连续的连续性

1、001( ),f xxxxx设设函函数数在在 的的某某领领域域内内有有定定义义 当当 从从变变到到我我们们称称xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 100,xxxx 称称为为自自变变量量在在点点的的改改变变量量10()(),( )yf xf xf xx 称称为为函函数数相相应应于于的的改改变变量量1000()()()()yf xf xf xxf x 30( ) 2 10 .yf xx 设设函函数数在在点点的的某某个个领领域域内内定定义义有有定定义义, ,如如果果0000lim(li()0m)xxf xxf xy 0( ) yf xx 则则称称函函数

2、数在在点点连连续续00,0,. xxxxxx 令令则则当当时时而而此此时时000()( )()()xf xfyxxff x 0m0lixy 从从而而, ,0, y 于于是是 当当时时 有有0( ) 2 11 .yf xx 设设函函数数在在点点的的某某个个领领域域内内定定义义有有定定义义, ,如如果果00lim( )()xxxffx 0( ) yf xx 则则称称函函数数在在点点连连续续0( )()f xf x00lim( )()xxxffx 40 x函函数数在在点点连连续续的的定定义义中中, ,以以下下三三点点必必须须清清楚楚0 ( ) 1 yf xx 函函数数在在点点有有定定义义0li m)

3、2(xxf x存存在在00lim( )()3 xxf xf x 5 例例1 1 证明函数证明函数y x2在给定点在给定点x0处连续。处连续。 证证 在在x0处，函数的改变量为处，函数的改变量为所以所以 y x2 在给定点在给定点x0处连续。处连续。，因因为为0)(2limlim2000 xxxyxx2020)(xxxy ,)(220 xxx .0, 0, 0, 0,1sin)(处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf例例2 2证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(处处连连续续在在所所以以函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 000 lim( )(), (

4、 ) xxf xf xf xx 若若则则称称在在点点处处左左连连续续0( )f xx函函数数在在处处连连续续000 lim( )(), ( ) xxf xf xf xx 若若则则称称在在点点处处右右连连续续0( )f xx函函数数在在处处既既左左连连续续又又右右连连续续00lim( )()xxf xfx 000lim( )lim( )()xxxxf xf xf x例例3 3.00,10 ,0 0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxxf解解)1(lim)(lim00 xxfxx1 ),0(f )1(lim)(lim00 xxfxx1 ),0(f 即不右连续也不左连续即不

5、右连续也不左连续 ,.0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxfx y-1 1 O9例例5 5.),(sin内连续内连续在区间在区间函数函数证明证明 xy证证),( x任取任取xxxysin)sin( , )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则, 对对任任意意的的,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都都是是连连续续的的对对任任意意函函数数即即 xxy110( ) . 2 2 1f xx定定义义如如果果函函数数在在点点处处不不满满足足连连续续条条件件, ,则则称称函函数数000 ( )( ). f xxf xx

6、x处处不不函函数数在在点点处处间间断断在在点点连连续续, ,或或点点者者称称称称( )f x为为函函数数的的间间断断点点回回忆忆回回忆忆: :0 ( ) 1 yf xx 函函数数在在点点有有定定义义0li m)2(xxf x存存在在00lim( )()3 xxf xf x 0 ( ) xf x函函数数在在点点连连续续, ,必必须须满满足足以以下下三三点点120( ) . 2 2 1f xx定定义义如如果果函函数数在在点点处处不不满满足足连连续续条条件件, ,则则称称函函数数000 ( )( ). f xxf xxx处处不不函函数数在在点点处处间间断断在在点点连连续续, ,或或点点者者称称称称(

7、 )f x为为函函数数的的间间断断点点由由此此可可知知: :0 ( ) 1 yf xx 函函数数在在点点处处无无定定义义0li m( )2xxf x不不存存在在00lim( )()3 xxf xf x 00,( ) ( )f xxxxf处处有有下下列列三三种种情情如如果果在在点点况况之之一一 则则点点为为的的间间断断点点131. ,左左右右极极限限都都存存在在的的间间第第一一断断点点 称称类类间间断断点点2. ,左左右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存在在的的间间断断点点 称称第第我我们们还还可可对对第第一一类类以以进进一一间间断断点点, ,步步分分成成: :(1) 可可去去间间断断点点0

8、00lim( )(),( )xxf xAf xf xx或或在在点点处处无无定定义义, ,0( )xf x则则称称点点为为函函数数的的可可去去间间断断点点二二类类间间断断点点例例 如如14例例1 1 , 1,11, 10, 1,2)(xxxxxxf.1处处的的连连续续性性在在 x讨论函数讨论函数解解, 1)1( f(10)2,f(10)2,f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.xy 1xy2 1oxy12150( ) f

9、 xx如如果果在在点点处处左左右右极极限限都都存存在在, ,但但例例2 2.0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解, 0)0( f, 1)0( f),0()0( ff. 0 为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 xoxy00(0)(0),f xf x 0( )xf x则则称称点点为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点1600,(0)(0)f xf x 在在第第二二类类间间断断点点中中 如如果果和和中中至至少少例例3 3.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy(00)0,f(00),f 0.x 为为函函

10、数数的的第第二二类类间间断断点点2. ,左左右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存第第在在的的二二间间断断点点 称称类类间间断断点点, 有有一一个个是是则则称称为为无无穷穷间间断断点点17例例4 4.01sin)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x这种情况称为这种情况称为振荡型间断点振荡型间断点。18故故1 x为为第第一一类类( (可可去去型型) )间间断断点点； 求求321)(22 xxxxf的的间间断断点点. . 而而 321lim223xxxx,

11、, 故故3 x为为第第二二类类( (无无穷穷型型) )间间断断点点. . 解解，)1)(3()1)(1(32122 xxxxxxx321lim221 xxxx，2131lim1 xxx例例5 519讨讨论论函函数数)1/(e11)(xxxf 的的间间断断点点及及其其类类型型. . 间间断断点点为为1 x及及0 x， 所所以以1 x为为( (第第一一类类) )跳跳跃跃间间断断点点； 所所以以0 x为为( (第第二二类类) )无无穷穷型型间间断断点点。 解解，0)(lim1 xfx，1)(lim1 xfx， )(lim0 xfx例例6 620小结小结1.函数在一点连续必须满足三个条件函数在一点连续

12、必须满足三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)21可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x2.7定定理理(1 ) 连连续续函函数数的的和和差差积积商商 分分母母不不为为零零 仍仍是是连连续续函函数数 (2) ,连连续续函函数数若若存存在在反反函函数数 则则反反函函数数仍仍为为连连续续函函数数)(3) (连连续续函

13、函数数的的复复合合函函数数 如如有有意意义义 仍仍为为连连续续函函数数2.7:定定理理由由可可以以得得到到在在其其定定基基本本初初等等函函数数义义域域内内连连续续一一切切在在其其定定义义初初等等函函数数域域内内连连续续 利用函数的连续性可以计算一些极限利用函数的连续性可以计算一些极限. . 初等函数求极限的方法：初等函数求极限的方法：代入法代入法.例例6 6.1esinlim1 xx求求1esin1 原原式式.1esin 例例7 7.11lim20 xxx 求求解解解解11lim20 xxx原原式式20 .0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx例例8 8.)1ln(lim

14、0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解) 0()1ln( xxx)()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 处处连连续续在在eln uuy极限运算与函数运算可以交换极限运算与函数运算可以交换例例9 9.1elim0 xxx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1eyx 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 类似可得类似可得.ln1lim0axaxx ) 0(1e xxx) 0(ln1 xaxax例例1010.(1)1(lim0）为为非非零零实实常常数数求求 xx

15、x xxxxx)1ln()1ln(1)1(lim0 原原式式解解,1)1(yx 令令, )1ln()1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当)1ln(lim0yyy .111xnxn 前面已证前面已证. xx 1)1 ( xxxxxx)1ln(lim)1ln(1)1(lim00 ) 0( x)0(x,0时时当当x,sinxx,)1ln(xx ,tanxx,1exx ，221cos1xx ,arcsinxx,arctanxx常用等价无穷小常用等价无穷小: :,ln1axax ,ln)1 (logaxxa xx 1)1 ( 等价代换原理：等价代换原理：.limlim,lim, 则则存在存在且且设设

16、证证 lim)lim( limlimlim.lim 只有在乘、除的极限运算中才能替换；只有在乘、除的极限运算中才能替换；注意注意在加、减的极限运算中不能替换！在加、减的极限运算中不能替换！例例1111.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当220(2 )lim/ 2xxx 原原式式.8 例例1212.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当30)2(limxxxx 原原式式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21lim

17、xxx 原式原式.161 错错 例例1313.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解xxxxxx3sincos1lim3sin5tanlim00 原原式式.35 xxxxxx321lim35lim200 例例1414解解.1111lim30 xxx求求231lim0 xxx 原式原式.32 .)cos1cos(1lim40 xxx 求求例例1515解解420)cos1(21limxxx 原式原式4220)21(21limxxx .81 .111xnxn ，221cos1xx 定理定理1(1(有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理) ) 在闭区间上连在闭区间上连续的函数在

18、该区间上有界且能取得最大值和最小值续的函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值. .abxyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若1 2 1、有界性与最大值最小值定理、有界性与最大值最小值定理记作记作,)(max)(,1xffbax .)(min)(,2xffbax xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.2、介值定理与零点定理、介值定理与零点定理定理定理 2(2(介值定理介值

19、定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那末，对于那末，对于 A 与与 B 之间的任意一个数之间的任意一个数 C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得Cf )( )(ba . . 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值 . .几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水

20、平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 定理定理 3 3( (零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点 )(ba ，使，使0)( f. . .)(, 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 几何解释几何解释: :.,)(轴轴至至少少有有一一个个交交点点线线弧弧与与则则曲曲轴轴的的不不同同侧侧端端点点位位于于的的两两个个连连续续曲曲线线弧弧xxxfy xyo)(xfy 定义定义例例1616证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1