极限为零的变量称为无穷小

1、1.定义定义极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.一、无穷小一、无穷小.0)(lim, 0)(lim, 0)(lim0)(lim, 0)(lim, 0)(lim, 0lim000 xfxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxnn第八节第八节 无穷大与无穷小无穷大与无穷小例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时时的的无无穷穷小小是是当当数数列列 nnn注注: :0无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;0零是可以作为

2、无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.1. 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.无穷小量性质无穷小量性质2. 无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同

3、一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无有限个无穷小的代数和仍是无穷小穷小.证证,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x使使得得, 0, 0, 021 NN;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时时恒恒有有当当Nx,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nx 22 , )(0 x注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn.0, 0, 0202Mxx 恒恒有有时时使使得得当当,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM , .,0为为无无穷穷小

4、小时时当当 uxx,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx 定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数100)( xxxu.)(, 0MxuM 使得使得则则推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,1arctan,1sin,0,2xxxxx时时当当例例如如都是无穷小都是无穷小1sinlim xxx绝对值无限增大的变量称为绝

5、对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.二、无穷大二、无穷大 .)(lim,)(lim,)(lim)(lim,)(lim,)(lim,lim000 xfxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxnn定定义义 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数M( (不不论论它它多多么么大大) ), ,总总存存在在正正数数 ( (或或正正数数X) ), ,使使得得对对于于适适合合不不等等式式 00 xx( (或或 xX) )的的一一切切x, ,所所对对应应的的函函数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 Mxf )(, ,则则称称函函数数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时时为为无无穷穷大大, ,记

6、记作作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注注: :0无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;0无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( nnxn取取,22)( nxyn.)(,Mxynn 充分大时充分大时当当), 3

7、, 2 , 1 , 0(21)2( nnxn取取,可可以以任任意意小小充充分分大大时时当当nxn nnxyn2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，.11lim1 xx证证明明例例证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy定理定理4 4 在同一自变量变化过程中在同一自变量变化过程中, ,无穷大的倒数无穷大的倒数为无穷小为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒

8、不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1 xf即即.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒恒有有时时使使得得当当.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由由于于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.是是时时，变变量量练练习习：当当xxx1sin10

9、2 A）无穷小；）无穷小；B）无穷大；）无穷大；C）有界但不是无穷小；）有界但不是无穷小；D）无界但不是无穷大。）无界但不是无穷大。 nxxn210 的的子子序序列列解解：取取02sin)2()(2 nnxfn则则2210 nyxn的子序列的子序列再取再取 22)22)22sin()22()( nnnyfn（则则 选选D.思考：思考：）下下列列正正确确的的是是（若若, 0lim nnnyx发发散散；发发散散则则）nnyxA必必为为无无穷穷小小；有有界界）nnyxB必必有有界界；无无界界）nnyxC为为无无穷穷小小。为为无无穷穷小小则则）nnyxD1解解: D正确正确.)1(1,)1(1!1ny

10、nxCnnnn 如如取取）不不对对；如如取取）不不对对nyxBnnnn)1(1 ,)1(1!1 例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32趋近零的速度要快得多趋近零的速度要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在观察各极限观察各极限四、无穷小的比较四、无穷小的比较);(, 0lim)1( o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就

11、就说说如如果果定义定义: :. 0, 且且穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(无无穷穷小小阶阶的的的的是是就就说说如如果果kkCCk 记作记作 =O( )或或 =O( )例例1 1解解.tan4 ,0:3的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 例例

12、2 2.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的的三三阶阶无无穷穷小小为为xxx 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx .21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx .3sin1cos5tanlim:0 xx

13、xx 计计算算例例解解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原原式式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 303030)(lim)(limsinlimxxoxxoxxxxxxxx 思思考考定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存存在在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 五、等价无穷小代换五、等价无穷小代换例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxx

14、x 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当30)2(limxxxx 原原式式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 .)31ln(1limsin0 xexx 求求313sinlim0 xxx原式原式例例5 5解解,0时时当当 x,3)31ln(xx

15、,sin1sinxex xxxxxarctan1sin1lim20 例例6 6 xxxxxx1limsinlim030例例7 已知当已知当x0时，时，1)1(312 ax1cos x与与是等价无穷小，求是等价无穷小，求a ., 12131lim1cos1)1(lim2203120 xaxxaxxx.23 a则则1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件

16、.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.小结小结思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时 x,1)(xxf xxxgsin)( 都是无穷小量都是无穷小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim 不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时 x)(xf和和)(xg不不能能比比较较. 比较下列各对无穷小的阶比较下列各对无穷小的阶1）x1时时 与与xx 11x 12）x1时时, 与与2(1-x)4）x1时时, 与与31x 3）x0时时, 与与 xx 11xxtansin3tanxxx )1(xx 解解 1）111lim111lim11 xxxxxxxxxx 11161)1)(1(21lim323331 xxxxx2）31x 与与2(1-x)是同阶无穷小。是同阶无穷小。3） xxxxxxxxxxx200sin)11(cos2limtans