第七章 第44讲

1、第44讲不等式的综合应用考试要求掌握解决不等式综合问题的方法(C级要求).诊 断 自 测1.(必修5P102习题7改编)函数yx(x0)的值域是_.解析当x>0时，yx24；当x<0时，yx24.答案(，44，)2.(必修5P106复习题16改编)已知x>0，y>0且满足1，则xy的最小值是_ .解析 xy(xy)·1(xy)28，x>0，y>0，>0，>0，xy10218，当且仅当时等号成立，又1，当x6，y12时，xy有最小值18.答案183.(必修5P98练习2(2)改编)若正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_.解析由a

2、，bR*，得ab2，则abab323，即ab230(3)(1)03， ab9.答案9，)4.设xR，f(x)，若不等式f(x)f(2x)k对于任意的xR恒成立，则实数k的取值范围是_.解析不等式化为k，因为(0，1，所以k2.答案k25.(必修5P102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价.方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价%，第二次提价%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是_.解析设原来价格为A，方案甲：经两次提价后价格为AA；方案乙：经两次提价后价格为A；方案丙：经两次提价后价格为AA.因为>，

3、所以方案丙提价最多.答案方案丙考点一含参数的不等式问题【例1】 若不等式组的解集中所含整数解只有2，求k的取值范围.解由x2x2>0有x1或x2，由2x2(52k)x5k0有(2x5)(xk)0，因为2是原不等式组的解，所以k2.由(2x5)(xk)0有xk.因为原不等式组的整数解只有2，所以2k3，即3k2，故k的取值范围是3，2).【训练1】 已知函数f(x)lg(m23m2)x2(m1)x1的定义域为R，求实数m的取值范围.解函数f(x)的定义域为R，对于任意xR，恒有(m23m2)x2(m1)x1>0.若m23m20，则m2或1.当m1时，不等式即为1>0，符合题意；

4、当m2时，不等式即为x1>0，对任意xR不恒成立， m2不合题意，舍去.若m23m20，由题意得解得即m<1或m>.综上可得，m的取值范围是(，1.考点二基本不等式的灵活运用【例2】 设x，y均为正实数，且1，则xy的最小值为_.解析由1，得xy8xy. x，y均为正实数，xy8xy82(当且仅当xy时等号成立)，即xy280，解得4，即xy16.故xy的最小值为16.答案16【训练2】 设实数n6，若不等式2xm(2x)n80对任意x4，2都成立，则的最小值为_.解析设f(x)2xm(2x)n8(2mn)x(2n8)为关于x的一次函数.由题设得即作出不等式组所表示的可行域如

5、图所示，设t，则t表示可行域内的点与坐标原点所连线段的斜率，可得t3.g(t)t3在t3上为减函数，所以g(t).故的最小值为.答案考点三多元最值问题【例3】 (1)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为_.(2)设a，b，c均为正数，满足a2b3c0，则的最小值是_.解析(1)由已知及三角形三边关系得两式相加得0<2×<4，的取值范围为(0，2).(2)a2b3c0，b，3，当且仅当a3c时取“”.答案(1)(0，2)(2)3考点四不等式与函数、三角、向量等知识的结合【例4】 (一题多解)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B

6、C且7a2b2c24，则ABC面积的最大值为_.解析如图，在ABC中，设D为BC的中点，则ADBC.法一由题知bc，则7a22b24，所以b22a2，所以ABC的面积Saa···，当且仅当a22a2，即a2时取等号，所以ABC的面积最大值为.法二设BDCDm，ADn，则由已知得7(2m)22(m2n2)4，所以15m2n222mn，所以mn，当且仅当15m2n2时取等号，此时m2，所以ABC面积的最大值为.答案一、必做题1.已知常数a>0，函数f(x)x(x>1)的最小值为3，则a的值为_.解析f(x)x11213，则a1.答案12.若实数x，y满足x

7、y0，且log2xlog2y1，则的最小值为_.解析由log2xlog2y1，得xy2，xy4，则的最小值为4.当且仅当x1，y1时取等号.答案43.(2019·镇江期末)函数yasin(ax)(a0，0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为_.解析函数的周期T为，则，最高点和其相邻最低点的距离为22.答案24.设正项等差数列an的前2 011项和等于2 011，则的最小值为_.解析由题意得S2 0112 011，a1a2 0112.又a2a2 010a1a2 0112，(a2a2 010)12.答案25.(2019·苏北四市三模)若对于任意x0，a恒成立，则实

8、数a的取值范围是_.解析，因为x0，所以x2(当且仅当x1时取等号)，则，即的最大值为，故a.答案6.(一题多解)设P(x，y)为函数yx21(x>)图象上一动点，记m，则当m取最小值时，点 P的坐标为_.解析法一m6，因为x>，所以x23>0，x1>0，所以m628.当且仅当，即x2时，m取得最小值，此时点P的坐标为(2，3).法二m6，因为x>，所以y>2，所以y2>0，x1>0，所以m8.当且仅当时，m取得最小值，下同法一.答案(2，3)7.函数f(x)ax22(a3)xa2中，a为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有a值的和为_.解析

9、由ax22(a3)xa20得a(x1)226x，显然x1不成立，所以x1，所以a.因为a为负整数，所以x>且(x1)2<6x2，解得4<x4，将x2，3，4，5，6，7代入a，得x2，x3符合条件，此时a10，a4，故所有的a值的和为14.答案148.(2019·盐城中学月考)a是12b与12b的等比中项，则的最大值为_.解析依题意，a214b2，故a24b214ab，故ab，当且仅当或时，等号成立.答案9.设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最小值为_.解析不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示.由zaxb

10、y得yx，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4，6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a6b12，即2a3b6，所以·4，当且仅当a，b1时等号成立.所以的最小值为4.答案410.已知1lg xy4，1lg2，求lg的取值范围.解由1lg xy4，1lg 2，得1lg xlg y4，1lg xlg y2，而lg 2lg xlg y(lg xlg y)(lg xlg y)，所以1lg 5，即lg 的取值范围是1，5.二、选做题11.北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活

11、动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.解(1)设每件定价为t元，依题意得(8&

12、#215;0.2)t25×8，整理得t265t1 0000，解得25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为40元.(2)依题意知x>25，且ax25×850(x2600)x，等价于ax(x>25).由于x210，当且仅当，即x30时等号成立，所以a10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.12.(2019·大同期末)已知关于x的不等式ax2(a2)·x20，aR.(1)若不等式的解集为(，12，)，求实数a的值；(2)若不等

13、式ax2(a2)x22x23对任意xR恒成立，求实数a的取值范围；(3)解关于x的不等式ax2(a2)x20.解(1)因为ax2(a2)x20的解集为(，12，)，所以方程ax2(a2)x20的两根为x1或x2，所以1×2，解得a1.(2)若不等式ax2(a2)x22x23对任意xR恒成立，即(a2)x2(a2)x10对任意xR恒成立.因此，当a2时，不等式变为10，显然成立；当a2时，解得2<a6.综上，实数a的取值范围为2，6.(3)ax2(a2)x20(x1)(ax2)0.当a0时，原不等式变形为2x20，解得x1.当a0时，ax2(a2)x20的两根为x1或x.当a>0时，1<，所