第二章 习题课（二）

1、习题课(二)数列求和学习目标1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法.知识点一分组分解求和法思考求和：123.答案123(123n)1.梳理分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和.知识点二奇偶并项求和法思考求和122232429921002.答案122232429921002(1222)(3242)(9921002)(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5 050.梳理奇偶并项求和的基本思路：有些数

2、列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论.知识点三裂项相消求和法思考我们知道 ，试用此公式求和：.答案由，得11.梳理如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的形式，然后仿照公式裂开每一项.裂项相消求和常用公式：(1)；(2)()；(3)；(4).1.并项求和一定是相邻两项结合.(×)2.裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消.(×)类型一分组分解求和例1求和：Sn222(x0).考点数列前n项和的求法题点分组求和法解当x±1时，Sn222(x2x4x2n

3、)2n2n2n；当x±1时，Sn4n.综上知，Sn反思与感悟某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和.跟踪训练1求数列1,1a,1aa2，1aa2an1，的前n项和Sn.(其中a0，nN*)考点数列前n项和的求法题点分组求和法解当a1时，ann，于是Sn123n.当a1时，an(1an).Snn(aa2an).Sn类型二裂项相消求和例2求和：，n2，nN*.考点数列前n项和的求法题点裂项相消法求和解，原式(n2，nN*).引申探究求和：，n2，nN*.解1，原式(n1)以下同例2解法.反思与感悟求和前

4、一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为f(n1)f(n)的形式，常采用裂项求和法.跟踪训练2求和：1，nN*.考点数列前n项和的求法题点裂项相消法求和解an2，Sn2.类型三奇偶并项求和例3求和：Sn1357(1)n(2n1).考点数列前n项和的求法题点并项求和法解当n为奇数时，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2·(2n1)n.当n为偶数时，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2·n.Sn(1)nn (nN*).反思与感悟通项中含有(1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和.跟踪训练3已知

5、数列1,4，7,10，(1)n·(3n2)，求其前n项和Sn.考点数列前n项和的求法题点并项求和法解当n为偶数时，令n2k(kN*)，SnS2k14710(1)n·(3n2)(14)(710)(6k5)(6k2)3kn；当n为奇数时，令n2k1(kN*)，SnS2k1S2ka2k13k(6k1).Sn1.数列12n1的前n项和为_.考点数列前n项和的求法题点分组求和法答案Snn2n1，nN*解析an12n1，Snnn2n1.2.已知an(1)n，数列an的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是_.考点数列前n项和的求法题点并项求和法答案1,0解析S10(a1a2)(a3a

6、4)(a9a10)0，S9S10a101.3.已知数列an则S100_.考点数列前n项和的求法题点分组求和法答案5 000解析由题意得S100a1a2a99a100(a1a3a5a99)(a2a4a100)(02498)(246100)5 000.4.求数列，的前n项和.考点数列前n项和的求法题点裂项相消法求和解因为通项an，所以此数列的前n项和Sn.求数列的前n项和，一般有下列几种方法.(1)错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(2)分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)裂项相消把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再

7、求和.(4)奇偶并项当数列通项中出现(1)n或(1)n1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论.(5)倒序相加例如，等差数列前n项和公式的推导方法.一、选择题1.数列an的前n项和为Sn，若an， 则S5等于()A.1 B. C. D.考点数列前n项和的求法题点裂项相消法求和答案B解析an.S51.2.数列，的前n项和为()A. B. C. D.考点数列前n项和的求法题点裂项相消法求和答案B解析由数列通项公式，得前n项和Sn.3.已知数列an的通项an2n1，nN*，由bn所确定的数列bn的前n项和是()A.n(n2) B.n(n4)C.n(n5) D.n(n7)考点数列前n项和的求法题点数

8、列求和方法综合答案C解析a1a2an(2n4)n22n，bnn2，bn的前n项和Sn.4.在数列an中，已知Sn159131721(1)n1(4n3)，nN*，则S15S22S31的值是()A.13 B.76 C.46 D.76考点数列前n项和的求法题点并项求和法答案B解析S154×7a15285729，S224×1144，S314×15a316012161，S15S22S3129446176.故选B.5.如果一个数列an满足anan1H (H为常数，nN*)，则称数列an为等和数列，H为公和，Sn是其前n项的和，已知在等和数列an中，a11，H3，则S2 017

9、等于()A.3 019 B.3 018C.3 023 D.3 016考点数列前n项和的求法题点并项求和法答案C解析S2 017a1(a2a3a2 017)a11 008×H11 008×(3)3 023.6.数列an的通项公式是an，若前n项和为10，则项数为()A.11 B.99C.120 D.121考点数列前n项和的求法题点裂项相消法求和答案C解析an，Sna1a2an(1)()()1，令110，得n120.7.数列1,12,1222，12222n1，的前99项和为()A.2100101 B.299101C.210099 D.29999考点数列前n项和的求法题点并项求和

10、法答案A解析由数列可知an12222n12n1，所以，前99项的和为S99(21)(221)(2991)22229999992100101.二、填空题8.若Sn1234(1)n1·n，nN*，则S50_.考点数列前n项和的求法题点并项求和法答案25解析S5012344950(1)×2525.9.在数列an中，若anln，nN*，则Sn_.考点数列前n项和的求法题点裂项相消法求和答案ln(n1)解析方法一anln ln(n1)ln nSn(ln 2ln 1)(ln 3ln 2)ln(n1)ln nln(n1)ln 1ln(n1).方法二Snln ln ln lnln(n1).

11、10.在等比数列an中，若a1，a44，则|a1|a2|a3|an|_.考点数列前n项和的求法题点数列求和方法综合答案解析an为等比数列，且a1，a44，q38，q2，an(2)n1，|an|2n2，|a1|a2|a3|an|.11.数列an的通项公式anncos ，nN*，其前n项和为Sn，则S2 016_.考点数列前n项和的求法题点并项求和法答案1 008解析a1cos 0，a22cos 2，a30，a44，.数列an的所有奇数项为0，前2 016项的所有偶数项(共1 008项)依次为2,4，6,8，故S2 0160(24)(68)(2 0142 016)1 008.三、解答题12.已知等

12、差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.考点数列前n项和的求法题点裂项相消法求和解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.因为a37，a5a726，所以解得所以an32(n1)2n1，Sn3n×2n22n.所以an2n1，Snn22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn××，所以Tn××，即数列bn的前n项和Tn.13.设数列an满足a12，an1an3·22n1，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和

13、Sn.考点数列前n项和的求法题点错位相减法求和解(1)由已知，得当n>1时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a13(22n322n52)222n1，而a12，符合上式，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann·22n1知Sn1·22·233·25n·22n1，从而22·Sn1·232·253·27n·22n1.得(122)Sn2232522n1n·22n1，即Sn(3n1)22n12.四、探究与拓展14.设数列an满足a10且1，nN*.(1)求an的通项公式；(2)设bn，记Snb1b2bn，证明：Sn<1.考点数列前n项和的求法题点裂项相消法求和(1)解由题设1知，是公差为1的等差数列，又1，故n，an1.(2)证明由(1)得bn，Sn11<1.15.已知数列an中，a11，an·an1n，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.考点数列前n项和的求法题点分组求和