复变函数与积分变换：3-1 复变函数积分的概念

1、第一节第一节 复变函数积分的概念复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质2一、积分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线: 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, , 如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向( (或正向或正向), ), 那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线, , 称为称为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, . C记为记为3简

2、单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线简单闭曲线C的正向的正向是指当曲线上的点是指当曲线上的点P顺此方顺此方向前进时向前进时, , 邻近邻近P点的曲线点的曲线的内部始终位于的内部始终位于P点的左方点的左方. xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.42.积分的定义积分的定义:, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 设分点为设分点为个弧段个弧段任意分成任意分成把曲线把曲线的一条光滑的有向曲线的一条光滑的有向曲线终点为终点为内起点为内起点为为区域为区域内内定义在区域定义在区域设函数设函数oxyAB1 nzkz1 kz2

3、z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一点上任意取一点在每个弧段在每个弧段 5,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 记记 , , 11的长度的长度这里这里kkkkkkzzszzz ( , 0 时时无限增加且无限增加且当当 n , )( , , 记为记为的积分的积分沿曲线沿曲线函数函数那么称这极限值为那么称这极限值为一极限一极限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不论对如果不论对CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 6关于定义的

4、说明关于定义的说明: .d)( , )1( CzzfC记为记为那么沿此闭曲线的积分那么沿此闭曲线的积分是闭曲线是闭曲线如果如果 . ),( )( , )2(定积分的定义定积分的定义实变函数实变函数这个积分定义就是一元这个积分定义就是一元而而轴上的区间轴上的区间是是如果如果xuzfbxaxC 7二、积分存在的条件及其计算法二、积分存在的条件及其计算法1. 存在的条件存在的条件.d)( , )(一定存在一定存在积分积分是光滑曲线时是光滑曲线时是连续函数而是连续函数而如果如果 CzzfCzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu8

5、2. 积分的计算法积分的计算法. d)( 积分来计算积分来计算函数的线函数的线可以通过两个二元实变可以通过两个二元实变 Czzf ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)( tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf9 ttztzfzzfCd)()(d)(则则光滑曲线光滑曲线相互连接所组成的按段相互连接所组成的按段等光滑曲线依次等光滑曲线依次是由是由如果如果 , , 21nCCCC Czzfd)(.d)(d)(d)(21 nCCCzzfzzfzzf在今

6、后讨论的积分中在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的, 曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.10例例1 解解 . 43 : ,d 的直线段的直线段从原点到点从原点到点计算计算iCzzC 直线方程为直线方程为, 10,4,3 ttytx ,)43( , tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)43(2i )dd)(d CCyixiyxzz又因为又因为11 ddddd CCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关, 43 曲线曲线的的是怎样从原点连接到点是怎样从原点连

7、接到点所以不论所以不论iC .2)43(d2izzC 12例例2 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线的直线段的直线段从原点到点从原点到点为为其中其中计算计算ixixyiCzzC (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x13(2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy ),10()(2

8、titttz,d)21(d,Re ttiztz 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 14xyoi 11iy=x2xy (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()( tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 15例例3 解解 . 2 : ,d zCzzC圆周圆周为为其中其中计算计算积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为)

9、,20(2 iez d2diiez Czzd 20d22 iie)2( z因为因为 20d)sin(cos4 ii. 0 16例例4 解解. , , ,d)(1 010为整数为整数径的正向圆周径的正向圆周为半为半为中心为中心为以为以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri17zxyor0z , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzz

10、nzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关. .18三、积分的性质三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )4(那末那末上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线估值不等式估值不等式19例例5解解. d1 , 43 绝对值的一个上界绝对值的一个上界试求积分试求积分的直线段的直线段为从原点到点为从原点