 C.E.香农发表论文指出，只要采用适当的纠错码，就可在多类信道上传输消息。自 香农的论文发表以来，人们经过持续不懈的努力已经找到多种好码，可以满足许多实用要求。但在理论上，仍存在一些问题未能解决。纠错码能够检错或纠错，主要是靠码字之间有较大的差异。纠错码实现中最复杂的局部是译码，它是纠错码能否应用的关键。纠错码传输的都是数字信号。

45、这既可用. - - . 可修编-硬件实现，也可用软件实现。分组码和卷积码是两类较重要的纠错码。分组码是对信源待发的信息序列进展分组每组 K 位编码，它的校验位仅同本组的信息位有关。自20 世纪 50 年代分组码的理论获得开展以来，分组码在数字通信和数据存储系统中已被广泛应用。卷积码不对信息序列进展分组编码，它的校验元不仅与当前的信息元有关，而且同以前有限时间段上的信息元有关。卷积码在编码方法上尚未找到像分组码那样有效的数学工具和系统的理论。但在译码方面，不管在理论上还是实用上都超过了分组码，因而在过失控制和数据压缩系统中得到广泛应用。上述各种过失控制系统中所用到的码，不外乎是能在译码器自动发现

46、错误的检错码，或者不仅能发现而且能自动纠错的纠错码，或者能纠正删除错误的纠删码。但这三类码之间没有明显之分，以后将看到，任何一类码，按照译码方法不同，均可作为检错码、纠错码或纠删码来使用。除了上述的划分方法以外，通常还按以下方式对纠错码进展分类：1按照对信息元处理方法的不同，分为分组码与卷积码两大类。分组码是把信源输出的信息序列，以k 个码元划分为一段，通过编码器把这段k 个信息元按一定规则产生 r 个校验监视元，输出长为 n=k + r 的一个码组。因此每一码组的校验元仅与本组的信息元有关，而与别组无关。分组码用n,k表示，n 表示码长，k 表示信息位。卷积码是把信源输出的信息序列，以k0个

47、k0通常小于 k码元分为一段，通过编码器输出长为 n0(k0)一段的码段。但是该码段的 k0-n0个校验元不仅与本组的信息元有关，而且也与前 m 段的信息元有关，成 m 为编码存贮。因此卷积码用n0,k0,m表示。2根据校验元与信息元之间的关系分为线性码与非线性码。假设检验元与信息元之间的关系是线性关系 满足线性叠加定理 ，则称为线性码，否则，称为非线性码。3按照纠正错误的类型可分为纠正随机 独立错误的码，纠正突发错误的码和纠正同步错误的码，以及既能纠正随机错误又能纠正突发错误的码。4按照每个码元取值来分，可分为二进制码与q 进制码(q = pm, p 为素数，m 为正整数)。5按照对每个信息

48、元保护能力是否相等可分为等保护纠错码与不等保护纠错-. z码。此外，在分组码中按照码的构造特点，又可分为循环码与非循环码。为了清楚起见，我们把上述分类用图 2.7 表示。纠错码等保护与不等保护非线性码线性码卷积码分组码非循环码循环码纠随机错误码纠突发错误码纠随机与突发错误码纠同步错误码图 2.7 纠错码的分类3 线性分组码3.1 线性分组码的根本概念线性分组码是分组码中最重要的一类码，它是讨论各类码的根底。一个n,k线性分组码中， k 是每组二进制信息码元的数目， n 是编码码组的码元总位数，又称为码组长度，简称码长。 n-k=r 为每个码组中的监视码元数目。简单地说，分组码是对每段 k 位长

49、的信息组以一定的规则增加 r 个监视元，组成长为 n 的码字，在二进制情况下，共有 2k个不同的信息组，相应地可得到 2k个不同的码字，称为许用码组。其余 2n-2k个码字未被选用，称为禁用码组。在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明重量，简称码重。例如，码子111100，码重 w=4。两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码组的汉明距离，简称码距。码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为码的最小距离，用 d0表示。最小码距是码的一个重要参数，它是衡量码检错、纠错能力的依据。. - - . 可修编-定定理理 3 3. .1 1 线性分组码的最小距离等于起非零码字的最小重量，即任意两个

50、码字之间的距离 d(c1,c2) 必等于另一码字的码重 w(c3).3.2 线性分组码的编码3.2.1 生成矩阵n, k, d分组码的编码问题就是在 n 维线性空间 Vn中，如何找到满足一定要求的，有 2k个矢量组成的 k 维线性子空间 Vn,k.或者说，在满足给定条件 码的最小间距 d 霍码率 R下，如何从的 k 个信息元求的 r =n-k 个校验元。这相当于建立一组线性方程组， k 个系数，要求 n-k 个未知数，是得到的码恰好有所要求的最小距离 d. 表 3.1 给出了一个7，3线性分组码的例子。该例中，信息组为 (C6C5C4)，码字为C6C5C4C3C2C1C0。当信息组时，按一下规

51、则得到四个校验元，即 (3-1)4505145624636CCCCCCCCCCCCC这组方程称为校验方程。 信 息 组 码 字监视位 000 000000000000010011101110101001001110111011 011101010101001001110111010110100110011-. z1101101001100111111101000100表 3.1 7，3线性分组码7，3线性分组码有 23个许用码字或合法码字，另有 27-23个禁用码字。发送方发送的是许用码字，假设接收方收到的是禁用码字，则说明传输中发生了错误。 由于n,k线性分组码的 2k个码字组成了 n 维线

52、性空间 Vn的一个 k 维子空间，因此这个 2k个码字完全可由 k 个线性无关组的矢量所组成的基底成。设此 k 个矢量为 C1，C2，Ck，有 C1=(g1,n-1,g1,n-2,g1,0) C2=(g2,n-1,g2,n-2,g2,0) C3=(gk,n-1,gk,n-2,.,gk,0)写成矩阵形式为 G= = 3-2kCCC.21,0k 2-n ,k 1 -nk,02 2-n2 1 -n2012, 11, 1g .g ,g. . . . . . .g .,g ,g,g . nnggn,k码中的任一码字 Ci,均可由这组基底的线性组合生成，即Ci=mi.G=n-1 mn-2 mn-k 3-3

53、m,0g . ,g ,g. . . . . . .,g . ,g ,g,g . , ,k2-nk1 -nk022-n2 1 -n2012111nngg式中，mi=(mn-1,mn-2,mn-k)是 k 个信息元组成的信息组。这就是说，每给定一个信息组 mi，通过式3-2便可求得其相应的码字 Ci.故称 kn 阶矩阵 G 为n,k码的生成矩阵。例如，对于表 3.1 给出的7，3线性分组码，可将式 3-1改写成. - - . 可修编-写成矩阵形式C6C5C4C3C2C1C0= C6C5C41 0 1 1 1 0 01 1 1 0 0 1 00 1 1 1 0 0 1故7，3码的生成矩阵为G=1 0

54、 1 1 1 0 01 1 1 0 0 1 00 1 1 1 0 0 1可以看到，从 7，3码的 8 个码字中，挑选出 k=3 个线性无关的码字(1001110)、0100111和0011101作为码的一组基底，即作为它的生成矩阵的各行。一个 n,k码的生成矩阵的 k 行就是 k 个线性无关的码字，他们的线性组合生成n,k码的 2k个码字。假设信息组 m=011，则相应的码字C=m.G=0 1 11 0 1 1 1 0 01 1 1 0 0 1 00 1 1 1 0 0 1计算得C=0 1 1 1 0 1 0为 G 矩阵后两行的线性组合。 一个线性空间的基底可以不止一组，因此作为码的生成矩阵G

55、，也可以不止一种形式，但是无论那一种形式，它们都生成一样的线性空间，即生成同一个n,k线性分组码。3.2.2 校验矩阵 表 3-1 所示7，3线性分组码的四个校验元是由式 3-1所示的线性方程组决定的。把式 3-1移项，有上式写成矩阵形式为=1 0 0 0 1 1 00 1 0 0 0 1 10 0 1 0 1 1 10 0 0 1 1 0 10123456CCCCCCC0000-. z这里的四行七列矩阵，用 H 表示，即H=1 0 0 0 1 1 00 1 0 0 0 1 10 0 1 0 1 1 10 0 0 1 1 0 1从以上容可知，校验矩阵 H 的每一行代表求 *一个校验位的线性方程

56、组的系数。这就是说，H 矩阵确立了校验元与信息元之间的关系。 (n,k)线性分组码有 r=n-k个校验元，故须有 r 个独立的线性方程，因此 H 矩阵必由线性无关的 r 行组成，是一个n-kn 阶矩阵。3.2.3 编码的实现综上所诉，当 n,k线性分组码的生成矩阵 G 或校验矩阵 H 时，编码问题时容易实现的，由于任意给定一个信息组mi，通过其生成矩阵便可求得其相应的码字 ci,故编码可以如图 3.1 所示。电路有移位存放器、模二加法器和模二乘法器组成。在图中， “表示移位存放器单元， “表示模二加法器， “及近旁的 P 矩阵元素 Pij表示模二乘法器，对于二元域， Pij=1 表示该处连通，

57、 Pij=0表示该处断开。图 3.1n,k线性分组码编码电路根据图 3.1 的电路，可画出 7，3线性分组码的编码电路，如图 3.2 所示。图 3.27，3线性分组码编码电路3.3 线性分组码的译码3.3.1 线性分组码的纠检错能力既然线性分组码的最小距离可用来衡量码的抗干扰能力，则一个码的最小距离与它的纠检错能力是否有关 .下面以重复码为例说明这个问题：假设分组码字中的监视元在信息元之后，而且是信息元的简单重复，则称该分组码为重复码，它是一种简单实用的纠错码，并有一定的纠错能力，例如 2，1重复码，两个许用码组是 00 与 11，d0=2,接收端译码，出现 01、10 禁用妈祖时，可以发现传

58、输中的一位错误。如果是 (3,1)重复码，两个许用码组是 000 与 111，d0=3，当接收端出现两个或三个 1 时，判为 1，否则判为 0，此时，该码可以纠正单个错误，或者检出两个错误。从上面的例子中，可以看出，码的最小距离直接关系着码的检错和纠错能力，. - - . 可修编-任一个n,k分组码，假设要在码字：1检测 e 个随机错误，则要求码的最小距离d0e+12纠正 t 个随机错误，则要求码的最小距离d02t+13纠正 t 个同时检测 e(t)个随机错误，则要求码的最小距离d0t+e+1.定定理理 3 3. .2 2 n，k线性分组码有最小距离为 d 的充要条件是 H 矩阵中任意 d-1

59、 列线性无关。由上述定理可知，所有列一样，但排列位置不同的各种H 矩阵所对应的不同n,k线性分组码，都有一样的最小距离，即它们在纠错能力和码率上是完全等价的。由于n,k线性分组码的 H 矩阵是一个 n-kn 阶矩阵，最多可能有 n-k列线性无关，所以码之间可能的最小距离等于n-k+1,称其为极大最小距离可分码，简称 MDS 码。用过失控制编码提高通信系统的可靠性，是以降低有效性为代价换来的。定义编码效率 R 用来衡量有效性 R=k/n 其中，k 是信息元的个数； n 为码长。对纠错码的根本要：检错和纠错能力尽量强；编码效率尽量高，编码规律尽量简单。实际中要根据具体指标要求，要保证纠错码有一定纠

60、、检错能力和编码效率，并且易于实现。3.3.2 伴随式解码解码过程是对经过信道传输后，受到干扰及信道加性高斯白噪声影响的数字信号波形，进展最正确接收及适宜的判断后，再确认它是否在码字序列中含有错误，这种检测是否能发现错误，发现什么样的错误，完全取决于过失控制能力。假设在该设计( , )n k码的能力围，则可立即实施自动纠错，或者以ARQ 方式重发纠错，如果由于偶尔传输干扰使码字波形失真太大，在一个接收码字发生的错误数超出该( , )n k码差控能力，就不能发现或纠正错误，或者以 “一误再误反而纠而更错。从目标而言，应当在码字确认为正确时方可解码而准确恢复为原信息。1伴随式解码上面已经涉及到，如