利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

1、,0 r,20 . z一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,

2、cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv 例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交线为知交线为 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如图图，投投影影到到把把闭闭区区域域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例计计算算 dxdydzyxI)(22， 其其中中 是是曲曲线线 zy22 ，0 x 绕绕oz

3、轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的曲曲面面与与两两平平面面, 2 z8 z所所围围的的立立体体.解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原式原式 I 345 625 336. 82402022rdz

4、rrdrd 22202022rdzrrdrd其中其中 为由为由例例3. 计算三重积分计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所围所围解解: : 在柱面坐标系下在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面柱面cos2成半圆柱体成半圆柱体. .o oxyz例例4. 计算三重积分计算三重积分解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx42

5、2)0( hhz所围成所围成 .与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面42rzvdddd原式原式 =二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分sincos ,sinsin ,cos .xyz 球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为Pxyzo),(zyxM zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面 dxdydzzyxf),(2(s

6、incos ,sinsin ,cos)sin.fd d d 球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为2sin,dvdrd d d xyzod sin d d d dsin如图，如图，例例 3 3 计计算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是锥锥面面222zyx ， 与与平平面面az )0( a所所围围的的立立体体.解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐标标 ,:22

7、2ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr例例 4 4 求曲面求曲面22222azyx 与与22yxz 所围所围 成的立体体积成的立体体积.解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采用球面坐标，采用球面坐标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 例例5. 5. 计算三重积分计算三重积分,)(

8、222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: : 在球面坐标系下在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体所围立体. .40Rr 020其中其中 与球面与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 例例6.6.求曲面求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积所围立体体积. .解解: : 由曲面方程可知由曲面方程可知, , 立体位于立体位于xoyxoy面上部面上部, ,cos0:3ar 利用对称性利用对称性, , 所求立体体积为所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar

9、,202020dsin20d4yozyoz面对称面对称, , 并与并与xoyxoy面相切面相切, , 故在球坐标系下所围立体为故在球坐标系下所围立体为且关于且关于 xozxoz dddsind2rrv yzxar（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结三、小结思考题思考题则则上的连续函数上的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfx

10、yR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为偶函数时为偶函数时关于关于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2一一、 填填空空题题: :1 1、 若若 由由曲曲面面和和)(3222yxz 16222 zyx所所围围, ,则则三三重重积积分分 dvzyxf),(表表示示成成直直角角坐坐标标下下的的三三次次积积分分是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ;在在柱柱面面坐坐标标下下的的三三次次积积分分是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

11、 _ _ _ _ _ _ _; ;在在球球面面坐坐标标下下的的三三次次积积分分是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 若若 由由曲曲面面及及222yxz 22yxz 所所围围, ,将将 zdv表表为为柱柱面面坐坐标标下下的的三三次次积积分分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _, ,其其值值为为_ _ _ _ _ _ _ _. .练练 习习 题题 3 3、若空间区域、若空间区域 为二曲面为二曲面azyx 22及及 222yxaz 所围所围, ,则其体积可表为三重积分则其体积可表为三重积分_; ;或二重积分或二重积分_; ;或柱面坐标下的三次

12、积分或柱面坐标下的三次积分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx , ,222zyx 所确定所确定, ,将将 zdv表为球面坐标下的三次积分为表为球面坐标下的三次积分为_；其值为；其值为_. .二二、计计算算下下列列三三重重积积分分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其其中中 是是由由曲曲面面 24z)(2522yx 及及平平面面5 z所所围围成成的的闭闭区区域域. . 2 2、 dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zAzyxa所确定所确定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222cz

13、byaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所围成的立所围成的立体的体积体的体积. .四、曲面四、曲面2224aazyx 将球体将球体azzyx4222 分分成两部分成两部分, ,试求两部分的体积之比试求两部分的体积之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所围围成成立立体体的的重重心心( (设设密密度度1 ) ). .六六、求求半半径径为为a, ,高高为为h的的均均匀匀圆圆柱柱体体对对于于过过中中心心而而垂垂 直直于于母母线线的的轴轴的的转转动动惯惯量量 ( (设设密密度度)1 . .一、一、1 1、 22222216)(344

14、22),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2；练习题答案练习题答案 2 2、 2221020rrzdzrdrd, ,127 ； 3 3、 dv, , Ddxdyayxyxa)2(2222, , raaradzrdrd20202； 4 4、4cos203402067,cossinadrrdda . .二、二、1 1、 8； 2 2、)(15455aA ； 3 3、abc 54. .三、三、)455(32 . .四四、27376276373321 aaVV. .五五、)3