第2讲导数的简单应用

1、第2讲导数的简单应用【选题明细表】知识点、方法题号导数的几何意义及运算1、3、4、7、8利用导数研究函数的单调性2、5、9利用导数求函数的极(最)值6、10、11、12一、选择题1.(2013雅安市高三第三次诊断)已知函数f(x)=+xln x,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为(C)(A)x-y-3=0(B)x-y+3=0(C)x+y-3=0(D)x+y+3=0解析:f(x)=-+ln x+1.f(1)=-1,y=f(x)在x=1处的切线方程为y-2=-1×(x-1).即x+y-3=0,故选C.2.对于R上可导的函数f(x),若满足(x-a)f(x)0,则必有(A)(A)f(

2、x)f(a)(B)f(x)f(a)(C)f(x)>f(a)(D)f(x)<f(a)解析:当x>a时,(x-a)f(x)0f(x)0,所以f(x)在(a,+)上单调递增,当x<a时,(x-a)f(x)0f(x)0,所以f(x)在(-,a)上单调递减,所以当x=a时,f(x)取得最小值,所以f(x)f(a).故选A.3.(2013湖南怀化高三一模)已知直线y=kx与曲线y=lnx有公共交点,则k的最大值为(B)(A)1(B) (C)(D)解析:由函数图象知,过原点的直线y=kx与y=ln x的图象相切时,k值最大.设切点(x0,y0),k=y=,其切线方程为y-y0=(x-

3、x0),即y=x-1+y0.这条切线过原点,-1+y0=0.即ln x0=1,x0=e,k=.选B.4.设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f(x),且f(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为(B)(A)y=3x(B)y=-3x(C)y=-3x+1(D)y=3x-1解析:f(x)=3x2+2ax+(a-3),f(x)是偶函数,a=0.在原点处f(0)=a-3=-3.切线方程为y-0=-3(x-0),即y=-3x,选B.5.(2013山东潍坊高三二模)定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),已知f(x+1)是偶函数,且(x-1)f(x)<0.若

4、x1<x2,且x1+x2>2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是(C)(A)f(x1)<f(x2)(B)f(x1)=f(x2)(C)f(x1)>f(x2)(D)不确定解析:由(x-1)f(x)<0可知,当x>1时,f(x)<0,函数f(x)递减.当x<1时,f(x)>0,函数f(x)递增.因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(1-x),函数f(x)的对称轴为x=1,且f(x)f(1).x1+x2>2,>1,即两点(x1,y1)与(x2,y2)连线段的中点在函数对称轴的右边.又x1<x2,故点(x1,y1)比

5、点(x2,y2)离对称轴更近.f(x1)>f(x2),选C.6.设函数y=f(x)在(-,+)内有定义,对于给定的实数k,定义函数g(x)=设函数f(x)=x2+x+-3,若对任意的x(-,+)恒有g(x)=f(x),则(A)(A)k的最大值为-2(B)k的最小值为-2(C)k的最大值为2(D)k的最小值为2解析:由题意f(x)k对xR恒成立,由f(x)=x2+x+-3得f(x)=2x+1-,令f(x)=0,即2x+1=（）x,由图象知x=0.在x(-,0)内,f(x)<0,f(x)单调递减.在x(0,+)内,f(x)>0,f(x)单调递增.f(x)min=f(0)=-2,k

6、-2,选A.二、填空题7.设f(x)=ax3+3x2+2,若f(x)在x=1处的切线与直线x+3y+3=0垂直,则实数a的值为. 解析:f(x)=3ax2+6x,f(1)=3a+6,由题意得,3a+6=3,a=-1.答案:-18.已知函数f(x)满足2f(x)+f（）=3x,则f(x)=. 解析:由2f(x)+f（）=3x得2f（）+f(x)=,解得f(x)=2x-.f(x)=2+.答案:2+9.(2013浙江省金华十校高三一模)设函数y=f(x),xR的导函数为f(x),且f(x)=f(-x),f(x)<f(x),则下列三个数:ef(2),f(3),e2f(-1)从

7、小到大依次排列为.(e为自然对数的底数). 解析:f(x)<f(x),记=F(x),则F(x)=<0.F(3)<F(2)<F(1).<<.f(3)<ef(2)<e2f(1).由f(x)为偶函数,f(3)<ef(2)<e2f(-1).答案:f(3)<ef(2)<e2f(-1)三、解答题10.(2013北京顺义高三二模)已知函数f(x)=,其中a为正实数,x=是f(x)的一个极值点.(1)求a的值;(2)当b>时,求函数f(x)在b,+)上的最小值.解:f(x)=(1)因为x=是函数y=f(x)的一个极值点,所

8、以f（）=0,因此,a-a+1=0,解得a=.经检验,当a=时,x=是y=f(x)的一个极值点,故所求a的值为.(2)由(1)可知,f(x)=,令f(x)=0,得x1=,x2=.f(x)与f(x)的变化情况如下:x（-,）（,）（,+）f(x)+0-0+f(x)所以,f(x)的单调递增区间是（-,）,（,+）,单调递减区间是（,）.当<b<时,f(x)在b,）上单调递减,在（,+）上单调递增.所以f(x)在b,+)上的最小值为f（）=.当b时,f(x)在b,+)上单调递增,所以f(x)在b,+)上的最小值为f(b)=.11.已知幂函数f(x)=(mZ)为偶函数,且在区间(0,+)上

9、是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)+ax3+x2-b(xR),其中a,bR.若函数g(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范围.解:(1)f(x)在区间(0,+)上是单调增函数,-m2+2m+3>0即m2-2m-3<0,-1<m<3,又mZ,m=0,1,2.而m=0,2时,f(x)=x3不是偶函数,m=1时,f(x)=x4是偶函数,f(x)=x4.(2)g(x)=x(x2+3ax+9),显然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根.为使g(x)仅在x=0处有极值,必须x2+3ax+90恒成立,即有=9a2-360,解不等式,得a-2,

10、2.这时,g(0)=-b是唯一极值.a-2,2.12.(2013北京东城区高三一模)已知函数f(x)=mln x+(m-1)x(mR).(1)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性;(3)若f(x)存在最大值M,且M>0,求m的取值范围.解:(1)当m=2时,f(x)=2ln x+x.f(x)=+1=.所以f(1)=3.又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=+m-1=.当m0时,由x>0知f(x)=+m-1<0恒成立,此时f(x)在区间(0,+)上单调递减.当m1时,由x>0知f(x)=+m-1>0恒成立,此时f(x)在区间(0,+)上单调递增.当0<m<1时,由f(x)>0,得x<,由f(x)<0,得x>,此时f(x)在区间(0,)内单调递增,在区间(,+)内单调递减.(3)由(2)知函数f(x)的定义域为(0,+),