动力学临界问题

1、动力学临界问题第一页，共52页。例：例：（多选）（多选）如图所示，水平面上两物体如图所示，水平面上两物体m m1 1、m m2 2经一细绳相连，在水平力经一细绳相连，在水平力F F 的作用下处的作用下处于静止状态，则连结两物体绳中的张力可于静止状态，则连结两物体绳中的张力可能为能为( )( )A.A.零零B.B.F F/2/2 C.C.F FD.D.大于大于F F答案答案 ABC第二页，共52页。练习：如图所示质量为练习：如图所示质量为3 3的球的球A A用两根不可伸用两根不可伸长的轻质细线长的轻质细线BABA、BCBC连接在竖直墙上，连接在竖直墙上，ACAC垂垂直于墙，现在给直于墙，现在给A

2、 A施加一个力施加一个力F F，图中的，图中的角角均为均为60600 0，要使两条细线都能绷直且，要使两条细线都能绷直且A A保持静保持静止，求止，求F F的大小应满足的条件。取的大小应满足的条件。取g=10m/sg=10m/s2 2第三页，共52页。例题分析与解答例题分析与解答研究球研究球A A画出画出A A的受力示意图。的受力示意图。N3NFN320310选择图示的坐标，选择图示的坐标，X X方向方向Fcos=TFcos=Tb bcos+Tcos+Tc cY Y方向方向Fsin+TFsin+Tb bsin=mgsin=mg再 根 据 细 线 绷 直 的 临 界 条 件 ， 若再 根 据 细

3、 线 绷 直 的 临 界 条 件 ， 若T Tb b=0,F=0,Fmaxmax=20=20T Tc c=0,F=0,Fminmin=10 N.=10 N.所以所以F F的取值范围为的取值范围为3第四页，共52页。一、刚好相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最一、刚好相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值，即大值，即f f静静=f=fm m。注：此时加速度仍相等注：此时加速度仍相等。动力学中临界、极值动力学中临界、极值第五页，共52页。 例一、如图所示例一、如图所示, ,在光滑水在光滑水 平面上叠放着平面上叠放着A A、B B两物体两物体, ,已知已知m mA A= = 6 kg 6 kg、m m

4、B B=2 kg,A=2 kg,A、B B间动摩擦因数间动摩擦因数=0.2,=0.2,在物体在物体A A上上 系一细线系一细线, ,细线所能承受的最大拉力是细线所能承受的最大拉力是20 N,20 N,现水平向右现水平向右 拉细线拉细线,g,g取取10 m/s10 m/s2 2, ,则则 ( )( ) A. A.当拉力当拉力F12 NF12 NF12 N时时,A,A相对相对B B滑动滑动 C.C.当拉力当拉力F=16 NF=16 N时时,B,B受受A A的摩擦力等于的摩擦力等于4 N4 N D. D.无论拉力无论拉力F F多大多大,A,A相对相对B B始终静止始终静止 CD第六页，共52页。 解

5、析解析 设设A、B共同运动时的最大加速度为共同运动时的最大加速度为amaxmax, ,最大拉力最大拉力 为为Fmaxmax 对对B:B:mAg=mBamaxmax amaxmax= =6 m/s= =6 m/s2 2 对对A、B: :Fmaxmax=(=(mA+ +mB) )amaxmax=48 N=48 N 当当F Fmaxmax=48 N=48 N时时, ,A、B相对静止相对静止. . 因为地面光滑因为地面光滑, ,故故A A错错, ,当当F大于大于12 N12 N而小于而小于48 N48 N时时, ,A相对相对 B静止静止,B,B错错. . 当当F=16 N=16 N时时, ,其加速度其

6、加速度a=2 m/s=2 m/s2 2. . 对对B: :f=4 N,=4 N,故故C C对对. . 因为细线的最大拉力为因为细线的最大拉力为20 N,20 N,所以所以A、B总是相对静止总是相对静止,D,D对对. . 答案答案 CDCDBAmgm第七页，共52页。 练习：如图所示，光滑水平面上放置质量分别为练习：如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m m和和2 2m m的的四个木块，其中两个质量为四个木块，其中两个质量为m m的木块间用一不可伸长的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是mgmg. .现用水平现用水平拉力拉力F F拉其中一个质量为

7、拉其中一个质量为2 2m m的木块，使四个木块以同的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对一加速度运动，则轻绳对m m的最大拉力为的最大拉力为( () )第八页，共52页。第九页，共52页。2.2.相互接触的两物体相互接触的两物体脱离脱离的临界条件的临界条件-相互作用的弹力为零。即相互作用的弹力为零。即N=0N=0， 此时速度此时速度v v、加速度、加速度a a相同。相同。3、绳子松弛的临界条件是绳中张力为、绳子松弛的临界条件是绳中张力为零，零， 即即T=0。第十页，共52页。 例：一个质量为例：一个质量为m m的小球的小球B B，用两根等长的，用两根等长的细绳细绳1 1、2 2分别固定在

8、车厢的分别固定在车厢的A A、C C两点，已两点，已知两绳拉直时，如图所示，两绳与车厢前知两绳拉直时，如图所示，两绳与车厢前壁的夹角均为壁的夹角均为4545. .试求：试求： (1)(1)当车以加速度当车以加速度a a1 1g g向左做匀加速直向左做匀加速直线运动时线运动时1 1、2 2两绳的拉力两绳的拉力 (2)(2)当车以加速度当车以加速度a a2 22 2g g向左做匀加速直向左做匀加速直线运动时，线运动时，1 1、2 2两绳的拉力两绳的拉力第十一页，共52页。 【解析】当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度为向左的a0，由牛顿第二定律得， F1cos 45mg F1sin 45ma0

9、可得：a0g第十二页，共52页。 (2)因a22ga0，故细绳1、2均张紧，设拉力分别为F12，F22，由牛顿第二定律得： F12cos 45F22cos 45mg F12sin 45F22sin 45ma2 可解得：F12 mg F22 mg.第十三页，共52页。练习练习. .如图所示如图所示, ,倾角为倾角为的光滑斜面体上有一个小球的光滑斜面体上有一个小球m m被平被平 行于斜面的细绳系于斜面上行于斜面的细绳系于斜面上, ,斜面体放在水平面上斜面体放在水平面上. . (1) (1)要使小球对斜面无压力要使小球对斜面无压力, ,求斜面体运动的加速度范围求斜面体运动的加速度范围, , 并说明其

10、方向并说明其方向. . (2) (2)要使小球对细绳无拉力要使小球对细绳无拉力, ,求斜面体运动的加速度范围求斜面体运动的加速度范围, , 并说明其方向并说明其方向. . (3) (3)若已知若已知=60=60,m=2 kg,m=2 kg,当斜面体以当斜面体以a=10 m/sa=10 m/s2 2向右向右 做匀加速运动时做匀加速运动时, ,绳对小球拉力多大绳对小球拉力多大?(g?(g取取10 m/s10 m/s2 2) )第十四页，共52页。 解析解析 为确定小球对斜面无压力或对细绳无拉力时斜面为确定小球对斜面无压力或对细绳无拉力时斜面 体的加速度体的加速度, ,应先考虑小球对斜面或细绳的弹力

11、刚好为应先考虑小球对斜面或细绳的弹力刚好为 零时的受力情况零时的受力情况, ,再求出相应加速度再求出相应加速度. .取小球、细绳和斜取小球、细绳和斜 面体这个整体为研究对象面体这个整体为研究对象, ,分析整体的受力情况分析整体的受力情况, ,再确定再确定 斜面体的加速度范围斜面体的加速度范围. . (1) (1)球对斜面刚好无压力时球对斜面刚好无压力时, ,细绳与斜面平细绳与斜面平 行行, ,小球只受重力小球只受重力mgmg和细绳拉力和细绳拉力T T的作用的作用, , 如如右图所右图所示示. .正交分解正交分解T,T,由牛由牛顿第二定律得顿第二定律得 TsinTsin-mg=0-mg=0 Tc

12、os Tcos=ma0=ma0 解出解出a a0 0=g=gcotcot 所以在斜面向右运动的加速度所以在斜面向右运动的加速度aaaa0 0=g=gcotcot时时, ,小球对斜小球对斜面无压力面无压力. .第十五页，共52页。 (2) (2)当球对细绳刚好无拉力时当球对细绳刚好无拉力时, ,小球只小球只 受重力受重力mgmg和斜面支持力和斜面支持力N,N,如右图所示如右图所示. . 正交分解正交分解N N后后, ,可知可知N N的竖直分力与重的竖直分力与重 力平衡力平衡,N,N的水平分力使的水平分力使m m向左加速向左加速运动运动. . N Ncoscos=mg=mg N Nsinsin=m

13、a=ma0 0 解出解出a a0 0=g=gtantan 所以在球对细绳无拉力作用时所以在球对细绳无拉力作用时, ,若要使球与斜面体以相若要使球与斜面体以相 同的加速度运动同的加速度运动, ,则斜面体必须以则斜面体必须以a=aa=a0 0=g=gtantan向左加向左加 速运动速运动; ;如果斜面体向左运动的加速度如果斜面体向左运动的加速度a aa a0 0, ,则小球会相对斜则小球会相对斜面向右上方滑动面向右上方滑动, ,但要注意但要注意, ,若球能滑到细绳悬点上若球能滑到细绳悬点上 方方, ,细绳会对球再次产生拉力作用细绳会对球再次产生拉力作用. .第十六页，共52页。 (3) (3)由由

14、(1)(1)可知可知, ,球对斜面恰好无压力球对斜面恰好无压力 时时,a,a0 0=g=gcot 60cot 60= = 10 m/s10 m/s2 2, ,而而 题设条件题设条件a=10 m/sa=10 m/s2 2a a0 0, , 因此因此, ,这时小球对斜面无压力这时小球对斜面无压力, ,且球飞且球飞 离斜面离斜面, ,如右图所示如右图所示. .将细绳拉力将细绳拉力T T正交分解得正交分解得 TsinTsin-mg=0-mg=0 Tcos Tcos=ma=ma 解出解出小球所受细绳拉力小球所受细绳拉力T= mg=20 N,T= mg=20 N,拉力方向与水拉力方向与水平平 方向夹角方向

15、夹角=45=45. . 答案答案 (1)agcot(1)agcot 方向向右方向向右 (2)a=gtan(2)a=gtan 方向方向 向左向左 (3)20 N,(3)20 N,与水平方向成与水平方向成4545角角33222第十七页，共52页。弹簧中临界、极值问题弹簧中临界、极值问题第十八页，共52页。例例3、 如图示如图示, 倾角倾角30的光滑斜面上的光滑斜面上,并排放着质量分别并排放着质量分别是是mA=10kg和和mB=2kg的的A、B两物块，一个劲度系数两物块，一个劲度系数k=400N/m的轻弹簧一端与物块的轻弹簧一端与物块B相连，另一端与固定挡板相相连，另一端与固定挡板相连，整个系统处于

16、静止状态，现对连，整个系统处于静止状态，现对A施加一沿斜面向上的力施加一沿斜面向上的力F，使物块，使物块A沿斜面向上作匀加速运动，已知力沿斜面向上作匀加速运动，已知力 F在前在前0.2s内为内为变力，变力，0.2s后为恒力，后为恒力，g取取10m/s2 , 求求F的最大值和最小值。的最大值和最小值。30ABFx1解：解：开始静止时弹簧压缩开始静止时弹簧压缩 x1x1=(m1 +m2)g sin/ k = 0.15m0.2s 末末A、B即将即将分离分离, A、B间间无作用力，对无作用力，对B物块：物块：ABx2Fkx2-m2g sin = m2a x1-x2=1/2at2 解得解得 x2=0.0

17、5m a=5 m/s2 第十九页，共52页。30ABFt=0时，时，F最小，最小，对对AB整体整体 Fmin = (m1 + m2) a = 60Nt=0.2s 时，时，F最大，最大，对对A物块：物块：Fmax - m1g sin = m1aFmax = m1g sin + m1a = 100N第二十页，共52页。 如图如图363所示，在倾角为所示，在倾角为q q的光滑斜面上端系有的光滑斜面上端系有一劲度系数为一劲度系数为k的弹簧，弹簧下端连一个质量为的弹簧，弹簧下端连一个质量为m的小的小球，球被一垂直斜面的挡板球，球被一垂直斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形挡住，此时弹簧没有形变，若变，若A以

18、加速度以加速度a(agsinq q)沿斜面向下匀加速运动，求沿斜面向下匀加速运动，求： (1)从挡板开始运动到球板分离所经历的时间从挡板开始运动到球板分离所经历的时间t； (2)从挡板开始运动到小球速度最大时，球的位移从挡板开始运动到小球速度最大时，球的位移x.2.临界状态分析临界状态分析图图3-6-3第二十一页，共52页。 解析：解析：(1)设球与挡板分离时位移为设球与挡板分离时位移为s，经历的时间，经历的时间为为t，从开始运动到分离过程中，从开始运动到分离过程中，m受竖直向下的重受竖直向下的重力，垂直斜面向上的支持力力，垂直斜面向上的支持力FN，沿斜面向上的挡板支，沿斜面向上的挡板支持力持

19、力FN1和弹簧弹力和弹簧弹力f，据牛顿第二定律有方程：，据牛顿第二定律有方程： mgsinq q-f-FN1=ma， f=kx第二十二页，共52页。112212sin1si2 ( sinn2)NNxfFamxsFsatmgksmam gmgkatmataak随着 的增大， 增大，减小，保持 不变，当 与挡板分离时， 增大到等于 ，减小到零，则有：，联立解得：qqq-=-=-=( )2ssinin.mmvmksmgqmgsk分离后继续做加速度减小的加速运动， 最大时，受合力为零，即，位移是q=第二十三页，共52页。 点评：点评：临界与极值问题关键在于临界条件的分临界与极值问题关键在于临界条件的分

20、析，许多临界问题，题干中常用析，许多临界问题，题干中常用“恰好恰好”、“最大最大”、“至少至少”、“不相撞不相撞”、“不脱离不脱离”等词语对临界等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘其内含规律，找出临界条件定的词语发掘其内含规律，找出临界条件第二十四页，共52页。 例例4 4 如图如图9 9所示，一劲度系数为所示，一劲度系数为k=800N/mk=800N/m的轻弹簧两端的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为各焊接着两个质量均为m=12kgm=12kg的物体的物体A A、B B。物体。物体A A、B B和轻和轻弹簧竖立静止在

21、水平地面上，现要加一竖直向上的力弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F F在在上面物体上面物体A A上，使物体上，使物体A A开始向上做匀加速运动，经开始向上做匀加速运动，经0.4s0.4s物体物体B B刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，度内，g=10m/sg=10m/s2 2 ，求此过程中所加外力求此过程中所加外力F F的最大值和最小值。的最大值和最小值。ABF图图 9第二十五页，共52页。思考：思考：1 何时分离时？何时分离时？2分离时物体是否处于平衡态。弹簧是否处于原长？分离时物体是否处于平衡态。弹簧是否处于原长？3.如何

22、求从开始到分离的位移？如何求从开始到分离的位移？4.盘对物体的支持力如何变化。盘对物体的支持力如何变化。F图图9第二十六页，共52页。解：解：A原来静止时：原来静止时：kx1=mg 当物体当物体A开始做匀加速运动时，拉力开始做匀加速运动时，拉力F最小，最小，设为设为F1，对物体，对物体A有：有：F1kx1mg=ma 当物体当物体B刚要离开地面时，拉力刚要离开地面时，拉力F最大，最大，设为设为F2，对物体，对物体A有：有：F2kx2mg=ma 对物体对物体B有：有：kx2=mg 对物体对物体A有：有：x1x2 221at由、两式解得由、两式解得 a=3.75m/s2 ，分别由、得分别由、得F14

23、5N，F2285NABF图图 9第二十七页，共52页。练习练习5： A、B两木块叠放在竖直的轻弹簧上，如图两木块叠放在竖直的轻弹簧上，如图3（a）所示。已知木块）所示。已知木块A、B的质量，轻弹簧的劲的质量，轻弹簧的劲度系数度系数k=100N/m，若在木块，若在木块A上作用一个竖直向上作用一个竖直向上的力上的力F，使，使A由静止开始以的加速度竖直向上作由静止开始以的加速度竖直向上作匀加速运动（匀加速运动（g取取10m/s2）使木块使木块A竖直向上做匀加速运动的过程中，力竖直向上做匀加速运动的过程中，力F的最的最小值和最大值各为多少？小值和最大值各为多少？FAB第二十八页，共52页。例例6 6：

24、如图所示，轻弹簧上端固：如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接着重物（质量为定，下端连接着重物（质量为m m）. .先由托板先由托板M M托住托住m m，使弹簧，使弹簧比自然长度缩短比自然长度缩短L L，然后由静，然后由静止开始以加速度止开始以加速度a a匀加速向下运匀加速向下运动。已知动。已知aga a1g)mM(F 2（2）在此过程中，木块与木板各做匀加速运动）在此过程中，木块与木板各做匀加速运动木块的位移木块的位移21121taS 木板的位移木板的位移22221taS S2S1 = L整理得整理得)mM(gML)mM(gFMLt 3222第三十八页，共52页。016.山东省寿光现代一中山东省

25、寿光现代一中0708学年度第二次考试学年度第二次考试15 15质量质量M=3kg的长木板放在水平光滑的平面上，在水的长木板放在水平光滑的平面上，在水平恒力平恒力F=11N作用下由静止开始向右运动，如图所示，当作用下由静止开始向右运动，如图所示，当速度达到速度达到1m/s时，将质量时，将质量m=4kg的物体轻轻放到木板的右的物体轻轻放到木板的右端，已知物块与木板间摩擦因数端，已知物块与木板间摩擦因数=0.2，（，（g=10m/s2）求：）求： （1）物体经多长时间才与木板保持相对静止；）物体经多长时间才与木板保持相对静止； （2）物块与木板相对静止后）物块与木板相对静止后, 物块受到的摩擦力多大

26、物块受到的摩擦力多大? F第三十九页，共52页。解：解：（1）放上物体后，物体加速度）放上物体后，物体加速度21m/s2 gmmga 板的加速度板的加速度22m/s1 MmgFa 当两物体达速度相等后保持相对静止，故当两物体达速度相等后保持相对静止，故tavta21 t=1秒秒（2）相对静止后，对整体）相对静止后，对整体a )mM(F 对物体对物体maf N2867114.FmMmf 第四十页，共52页。016.山东省寿光现代一中山东省寿光现代一中0708学年度第二次考学年度第二次考试试16 16海豚靠尾部来推动下部的水，能够从水中高高跃海豚靠尾部来推动下部的水，能够从水中高高跃起，被誉为起，

27、被誉为“会飞的鱼会飞的鱼” ，一身长，一身长L1=1.8m，质量，质量m=65kg的海豚，跃起后从的海豚，跃起后从h1=1.0m的高度处自由落下，的高度处自由落下，尾部接触水面后经过时间尾部接触水面后经过时间t=0.25s身体速度降为零。紧接身体速度降为零。紧接着尾部用力着尾部用力F拍打水面，又向上跃起拍打水面，又向上跃起h2=0.5m，假定上升，假定上升、下降两个阶段尾部与水面的作用力分别都是恒力，求、下降两个阶段尾部与水面的作用力分别都是恒力，求上升阶段尾部与水面的作用力上升阶段尾部与水面的作用力F。（取。（取g=10m/s2） 第四十一页，共52页。解：解：自由下落自由下落1.0m的末速

28、度的末速度m/s52m/s01102211 .ghv在减速时间为在减速时间为0.25s的匀减速阶段的匀减速阶段,重心下落的高度重心下落的高度m560m25025221.tvh 竖直向上跃起的速度竖直向上跃起的速度m/s10222 ghv离开水面之前上升的加速度离开水面之前上升的加速度222m/s9382.hva 设尾部与水面的作用力设尾部与水面的作用力F，由牛顿第二定律有：，由牛顿第二定律有：Fmg=ma)ag(mF =65( (10+8.93) )N=1230N解得解得第四十二页，共52页。017.山东邹平一中山东邹平一中07-08高三第一次月考高三第一次月考17 17如图所示，原来静止在水

29、平面上的长纸带上放有如图所示，原来静止在水平面上的长纸带上放有一个质量为一个质量为m的小金属块的小金属块A。金属块离纸带左端距离为。金属块离纸带左端距离为d，与纸带间动摩擦因数为，与纸带间动摩擦因数为 。现用力向右将纸带从金属块下面。现用力向右将纸带从金属块下面抽出，设纸带的加速过程极短，可认为一开始抽动纸带就做匀抽出，设纸带的加速过程极短，可认为一开始抽动纸带就做匀速运动。求：速运动。求： （1）金属块刚开始运动时所受的摩擦力大小和方向。）金属块刚开始运动时所受的摩擦力大小和方向。 （2）为了能把纸带从金属块下面抽出，纸带的速度）为了能把纸带从金属块下面抽出，纸带的速度v应满足什么条件？应满

30、足什么条件？ dvA第四十三页，共52页。解：解：（1）摩擦力大小为：）摩擦力大小为：mgFf 方向与抽纸带的方向相同，向右。方向与抽纸带的方向相同，向右。（2）根据牛顿第二定律得到金属块的加速度：）根据牛顿第二定律得到金属块的加速度：ga 金金金属块的对地位移：金属块的对地位移：221tas金金金金 纸带对地的位移：纸带对地的位移：vts 纸纸为了抽出，位移应满足以下方程为了抽出，位移应满足以下方程dss 金金纸纸联立以上各式，解得：联立以上各式，解得：gdv 2 即纸带抽出的速度即纸带抽出的速度gdv 2 第四十四页，共52页。021.华南师大附中华南师大附中207208学年度综合测试学年

31、度综合测试(二二) 10 10在光滑的水平面上，放着两块长度相同，质量在光滑的水平面上，放着两块长度相同，质量分别为分别为M1和和M2的木板，在两木板的左端各放一个大小、的木板，在两木板的左端各放一个大小、形状、质量完全相同的物块，如图所示。开始时，各物均形状、质量完全相同的物块，如图所示。开始时，各物均静止。今在两物块上各作用一水平恒力静止。今在两物块上各作用一水平恒力F1、F2，当物块与，当物块与木板分离时，两木板的速度分别为木板分离时，两木板的速度分别为v1和和v2。物块与两木板。物块与两木板之间的动摩擦因数相同。下列说法正确的是之间的动摩擦因数相同。下列说法正确的是（ ）A若若F1=

32、F2，M1M2, 则则v1v2B若若F1= F2，M1 v2C若若F1 F2，M1= M2, 则则v1 v2D若若F1 v2 F1M1F2M2B D解见下页解见下页第四十五页，共52页。解：解：对对m，由牛顿第二定律，由牛顿第二定律FMvMSdFMmgmFmmgFam 221tadSm 对对M，由牛顿第二定律，由牛顿第二定律MmgaM 221taSM 221t )aa(dMm MmggmFdMmgtavMM 2若若F1= F2 ， M小则小则vM大，即若大，即若M1 v2 ， B对对若若M1= M2 ， F小则小则vM大，即若大，即若F1 v2 ， D对对第四十六页，共52页。 如图3-6-6所示，已知物块A、B的质量分别为m1、m2，A、B间的动摩擦因数为1，A与地面之间的动摩