第二章 2.2.2(一)

1、2.2.2等差数列的前n项和(一)学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟知公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.知识点一等差数列的前n项和公式思考高斯用123100(1100)(299)(5051)101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求123n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn123(n1)n，又Snn(n1)(n2)21，2Sn(1n)2(n1

2、)(n1)2(n1)，2Snn(n1)，Sn.梳理“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：Sna1a2a3an1ana1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d；Snanan1an2a2a1an(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d.两式相加，得2Snn(a1an)，由此可得等差数列an的前n项和公式Sn.根据等差数列的通项公式ana1(n1)d，代入上式可得Snna1d.知识点二等差数列的前n项和公式的特征思考1在等差数列an中，若已知a27，能求出前3项和S3吗？答案S33×3a221.思考2我们对等差数列的通项公式变形：ana1(n1)

3、ddn(a1d)，分析出通项公式与一次函数的关系.你能类比这个思路分析一下Snna1d吗？答案按n的降幂展开Snna1d n2n是关于n的二次函数形式，且常数项为0.梳理对于等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形：(1)Snn·；(2)Snn2n；(3)n.知识点三等差数列的前n项和公式的性质 思考如果an是等差数列，那么a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列吗？答案(a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)100d，类似可得(a21a22a30)(a11a12a20)100d.a1a2a10，a11a12a

4、20，a21a22a30是等差数列.梳理(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列an的前m项的和，前2m项的和，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d.(2)若等差数列的项数为2n(nN)，则S2nn(anan1)，且S偶S奇nd，.(3)若等差数列的项数为2n1(nN)，则S2n1(2n1)an，且S奇S偶an，S奇nan，S偶(n1)·an，.1.数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和.()2.anSnSn1(n2)化简后关于n与an的函数式即为数列an的通项公式.(×)类型一等差数列的前n项和公式的应用例

5、1已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解方法一由题意，知S10310，S201 220，将它们代入公式Snna1d，得解方程组得Snn×4×63n2n，nN.方法二S10310，即a1a1062，S201 220，即a1a20122，得a20a1060，10d60，d6，a14.Snna1d3n2n，nN.反思与感悟(1)在解决与等差数列的前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用.(2)构成等差数列的前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求另外两个.跟踪训练1在等差

6、数列an中.(1)a1，an，Sn5，求n和d；(2)a14，S8172，求a8和d；(3)已知d2，an11，Sn35，求a1和n.解(1)由题意，得Sn5，解得n15.又a15(151)d，d.(2)由已知，得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.(3)由得解方程组得或例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解设每次交款数额依次为a1，a2，a20

7、，则a1501 000×1%60(元)，a250(1 00050)×1%59.5(元)，a1050(1 0009×50)×1%55.5(元)，即第10个月应付款55.5元.由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有S20×201 105(元)，即全部付清后实际付款1 1051501 255(元).反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.跟踪训练2甲，乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲，乙开始运动后几

8、分钟第一次相遇？(2)如果甲，乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解(1)设开始运动n分钟后第一次相遇，依题意，有2n5n70，整理得n213n1400.解得n7或n20(舍去).所以第一次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设开始运动m分钟后第二次相遇，依题意，有2m5m3×70，整理得m213m4200.解得m15或m28(舍去).所以第二次相遇是在开始运动后15分钟.类型二等差数列的前n项和性质的应用例3(1)等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为100，求数列an的前3m项的和S3m；(2)两个

9、等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值.解(1)方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列.30，70，S3m100成等差数列.2×7030(S3m100)，S3m210.方法二在等差数列中，成等差数列，.即S3m3(S2mSm)3×(10030)210.(2).反思与感悟等差数列的前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.跟踪训练3设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1d，S77，S15

10、75，即解得a1d，数列是等差数列，其首项为2，公差为，Tnn×(2)×，nN.1.在等差数列an中，若S10120，则a1a10的值是()A.12 B.24C.36 D.48答案B解析由S10，得a1a1024.2.记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于()A.2 B.3C.6 D.7答案B解析方法一由解得d3.方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.3.在一个等差数列中，已知a1010，则S19 .答案190解析S1919a1019×10190.4.已知在等差数列an中，(1)a1，d，Sn1

11、5，求n及an；(2)a11，an512，Sn1 022，求d.解(1)Snn××15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，a12(121)×4.n12，ana124.(2)由Sn1 022，解得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.1.求等差数列的前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下列结论的运用：若mnpq，则anamapaq(n，m，p

12、，qN)；若mn2p，则anam2ap.3.本节涉及的数学思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想.一、选择题1.在等差数列an中，若a2a88，则该数列的前9项和S9等于()A.18 B.27 C.36 D.45答案C解析S9(a1a9)(a2a8)36.2.在等差数列an中，若S104S5，则等于()A. B.2 C. D.4答案A解析由题意，得10a1×10×9d4，10a145d20a140d，10a15d，.3.已知在等差数列an中，若aa2a3a89，且an<0，则S10为()A.9 B.11 C.13 D.15答案D解析由aa2a3a89，得(a

13、3a8)29，an<0，a3a83，S1015.4.设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27答案B解析数列an为等差数列，则S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，S39，S6S327，S9S645.即a7a8a9S9S645.5.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A.765 B.665 C.763 D.663答案B解析a12，d7，2(n1)×7<100，n<15，n14，S1414×2×14×13×766

14、5.6.含2n1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和的比为()A. B. C. D.答案B解析S奇，S偶，a1a2n1a2a2n，.7.等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m等于()A.38 B.20 C.10 D.9答案C解析因为an是等差数列，所以am1am12am，由am1am1a0，得2ama0，由S2m138知am0，所以am2，又S2m138，即38，即(2m1)×238，解得m10，故选C.二、填空题8.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管最少，那么剩余钢管的根数为 .答案10解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数

15、组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.钢管总数为123n.当n19时，S19190.当n20时，S20210>200.n19时，剩余钢管根数最少，为10根.9.设Sn是等差数列an的前n项和，若，则 .答案解析方法一，a12d，.方法二由，得S63S3.S3，S6S3，S9S6，S12S9仍然是等差数列，公差为(S6S3)S3S3，从而S9S6S32S33S3，即S96S3，S12S9S33S34S3，即S1210S3，.10.设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9 .答案15解析设等差数列的公差为d，则S33a1d3a13d3，即a1d1，S66a

16、1d6a115d24，即2a15d8.联立解得故a9a18d18×215.11.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 .答案117解析设等差数列an的项数为2n1，S奇a1a3a2n1(n1)an1，S偶a2a4a6a2nnan1，所以，解得n3，所以项数2n17，S奇S偶an1，即a4443311为所求中间项.12.已知等差数列an的前3项依次为a，4，3a，前k项和Sk2 550，则a ，k .答案250解析设等差数列an的公差为d，则由题意，得(注：k51舍)a2，k50.三、解答题13.一个等差数列的前10项和为100，前

17、100项和为10，求前110项之和.解方法一设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则Snna1d.由已知，得×10，整理得d，代入，得a1，S110110a1d110××110110.故此数列的前110项和为110.方法二设Snan2bn.S10100，S10010，解得Snn2n.S110×1102×110110.四、探究与拓展14.若数列an是等差数列，首项a10，a2 017a2 0180，a2 017·a2 0180，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是 .答案4 034解析由条件可知数列单调递减，故知a2 0170，a2 0180，故S4 0342 017(a2 017a2 018)0，S4 0354 035×a2 0180，故使前n项和Sn0成立的最大自然数n是4 034.1