第八章多元函数微积分

1、第八章 多元函数微积分试题三一、填空题(2´10=20分)1. 母线平行于Y轴，且通过曲线的柱面方程是。解析：方程不含y时，表示母线平行于Y轴的柱面。消去y2得到3x2+2z2=16，为所求的柱面方程 2. 设(x,y)¹(0,0)时，f(x,y)=(x2-y2)-sin, 则 f(x+y,x-y)= 。解析：f(x+y,x-y)= (x+y)2-(x-y)2)-sin = 4xy-sin3. 设f(x,y)=，则 fx¢(0,0)=。解析： f¢x(x0,y0)=, fx¢(0,0)=0 4. 设z=fx,g(x,y), y=f(x)，f,

2、g, f 均为可微函数，则=。解析：根据复合函数求导数规则，= f ¢1 +f ¢2 (g¢x+g¢yf¢) 5. 已知 xlny+ylnz+zlnx = 1，则 = 。解析：根据隐函数求导数规则， = (- )(- )(- ) = -1 6. 设z=f (arctan)，f为可微函数，且f ¢(x)=x2, 则 |(1,1) =。解析：据复合函数求导数规则，= f ¢(arctan)f ¢(arctan)=f ¢()= , |(1,1) = = - 7. 交换积分次序 òdyòf(x

3、,y)dx =。 解析：D: D1: D2: I = òdxòf(x,y)dy + òdxòf(x,y)dy 8. 设z=z(x,y)=f(2x-y)，且已知 z(x,1)=x2-2x+3，则 |(x,2)=。解析： z(x,1)=f(2x-1)=x2-2x+3, f(2x-1)=2x2-4x+6, 令u=2x-1, x=(u+1)/2, f(u)=2(u+1)2/4-2(u+1)+6=(u+1)2/2-2(u+1)+6, f ¢(u)=u+1-2=u-1, f ¢(2x-2)=2x-3所以 =f ¢(2x-y)2， |(x

4、,2)=f ¢(2x-2)=x 3/2 9. 设 u=()z ，则du |(1,1,1) = 。解析：=()z-1 , |(1,1,1) =1 ; =()z-1 () , |(1,1,1) = -1, du |(1,1,1) =dx dy 10. 设 f (x-az,y-bz) =0，则 a + b =。解析：= - = - , = - = - 所以a + b =1 二、选择题(2´10=20分)1设函数f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在，则f(x,y)在点(x0,y0)处 ( )A、有极限 B、连续 C、可微 D、以上都不成立 解析：偏导数存在是一个较弱的条件，不

5、能推出有极限、连续、及可微，故选D2. 设 f(x)=òe-t2dt，则 = ( )A、e-x4y2B、e-x4y2 2xy C、e-x4y2 (-2t) D、e-x4y2 (-2x2y) 解析：利用积分上限函数求导规则，得到B正确 3. 已知f(x,y)在(a,b)处偏导数存在，则 = ( )A、0 B、fx¢(2a,b) C、fx¢(a,b) D、2fx¢(a,b) 解析：=+=2fx¢(a,b) 选D4. 设f (x,)= xsin ，则 = ( )A、sin+x cosB、xsinC、sinD、xcos解析：替换自变量名称 f (u,v

6、)= xsin = usin f(x,y)= xsin , 则 = sin 故选C 5. 累次积分òdqòf(rcosq,rsinq)rdr 可写成 ( )A、òdxòf(x,y)dy B、òdxòf(x,y)dy C、òdyòf(x,y)dx D、òdyòf(x,y)dx 解析： 画出积分区域为D: x2+y2-y=0 与Y轴右半部分，òdyòf(x,y)dx故选D 6. 函数 z=在点(0,0) 处 ( )A、不连续 B、连续且偏导数存在 C、取极小值 D、无极值 解析：

7、函数 z=在点(0,0) 处连续，显然z在(0,0)处取极小值。故选C7. 设 z=ln(xy+)，则 = ( )A、0 B、1 C、D、解析：利用复合函数求导 = (y+) = , = 0 故选A8. 设 x+z =yf (x2-z2)，则 z + y = ( )A、x B、y C、zD、yf (x2-z2) 解析：利用隐函数求导 = - = , = - = ,z + y = = = x 故选A9. 设D是 |x|+|y|£1所围成区域, D1是由直线x+y=1和X轴,Y轴所围成的区域，则 = ( )A、4B、0 C、2zD、2 解析：利用积分区域的对称性及 被积函数的奇偶性 =0

8、 于是 =+=2+0=2 故选D10. 若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取极大值，则 ( )A、fx¢(x0,y0)=0, fy¢(x0,y0)=0 B、若(x0,y0)是D内唯一极值点，则必为最大值点 C、fxy²(x0,y0)2- fxx²(x0,y0)fyy²(x0,y0)<0,且fxx²(x0,y0)<0 D、以上结论都不正确解析：A不真，(x0,y0)只是一个驻点； B不真，要求在D内连续；C不真，要求(x0,y0)是驻点； 故选D三、计算题(6´6=36分)1. 设z=(1-2xy+y2)-1/

9、2，证明：(1-x2)+y2 = 0. 证明：计算 =yz3, =(x-y)z3, =3y2z5, = -z3+3(x-y)2z5, (1-x2)= -2xyz3+3(1-x2)y2z5 , y2=2y(x-y)z3- y2z3+3y2(x-y)2z5 ,(1-x2)+y2 = 3y2z51-x2-(1-2xy+y2)+(x-y)2 = 3y2z50 = 0 2 .设r=f(u,v), u=tx, v=ty，求 。解析：= fu¢x+ fv¢y , =xf²uu+yf²uvx+xf²vu+yf²vvy = x2f²uu+2x

10、yf²uv+y2f²vv3. 设y=f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)=0确定的x, y函数，试证： = 解析：=+, 变形 (1-)=+ , 解出 ，再由隐函数求导计算与 ，代入即得到所证明的等式。 4. 设x2+y2+z2=a2 (x>0, y>0, z>0)，求 xy+yz+zx的极值。解析：用拉格朗日乘数法，目标函数 f(x,y,z)= xy+yz+zx约束条件: x2+y2+z2=a2令拉格朗日函数 F(x,y,z,l)= xy+yz+zx+l( x2+y2+z2-a2)则 F¢x=y+z+2lx=0, F¢y=x+z

11、+2ly=0, F¢z=y+x+2lz=0, x2+y2+z2=a2前三式相加得到 2(x+y+z)+2l(x+y+z)=0, 所以l= -1, 代入得 x=y=z, 则 x=y=z=a/，根据实际意义它是极大值点，也是最大值点，最大值为 f=a25. 求 òdxòdy解析：改变积分次序得到 I = òdyòdx = ò dy = òdy= òdy3 = | = (1) 6. 计算 òòdxdy解析：化为极坐标计算，积分区域如图 原积分 I = òdqòrdr = ò

12、;arcsin|dq= ò-qdq= -|= 四、(8分) 某企业现有以种商品1万件，打算同时在两个地区销售，这两个地区需求函数分别为Q1=10000 500p1和Q2=5500 250p2，销售成本分别为C1=1000+5Q1和C2=500+5.5Q2，应如何确定售价才能使企业获得最大利润。解析：总利润 L=Q1P1C1+Q2P2C2=Q1(P1-5)+Q2(P2-5.5) 1500约束条件： Q1+Q2=10000 即 2p1+p2=22令 F(p1,p2,l)= Q1(P1-5)+Q2(P2-5.5) 1500+l(2p1+p222)F¢p1= -500(p1-5)+Q1+2l=0 (利用复合函数求导)F¢p1= -250(p2-5.5)+Q2+l=02p1+p2=22前二式消去l，得到 p2-p1=1.25 , 解得 p1=2075/300=6.92, p2=8.16, 为最大值点，最大值 L(6.92, 8.16)= 20087.6 能使企业获得最大利润为 20087.6 单位。 五、证明题(2´8=16分)1. 设z=z(x,y)是由ax+by+cz=f(x2+y2+z2)定义的函数，其中f(u)是一个可微函数，a,b,c为常数，证明z=z(x,y)是方程 (cy-bz)+(az-cx)=bx-ay 的解。证明：= -