导数在函数求最大值和最小值中的应用(2)

1、导数在函数求最大值和最小值中的应用例1求函数f(x)5x2的值域.解析：由得f(x)的定义域为3x4，原问题转化为求f(x)在区间3, 4上的最值问题。 yf (x), 在3，4上f (x)0恒成立, f(x)在3，4上单调递增 当x3时ymin15， 当x=4时ymax=202， 函数的值域为15，202.例2设<a<1，函数f(x)x3ax2b (1x1)的最大值为1，最小值为,求a, b的值。解析：f (x)=3x23ax=3x(xa)，当x变化时，f (x), f(x)的变化情况列表如下： 当x=0时, f(x)取极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)<f(1

2、)， 需要比较f(0)与f(1)的大小， f(0)f(1)a1>0， f(x)的最大值为f(0)b1， 又f(1)f(a)=(a33a2)=(a+1)2(a)<0， f(x)|min=f(1)， a1+b=a=, a=，b=1.例3若函数f(x)在0，a上单调递增且可导，f(x)<0，f(x)是严格单调递增的，求在(0，a上的最大值。解析：， f(x)是严格单调递增的， f (x)>0， f(x)<0，x>0，f (x)·xf(x)>0， >0， 在(0，a上是增函数。 在(0，a上最大值为例4设g(y)1x24 xy3y4在y1，0上

3、最大值为f(x)，xR， 求f(x)表达式； 求f(x)最大值。解析：g(y)=4y2(y3x), y1, 0，当x0时，g(y)0， g(y)在1, 0上递增, f(x)=g(0)=1x2.当<x<0时，g(y)>0，在1，3x上恒成立，在(3x，0)上恒成立， f(x)=g(3x)=1x2+27x4.当x时，g(y)，g(y)在1，0上递减, f(x)=g(1)=x24x, f(x)=. 当x0时，f(x)f(0)=1， 当x(，0)时，f(x)=27(x)2+1<f()=, 当x时， f(x)( x2)24f(2)4, 1<< 4， f(x)|maxf

4、(2)4.例5设函数f( x)3x2+ (x(0，)，求正数a的范围，使对任意的x(0，)，都有不等式f(x)20成立。解析：f (x)6x，令f (x)=0得 x， 当0<x<时，f (x)0，当x> 时f (x)0， x是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. 要使f(x)20恒成立， f(x)|min20, , 解得a64.例6圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，则S=2Rh+2R2， h=, V(R)S底面·h=, 由V(R)=0得S3R2=0得S=6R2， 6R2=2Rh+2R2， h=2R，即当罐的

5、高和底面直径相等时容积最大例7已知三次函数f(x)=x(xa)(xb)，其中0ab （1）设f(x)在xs及x=t处取最值，其中st，求证：0satb； （2）设A(s，f(s)，B(t，f(t)，求证：AB中点C在曲线yf(x)上； （3）若ab2，求证：过原点且与曲线yf(x)相切的两直线不可能垂直。 解析：（1）f (x)3x22(ab)x+ab， 由f(x)在xs和xt处取最值， s，t分别是方程f (x)0的两实根 f (0)=ab>0，f (a)3a22(ab)a+ab=a(ab)<0，f (b)b2ab=b(ba)>0， f (x)0在(0，a)及(a，b)内分

6、别有一个实根， s<t， 0satb.（2）由s，t是方程f (x)0的两根 , f(s)+f(t)=, , AB的中点C(，f()在曲线y=f(x)上. （3）过曲线上点(x1，y1)的切线方程为yy1=3x122(ab)x1+ab(xx1), 由y1=x1(x1a)(x1b)且切线过原点 x1(x1a)(x1b)=x13x122(ab)x1ab, 当x1=0时，切线的斜率为k1=ab， 当x1=时，切线斜率为(a+b)2+ab， a, b>0，a+b<2， k1k2=(a+b)2+ab,Ab=(ab)2(a+b)2+ab>(ab)22ab=(ab1)211 k1k2

7、1，即两切线不可能垂直。例8 、设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（，0上是增函数，在0，2上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根.（1）求n的值；（2）求证：f（1）2.剖析：由题知x=0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢?解：（1）（x）=3x2+2mx+n.f（x）在（，0上是增函数，在0，2上是减函数，当x=0时，f（x）取到极大值.（0）=0.n=0.（2）f（2）=0，p=4（m+2），（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=，函数f（x）在0，2上是减函数，x2=2.m3.f（1）=m+p+1=m4（m+2）+

8、1=73m2.评述：此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f（1）2时，首先将f（1）化成关于m的式子，知道m的范围，便可证之.例9、已知函数f（x）=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=12x.（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在3，1上的最值.解：（1）（x）=12x2+2ax+b，（1）=12+2a+b=12.又x=1，y=12在f（x）的图象上，4+a+b+5=12.由得a=3，b=18，f（x）=4x33x218x+5.（2）（x）=12x26x18=0，得x=1， ，f（1）=16，f（）=，f（3）=76，f（1）=13.f（x）的最大值为16，最小值为76.例14（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科