概率函数与统计假设检验

1、随机变量：如上例中的变量随机变量：如上例中的变量X X，其取值由随机实验，其取值由随机实验结果决定，这种变量称为随机变量。结果决定，这种变量称为随机变量。随机变量由概率来描述。随机变量由概率来描述。kxkxkp的概率分布为称kkkpkpxp)3,2, 1()(kxkp1kkp一、二项分布一、二项分布( (一一) )n n重伯努利试验重伯努利试验如果一个试验有两个可能结果如果一个试验有两个可能结果A A与与 ，则称这个，则称这个试验为一个伯努利实验。将一个伯努利试验独立试验为一个伯努利实验。将一个伯努利试验独立地重复地重复n n次，则称次，则称n n重伯努利试验。重伯努利试验。在在n n重伯努利

2、试验中，事件重伯努利试验中，事件A A发生的次数发生的次数X X是一个是一个随机变量，随机变量，X X的所有可能取值为的所有可能取值为0 0，1 1，2n2n。若。若记记P P（A A）=P=P（0 0P P1 1），），P P（ ）=1-p=1-p，则则 P P（ ）= (k=0= (k=0，1 1，22，n n）AknKKNqPCkx Akx knKKNqPC（二）二项式分布的概率计算方法（二）二项式分布的概率计算方法P P、q q：概率，：概率，N N：总样本，：总样本，：k k抽取的样本抽取的样本例：例：某种昆虫在某地区的死亡率为某种昆虫在某地区的死亡率为40%40%，即，即P=0.4

3、P=0.4，现，现对这种害虫用一种新药进行治疗试验，每次抽取对这种害虫用一种新药进行治疗试验，每次抽取1010只只作为一组治疗。试问如新药无疗效，则在作为一组治疗。试问如新药无疗效，则在1010只中死只中死3 3只、只、2 2只、只、1 1只、以及全部愈好的概率为多少？只、以及全部愈好的概率为多少？knKKNqPCkp)(00605.0)60.0()40.0()0(04031.0)60.0()40.0()1(12093.0)60.0()40.0()2(21499.0)60.0()40.0()3(100010911108221073310CPCPCPCP二、泊松分布二、泊松分布在二项分布中，当在

4、二项分布中，当n np p时，二项分布将出现时，二项分布将出现一个极限分布，即泊松分布一个极限分布，即泊松分布(Poisson (Poisson distribution)distribution)。记为当记为当P0P0，nn，np=np= 时,eKkpK!)(如夏季暴雨次数的分布如夏季暴雨次数的分布,近似泊松分布。近似泊松分布。例如：例如：自自18741972年年99年间，上海夏季（年间，上海夏季（59月）月）共发生暴雨共发生暴雨275次，每年夏季共有次，每年夏季共有dn1533031313031则每天发生暴雨的概率为：则每天发生暴雨的概率为：018. 015399275p此值很小，而此值很

5、小，而n=153则较大。把暴雨看成稀有事件，则较大。把暴雨看成稀有事件，暴雨分布近似为泊松分布。暴雨分布近似为泊松分布。 1)(dxxpxdxxpxpxf)()()()()(xpxf连续性随机变量中最常见的是服从连续性随机变量中最常见的是服从正态分布的变量。正态分布的变量。 （二）连续型数据的概率分布（二）连续型数据的概率分布一、正态分布的密度函数为：一、正态分布的密度函数为：2)(2121)(mxexf特别是当特别是当m=0m=0，=1=1时，测得时，测得22121)(xexf这时称随机变量服从标准正态分布这时称随机变量服从标准正态分布（见书（见书66页图页图4-4和和4-5）是两个参数)0

6、(,mx正态分布的概率密度曲线的特征：正态分布的概率密度曲线的特征：1 1、正态分布曲线是单峰钟形曲线，以、正态分布曲线是单峰钟形曲线，以x=x=为对称为对称轴，向左右两侧作对称分布，是一个对称曲线。轴，向左右两侧作对称分布，是一个对称曲线。2 2、正态曲线以参数、正态曲线以参数和和的不同而表现为一系列的不同而表现为一系列曲线。曲线。3 3、正态分布资料的次数分布表现为多数次数集中、正态分布资料的次数分布表现为多数次数集中在算术平均数在算术平均数附近，离平均数越远，其相应的次附近，离平均数越远，其相应的次数越少。数越少。4 4、正态曲线与横轴之间的总面积等于、正态曲线与横轴之间的总面积等于1

7、1。22121)(xexdtextx22121)(其分布函数为)(x)(x)(1)(xx)()(21221abdxexba如已知如已知、，计算概率的公式为：，计算概率的公式为：例如：例如：从大气曾臭氧的含量可知某一地区空气污染从大气曾臭氧的含量可知某一地区空气污染的程度，从统计资料发现，臭氧含量服从正态分布，的程度，从统计资料发现，臭氧含量服从正态分布，今从某城市的统计数据知道，今从某城市的统计数据知道， =5.15,=1.816=5.15,=1.816，希望知道臭氧含量落在范围（希望知道臭氧含量落在范围（3,63,6）中的概率。）中的概率。)()()(1221xxxxxP5618. 0)88

8、10. 01 (6808. 0)18. 1()47. 0()816. 115. 53()816. 115. 56()()()63(12xxxp),(2mN?)3(?)2(mxpmxp222 221222222212kjjjFFf1212nx2nxnxt2(4-14)(12)21()(212xnxnnnxpnt21222222121f,f2 0 x0,0 x,xffxff2f2f2ffxp2ff1212f2f22f12121F211212221ssF 21n1i222i222n1i211i121xx1n1sxx1n1s21n1i222i2n1i211i1xx1n1xx1n1F2 . 1xx101

9、s0 . 8xx101s22xn1x15)16(.)14()12(111xn1x111i222i22111i211i21n1i2i22n1i1i112167. 6ssF22210038. 0s ,00. 6X0132. 0s ,10. 6X22221147. 30038. 00132. 0ssF2221111i222i22111i211i21n1i2i22n1i1i11xx101s ,xx101sxn1x,xn1x212121n1n1xxu7 .311x8 .282x21222211nnsnsn1222212121212222112121211111nsnsxxnnnnsnsnxxnnxxu0

10、6. 91696 . 2995 . 28 .287 .3122u211212*222*11nnsnsn22222*221112*11,1snnssnns21212222112121212*222*112111211211nnnnsnsnxxnnnnsnsnxxt0135. 0,76.270138. 055.2722222111snXsnX，58. 561412640135. 00138. 076.2755.27t1736. 0,269. 01337. 0,230. 0222211sxsx8, 9;1736. 0,269. 0;1337. 0,230. 021222211nnsxsx15. 08

11、1912891736. 081337. 09269. 0230. 0t4141jijixx56.102015141ijijxxkjijx1jx1jx2ijxnjxkjijixkx111x2xixnxixxkjijixkx11nikjijniixnkxnx11111nikjijxxS112总 niinikjiiijnikjiijnikjiiiijiijnikjiiijnikjijxxkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxS1211112112211211222总011111niiiikjiijniinikjiiijxkxkxxxkxxxxxxxn1i2in1ik1j2iijn1ik1j2ijxxkxxxx) 1(/S1n/SFeAknn1i2iAxxkSn1ik1j2iijexxSnikjijxx112S总1nSSAA) 1(nSSeekeASS288.14xxkSn1i2iA52.10 xxSn1ik1j2iije808.2