实验一-维纳滤波器的计算机实现

1、精品实验一维纳滤波器的计算机实现一、设计目的1利用计算机编程实现加性干扰信号的维纳滤波。2将计算机模拟实验结果与理论分析结果相比较，分析影响维纳滤波效果的各种因素，从而加深对维纳滤波的理解。二、设计原理与方法维纳滤波是一种从噪声背景中提取信号的最佳线性方法，假定一个随机信号 x(n) 具有以下形式：x(n) s(n) v(n)（1-1 ）其中， s(n) 为有用信号， v(n) 为噪声干扰，将其输入一个单位脉冲响应为h(n)的线性系统，其输出为y(n)h( m)x(nm)（1-2 ）m我们希望 x(n) 通过这个系统后得到的y(n) 尽可能接近于 s(n) ，因此，称y(n)为信号 s(n)

2、的估值。按照最小均方误差准则，h(n) 应满足下面的正则方程：xs (k)h(m) xx (km)（1-3 ）m这就是著名的维纳霍夫方程，其中xx (m) E x(n) x (n m)(1-4)xs (m) 是x(n) 与s(n) 的互相关函数，定义为xs (m) E x( n)s ( n m)(1-5)-可编辑 -精品这里，E · 表示求数学期*望表，示取共轭。在要求 h(n) 满足因果性的条件下， 求解维纳 - 霍夫方程是一个典型的难题。虽然目前有几种求解 h(n) 的解析方法，但它们在计算机上实现起来非常困难。因此本实验中利用近似方法，即最佳FIR维纳滤波方法，在计算机上实现随

3、机信号的维纳滤波。设 h(n) 为一因果序列，其长度为N ，则N 1y(n)h(m) x(n m)(1-6)m同样利用最小均方误差准则，h(n) 满足下面正则方程：Rxxh rxs(1-7)其中hh(0), h(1),K , h(NT(1-8)1)xx (0)xx (1)Kxx (N1)xx (1)xx (0)Kxx (N2)RxxKK(1-9)Kxx ( N1)xx (N2)Kxx (0)rxsxs (0)xs (1)Kxs ( N1)T(1-10)这里 T表示转置运算。称Rxx 为信号 x(n) 的N 阶自相关矩阵，rxs 为x(n) 与s(n) 的互相关函数向量。当Rxx 为满秩矩阵时，

4、由公式(1-7) 可得hRxx1rxs(1-11)由此可见，利用有限长的h(n) 实现维纳滤波器，只要已知Rxx 和 rxs ，就可以按上式解得满足因果性的h 。虽然它不同于真正的维纳滤波器，但是只要N选择的足够大， 它就可以很好地逼近真正的维纳滤波器，这一点我们可以在下面实验中得到证实。在本实验中， s(n) 由下式来确定：-可编辑 -精品s(n) as(n 1) w(n)(1-12)其中 a0.95, w( n) 是零均值方差为22的均匀分布白噪声，v(n) 是与w1 as(n) 互不相关的均匀分布白噪声，其均值为零，方差根据理论推导，此时维纳最佳滤波器为2v1 。H ( z)0.238(

5、1-13)0.724 z 11单位脉冲响应为h(n) 0.238(0.724) n u(n)(1-14)由此可以实现对信号 x(n) 的最佳过滤，即?(1-15)y(n) s(n)0.724s(n 1) 0.238 x( n)其中 s?(n) 为s(n) 的最佳估值。同时可以推出，经过理想维纳滤波后，均方误差应为E e2( n)?20.23811(1-16)E ( s(n) s(n)在实验中，我们利用下面公式来统计均方误差：? 1ELL2s? i)s i)(1-17)(i 1其中 L为维纳滤波数据长度。实际中，一般很难确切地知道xx (m) 和xs( m) ，通常是利用有限个x(n)和 s(n

6、) 的样本来估计它们?xx (m)1Lmx(i ) x (im )(1-18)m iL1?xs (m)1Lmx(i ) s (im )(1-19)m iL1为了在检验实际中某次产生序列的自相关特性与理论值的近似程度，我们可以采用下式进行度量：-可编辑 -精品K( ?xx (m)xx ( m)2mK（ 1-20a）xxKxx2( m)mKK( ?xs (m)xs (m) 2mK（1-20b）xsKxs2 (m)mK该式表示了自相关函数的理论值与某次实现的实际值的相对平方误差。实验中为了得到与自相关特性理论值相符的观测序列，往往需要多次产生序列， 直到两者的相对平方误差足够小。本实验中，我们取K=

7、50 ，并认为xx0.03 且xs0.01的序列才是满足要求的。三、设计内容与步骤1 仔细阅读维纳滤波原理，根据图1.1 给出的框图编制维纳滤波程序。2 运行维纳滤波程序，选择L=500,N=10，观察并记录实验结果，分析比较下列三个问题： 与s(n) 比较，信号 x(n) 在维纳滤波前后有何差别？滤波效果如何？ 估计出 ?的和理想的比较，近似程度如何？h(n)h(n) 理想的维纳滤波和 FIR维纳滤波效果有何差异？-可编辑 -精品图 1.13 固定 L=500,分别取 N=3 、20, 根据实验结果，观察 N 的大小对 ? 的估 h(n)计和滤波效果的影响。记录实验结果。4 固定 N=10,

8、 改变 L=200,1000,?根据实验结果，观察并记录 L的大小对 h( n) 的精度和滤波效果的影响。四、设计报告要求1简述设计目的和原理。2 按设计步骤附主要结果。3 根据结果总结主要结论。4. 如果使用自编程序，附上源程序。5. 实验感想。-可编辑 -精品五、附录参考程序（1 ）绘图程序，绘图是跟据一次实验结果绘制并非多次重复取均值后绘制clear all% 输入信号样本个数 L， FIR 滤波器阶数 N% L=input('L=');N=input('N=');a=0.95;% 产生 L 个 v(n) 、 u(n) 、 s(n) 和 x(n), 在同一

9、座标内绘出最后100 个 s(n) 和 x(n)w=-sqrt(3*(1-(0.952)+2*sqrt(3*(1-(0.952)*rand(1,L);%w(n) 的标准差v=-sqrt(3)+2*sqrt(3)*rand(1,L);u=ones(1,L);s(1)=1;% 计算 s(n)i=2;while(i<=L);s(i)=a*s(i-1)+w(i);i=i+1;end;i=1;% 计算 x(n)-可编辑 -精品while(i<=L);x(i)=s(i)+v(i);i=i+1;end;figure(1);% 绘制 s(n)( 红色 ),x(n)( 蓝色）k=(L-99):1:L

10、;plot(k,s(k),'r',k,x(k),'k-');legend('s(n)','x(n)',0);title('s(n)和 x(n)');xlabel('n');ylabel('输入信号 ');% 利用 L 个 v(n),s(n) ，估计 Rxx 和 rxs, 调用矩阵求逆子程序计算h1 ，将 N 个理想的h(n)和估计的h1 绘与同一座标内%fxx=zeros(1,N);% 计算 fxxfor(i=1:N);for(k=0:(L-i-1);fxx(i)=(1/(L-i)*

11、x(k+1)*x(k+i)+fxx(i);end;end;for(i=1:N);% 生成 Rxx 矩阵for(k=1:N);Rxx(k,i)=fxx(abs(k-i)+1);-可编辑 -精品end;end;rxs=zeros(1,N);% 计算 rxsfor(i=1:N);for(k=0:(L-i-1);rxs(i)=(1/(L-i)*x(k+1)*s(k+i)+rxs(i);end;end;h1=(inv(Rxx)*rxs'for(i=1:N);% 绘制 h( 理想滤波器 )， h1( 估计滤波器 )h(i)=0.238*(0.724)i*u(i);end;figure;k=1:1:N;plot(k,h(k),'r',k,h1(k),'k-')