幂级数及其在近似计算中的应用

1、第六章 无穷级数1、数项级数、数项级数2、幂级数、幂级数3、傅立叶级数、傅立叶级数第一节 幂级数及其在近似计算中的应用 6.0 背景 6.1 数项级数 6.2.1 幂级数的有关概念 6.2.2 将函数展开成幂级数第一节 幂级数及其在近似计算中的应用 公元1655年英国J.沃利斯在无穷算术中引入了无穷级数级数是进行函数数值计算的主要工具，随着计算机的广泛使用，其在工程技术和近似计算中的作用日趋明显用一个幂级数来逼近一个函数，通常在某一点（函数在某一点展开）附近非常接近于函数的真值，而在其它的地方却不一定这样公元1807年，法国J.B.J.傅立叶在热传导研究中提出了任意函数的三角级数表示法，即由三

2、角函数组成的级数，这种级数被后人称做傅立叶级数它能在一个更大的区间上更接近于原来的函数傅立叶级数广泛地应用在电学和信号科学等领域 自然界的许多现象都具有周期性或重复性，所以用周期函数来逼近它们就极具意义例如，声波是由空气分子的周期性振动产生的、心脏的跳动、肺的运动和三角波等等都属于周期现象，它们的合成与分解都大量用到三角级数 背景背景 6.1 数项级数 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例第一节 幂级数及其在近似计算中的应用 一、引例 弹簧的运动总路程这样运动下去，小球运动的总路程为222222100100100100 ( )100 ( )3333122100 ( )100 ( )33nn

3、 一只球从100米的高空落下，每次弹回的高度为上次高度的 ，32212222100200200 ( )200 ( )100 ( )3333nn 其特点是：由无穷多个数相加。第一节 幂级数及其在近似计算中的应用 二、概念和公式的引出设数列 ， ， ，则1u2unu12nuuu称为常数项无穷级数常数项无穷级数，简称数项级数数项级数，记作 1nnu，即 1nnu12nuuu其中第 n项 nu称为级数的一般项一般项或通项通项数项级数数项级数第一节 幂级数及其在近似计算中的应用级数 1nnu的前 n项的和 nnuuus21称为级数 1nnu的部分和当 n依次取 12 3 ， ， ，时，得到一个新的数列1

4、1us 212uus3213uuus123nnsuuuu ns1nnu数列 称为级数 的部分和数列 部分和部分和部分和数列部分和数列第一节 幂级数及其在近似计算中的应用若级数 1nnu的部分和数列 ns有极限 s即 ssnnlim，则称级数 1nnu是收敛收敛的，并称 s为级数 1nnu的和和，记作suuuunnn211若 ns没有极限，称级数 1nnu是发散发散的即若 ssnnlim级数 1nnu收敛收敛，且 sunn1数项级数收敛数项级数收敛第一节 幂级数及其在近似计算中的应用两个重要结果两个重要结果1、等比级数1111ppnnp发散收敛p级数 )0(p2、11111qqqaaqnn)0(

5、a发散第一节 幂级数及其在近似计算中的应用 三、案例 案例1.分苹果 有A、B、C三人按以下方法分一个苹果：先将苹果分成四份每人各取一份；然后将剩下的一份又分成四份，每人又取一份依此类推，以至无穷验证：最终每人分得苹果的 第一节 幂级数及其在近似计算中的应用解根据题意，每人分得的苹果为n4141414132它为等比级数，因 141所以此级数收敛，其和为第一节 幂级数及其在近似计算中的应用 案例2.增加投资带来的消费总增长 假设政府在经济上投入1亿元人民币以刺激消费如果每个经营者和每个居民将收入的25存入银行，其余的75被消费掉，从最初的1亿元开始，这样一直下去问：由政府增加投资而引起的消费总增

6、长为多少？如果每人只存10，结果为多少？第一节 幂级数及其在近似计算中的应用根据题意，若每人收入的25存入银行解n)41()43()43(43132它为等比级数，因 143所以此级数收敛，其和为91010111limlimnnns则引起的消费总增长为6.2.1 幂级数的有关概念 一、引例 二、概念和公式的引出第一节 幂级数及其在近似计算中的应用 一、引例 幂函数具有一些很好的性质，在近似计算中，常用幂函数来拟合任一函数。如经过实验，获得以下数据x=0 02 03 052 064 07 10;y=03 045 047 050 038 033 024;如图1所示第一节 幂级数及其在近似计算中的应用

7、做四次多项式的曲线拟合得3019. 03072. 03565. 31052. 93792. 5234ttttp00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.20.250.30.350.40.450.5图1其近似程度见图200.10.20.30.40.50.60.70.80.910.150.20.250.30.350.40.450.50.55图第一节 幂级数及其在近似计算中的应用 二、概念和公式的引出函数项级数函数项级数 设 ), 2 , 1)(nxun是定义在区间上的函数，则级数)()()()(211xuxuxuxunnn称为区间 I上的函数项级数 幂级数幂级数 形如 0nnn

8、xannxaxaxaa2210(7-2)的函数项级数称为幂级数，其中常数 012,na a aa称为幂级数的系数 第一节 幂级数及其在近似计算中的应用形如 nnxxaxxaxxaa)()()(0202010（7-3） 的函数项级数称为 0()xx的幂级数令 0 xxt幂级数 00)(nnnxxa即为幂级数 0nnnta幂级数的收敛区间 幂级数 0nnnxa的收敛半径为 1limnnnaaR第一节 幂级数及其在近似计算中的应用当 R时 收敛区间为),(当0R时 0 x0a收敛区间为点，其和为当0R时 收敛区间为 ),(RR,RR),RR或 ,(RR之一 例如，幂级数 nxxx21的收敛半径为R=

9、1，收敛区间为 ) 1 , 1(6.2.2 将函数展开成幂级数 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例第一节 幂级数及其在近似计算中的应用 一、引例自然数 e是一个超越数，如何计算它的值呢？下面寻找的表达式。第一节 幂级数及其在近似计算中的应用 二、概念和公式的引出泰勒级数泰勒级数 若当 n时 0)(xrn则函数 )(xf在点 0 x的附近能展开成泰勒级数( )20000000()()()()()()().2!nnfxfxf xfxxxxxxxn在近似计算中，可用 10)1()()!1()()(nnnxxnfxr( 在 和 x0 x之间)的绝对值来估计n次多项式与函数的误差 第一节 幂级数及

10、其在近似计算中的应用由此结果，可以得到以下几重要幂级数展开式nxxxx211111x1、xsin)!12() 1(! 5! 31253nxxxxnnx2、xe!212nxxxnx3、xcos)!2() 1(! 4! 21242nxxxnnx4、1) 1(32)1ln(132nxxxxxnn11x5、第一节 幂级数及其在近似计算中的应用 三、案例e的近似计算 案例1 计算的近似值，误差不超过e410解由 e!1!2111n0!1nn取前 n项 e)!1(1!2111n则误差要求为 410)!1(3)!1(nnern得 7n4710!81r则 e7183. 2! 71! 第一节 幂级数及其在近似计算中的应用 傅立叶（Fourier, Jean Baptiste Joseph, 1768-1830） 法国数学家及物理学家。最早使用定积分符号，改进符号 法则及根数判别方法。傅立叶级数（三角级数）创始人。 他的主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文， 推导出着名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从 而 提 出 任 一 函 数 都 可 以 展 成 三 角 函 数