排列组合中的分组分配问题

1、排列组合中的分组分配问题排列组合中的分组分配问题ababcdcdacacbdbdadadbcbccdcdbdbdbcbcadadacacabab情景引入 六本不同不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本（均分三堆） (2)一组一本，一组二本，一组三本(3)一组四本，另外两组各一本 ()平均分给甲乙丙三人1 1 把把abcdabcd分成平均两组分成平均两组ababcdcdacacbdbdadadbcbc有有_多少种分法？多少种分法？C4 42 2C2 22 2A2 22 23cdcdbdbdbcbcadadacacabab这两个在分组时只能算一个这两个在分组时只

2、能算一个记住记住： 平均分成的组，不管平均分成的组，不管它们的顺序如何，都它们的顺序如何，都是一种情况，所以分是一种情况，所以分组后要除以组后要除以Amm，其，其中中m表示组数表示组数。难点分解难点分解基本的分组问题基本的分组问题例例1 六本不同不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本（均分三堆）(2)一组一本，一组二本，一组三本(3)一组四本，另外两组各一本()平均分给甲乙丙三人分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是C6242C22=90(种)这90种分组实际上重复了6次。考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，

3、6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A33，所以分法是 =15(种)。(2)先分组，方法是C6152C33=60，那么还要不要除以？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有 60(种) 分法。(3)分组方法是=30(种)其中有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=15(种)。例例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多

4、少种不同的分配方法？(1) 甲两本、乙两本、丙两本.(2) 甲一本、乙两本、丙三本.(3) 甲四本、乙一本、丙一本.定向分配问题定向分配问题基本的分配的问题基本的分配的问题 分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：（）=90(种)（）=60(种)（）=30(种)。例例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配法？(1) 每人两本(2) 一人一本、一人两本、一人三本(3) 一人四本、一人一本、一人一本 不定向分配问题不定向分配问题基本的分配的问题基本的分配的问题(结论）解不定向分配题的一般原则：先分组后排列结论）解

5、不定向分配题的一般原则：先分组后排列。例例4 六本不同不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是 90(种)。再考虑排列。所以一共有540种不同的分法。一：一：均分无分配对象均分无分配对象的问题的问题例例1：12本不同的书本不同的书（1）按）按4 4 4平均分成三堆有多少种不同的分法？平均分成三堆有多少种不同的分法？（2）按）按2 2 2 6分成四堆有

6、多少种不同的分法？分成四堆有多少种不同的分法？C10102 2C8 82 2A3 33 3C12122 2C6 66 6(2)C8 84 4C4 44 4A3 33 3C12124 412!4!8!8!4!4!13!(1)5775基础探究基础探究C6 62 2C4 42 2A3 33 3C12126 6C2 22 2或或二：二：均分有分配对象均分有分配对象的问题的问题例例2：6本不同的书按本不同的书按2 2 2平均分给甲、乙、平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？丙三个人，有多少种不同的分法？方法：方法：先分再排法先分再排法。分成的组数看成元。分成的组数看成元素的个数素的个数（1）均分

7、的三组看成是三个元素在三）均分的三组看成是三个元素在三个位置上作排列个位置上作排列(1)C4 42 2C2 22 2A3 33 3C6 62 2A3 33 3C4 42 2C2 22 2C6 62 2三：三：部分均分有分配对象部分均分有分配对象的问题的问题例例3 12支笔按支笔按3：3：2：2：2分给分给A、B、C、D、E五个人有多少种不同的分法？五个人有多少种不同的分法？方法：先分再排法方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数。分成的组数看成元素的个数（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作排列排列C9 93 3C6 62 2A3 33 3C12

8、123 3C4 42 2(2)A2 22 2C2 22 2A5 55 5三：三：部分均分无分配对象部分均分无分配对象的问题的问题例例4 六本不同的书分成六本不同的书分成3组一组组一组4本其余各本其余各1本有多少种分法本有多少种分法C64C21C11 A22四.非均分组无分配对象问题例例5 65 6本不同的书按本不同的书按123123分成三堆有多少种分成三堆有多少种 不同的分法？不同的分法？注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用 乘法原理作积乘法原理作积C61C52C33例例6 六本不同的书按六本不同的书按1 2 3分给甲、乙、丙三个人分给甲、乙

9、、丙三个人 有多少种不同的分法？有多少种不同的分法？五.非均分组分配对象确定问题C61C52C33五非均分组分配对象不固定问题例例7 六本不同的书分给六本不同的书分给甲、乙、丙甲、乙、丙3人，人，1人人1本，本，1人人2本本,1人人3本有多少种分法本有多少种分法?C61C52C33A33练习练习1 12本不同的书平均分成四组有多少本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？种不同分法？44333639312ACCCC练习练习22 2：1010本不同的书本不同的书（1 1）按）按22242224分成分成四堆有多少种不同的四堆有多少种不同的分法？分法？（2 2）按）按22242224分给分给甲、乙、

10、丙、丁四个甲、乙、丙、丁四个人有多少种不同的分人有多少种不同的分法？法？44262821033442628210CCCC2ACCCC(1)(3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？件，各有多少种不同的分法？（1）每人各得两本；）每人各得两本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人一本，一人两本，一人三本；）一人一本，一人两本，一人三本；（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；）甲得四本，乙得一本，丙得一本；（5）一人四本，另两人各一本）一人四本，另两人各一本(3)(4)(5)C5

11、52 2C3 33 3C6 61 1A3 33 3C5 52 2C3 33 3C6 61 1C2 21 1C1 11 1C6 64 4A3 31 1C2 21 1C1 11 1C6 64 4(2)C4 42 2C2 22 2C6 62 2(1)二二. .元素相同元素相同问题隔板策略问题隔板策略例例3.3.有有1010个运动员名额，再分给个运动员名额，再分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为1010个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插

12、个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC例例4 :有有12名划船运动员，其中名划船运动员，其中3人只会划左舷，人只会划左舷，4人只会划右人只会划右舷，其余舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员名运动员中选出中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？选法？分析：分析：设集合设集合A=只会划左舷的只会

13、划左舷的3个人个人，B=只会划右舷的只会划右舷的4个个人人，C=既会划左舷又会划右舷的既会划左舷又会划右舷的5个人个人先分类，先分类，以集合以集合A为基准为基准，划左舷的，划左舷的3个人中，有以下几类情个人中，有以下几类情况：况：A中有中有3人；人；A中有中有2人；人；C中有中有1人；人；A中有中有1人，人，C中有中有2人；人；C中有中有3人。人。 第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B,C中选中选3人，人， 有有 种种 ,以下类同以下类同 39C3 32 1 31 2 30 3 33 93 5 83 5 73 5 6CCC CCCC CC CC21

14、74三三.多面手问题多面手问题【综合演练综合演练】 1对某种产品的对某种产品的6只不同正品和只不同正品和4只不同次品一一测试，若所只不同次品一一测试，若所有次品恰好在第六次测试时被全部发现，这样的测试方法有多有次品恰好在第六次测试时被全部发现，这样的测试方法有多少种？少种？ 2把把10名同学平均分成两个小组，每组名同学平均分成两个小组，每组5人，每组里选出正、人，每组里选出正、副组长各一人，再分配到两个不同的地方去做社会调查，一共副组长各一人，再分配到两个不同的地方去做社会调查，一共有多少种不同的方法？有多少种不同的方法？ 3车队有车车队有车7辆，现要调出辆，现要调出4辆车按顺序去执行任务，要

15、求辆车按顺序去执行任务，要求A、B两车必须出车参加，并且两车必须出车参加，并且A车要在车要在B车之前出发，那么不同的车之前出发，那么不同的调度方法有多少种？调度方法有多少种？325465C C A72005522210555222C CA A A100800A2454C A12024: 从从7名男生名男生5名女生中，选出名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？法种数有多少种？（1）A 、B必须当选；必须当选；（2）A 、B 都不当选；都不当选；（3）A、B不全当选；不全当选；（4）至少有）至少有2名女生当选；名女生当选；（5）选出）选出5名同学，让他

16、们分别担任体育委员、文娱委员等名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任310C120510C25214521010C CC672551412757CCC C5961137510C C A25200或或?按下列条件，从按下列条件，从12人中选出人中选出5人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人当选；人当选；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人当选；人当选；323936C C 0539126C C 1419126C C 1439378C C 23140