第3章导数与微分

1、第3章 导数与微分3.1 导数的概念3.1.1 实例1变速直线运动的速度已知变速直线运动的路程函数，当时间从变到时，物体所经过的路程为，于是物体在这一段时间内的平均速度是运动是变速的，但在一段很短的时间内，速度变化不大，即当很小时，平均速度可作为物体在时刻的瞬时速度的近似值；无限小时，平均速度就无限接近于时刻的瞬时速度，即这就是说，物体在时刻的瞬时速度是平均速度当时的极限值，时刻路程对时间的变化率是时路程增量和时间增量之比的极限2总产量的变化率设某产品在时间段内的总产量是时间的函数，当时间由变到时，总产量的改变量是，它在这段时间内的平均产量（即平均变化率）是如果极限存在，则称此极限是时刻的总产

2、量的变化率，又称生产率3曲线的切线斜率如图4-1所示，割线的斜率是因为当点M沿着曲线无限趋于点时，割线的极限位置称为曲线在点的切线，所以时割线斜率的极限就是曲线在点的切线斜率3.1.2 导数的定义定义 设函数在点及其左右近旁有定义，当自变量从变化到时，函数有相应的改变量若当时，之比的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限值为函数在点处的导数，记为或，即若极限不存在，则称函数在点处不可导若函数在区间内每一点都可导，则称函数在区间内可导这时对任意给定的值，都有一个确定的导数值与之对应，从而确定了一个新的函数，称此函数为函数的导函数（简称导数），记为，即显然，函数在点处的导数值等于导函数在处的函

3、数值，即通常，表示函数在区间上的平均变化率，导数（平均变化率的极限）叫做函数在点处的瞬时变化率（简称变化率）函数的瞬时变化率即函数的导数在实际问题中有着非常广泛的应用，一些经济量可利用导数描述例如，若生产某产品的总成本函数，则在产量为时总成本对产量的变化率为，也叫产量为时的边际成本，表示在产量为时每增加（或减少）单位产品所需增加（或减少）的成本；根据导数的定义，前述三个实例可重述为：（1）变速直线运动的物体在时刻的速度，就是路程函数在处对时间的导数，即（2）某产品在时刻的总产量的变化率，就是该产品的总产量函数在处对时间的导数，即（3）曲线在点处切线的斜率是函数在点处的导数，即例1已知函数，求，

4、.可以证明幂函数的导数公式：（是实数）.例2 求曲线在点（-1，1）处的切线的方程.3.1.3 高阶导数既然导函数本身也是函数，所以可以计算它的导数对于函数，如果其导数仍可导，则称的导数为的二阶导数，记为或或类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，一般地，导数的导数叫做阶导数，记为或，并把二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.例如，如果，则由公式知，.3.2 导数的计算3.2.1 基本初等函数的导数公式（1）（为常量） （2）（为实数）（3）() （4）（5）() （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）3.2.2 导数的四则运算法则定理 设函数在点

5、处可导，则，,在点处也可导，且有：（1）；（2）；特别地，（为常量）（3）.例1 求函数的导数.例2 求函数的导数. 例3 求函数的导数.例4 求函数在点处的导数.例5 已知函数，求.3.2.3复合函数的求导法则定理 设函数由与复合而成，若函数在点x处可导，函数在对应点处可导，则复合函数在点x处也可导，且简记作即：复合函数的导数，等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.此法则可以推广到多次复合的情形例如，若，且它们都可导，则例6 求函数的导数例7 求函数的导数例8 求函数的二阶导数.3.2.4偏导数 在生产中，产量与投入的劳动力和资金之间有关系式其中、都是正常数，叫做柯布-道格

6、拉斯生产函数,描述了产量（因变量）与投入的两种生产要素（资金）和（劳动力）之间的确定关系，这是一个以和为自变量的二元函数假设资金保持不变，则产量可以看作是劳动力的一元函数，表示在一定技术条件下，劳动力的微小变动所引起的总产量的变动；类似地，假设劳动力保持不变，则产量可以看作是资金的一元函数，表示在一定技术条件下，资金的微小变动所引起的总产量的变动这种由一个变量变化、其余变量保持不变所得到的导数，称为多元函数的偏导数二元函数有两个自变量，若把其中的自变量视为常量，只把自变量作为变量，对求导数，则是二元函数对求偏导数，记为或，若把其中的自变量视为常量，只把自变量作为变量，对求导数，则是二元函数对求偏导数，记为或，因此，求二元函数的偏导数时，只需将一个自变量暂时看作常量，直接利用一元函数的求导方法，对另一个自变量进行求导即可求某点处的偏导数值时，可先求偏导函数，然后代入点坐标即得例9 求函数的偏导数和例10 已知函数，求一般地，函数的偏导数还是和的函数，仍可继续求或的偏导数，这些偏导数（如果存在）则称为函数的二阶偏导数，分别记为，类似地，有更高阶的偏导数3.3 微分定义设函数在可导，则称为函数在点处的微分，记为或，即此时，称函数在点处可微当且很小时，有，即这表明函数当自变量在点处取得微小改变量时，可以用近似代替由于函数的微分是，所以有.由此可知，函数的导数可看成函数的微