电磁辐射经典理论下几何光学定律之机制

1、电磁辐射经典理论下几何光学定律之机制 and there was lighted一，一些说明和对数学的解释本篇中将使用经典电磁辐射理论对几何光学的一些原理诸如反射原理和入射原理的一些推导和机制进行讨论，并且自始至终使用非相对论性近似和长距近似。对于一个一任意方式运动的点电荷所产生之电磁场，可由费曼表达式给出： （1） （2）在我们的长距近似下，电场在较远距离的唯一有效项即为第一个表达式的第三项（因为除它之外，其他的几项都是成平方反比衰减的）。并且，在非相对论近似下，我们可以认为电荷在不太远的距离内做速度不太大的运动，所以单位矢量的加速度的径向分量便效应很小了。由于距离变化不大，延迟时间也可以认

2、为是一定的。则我们的“基本定律”变为： （3）加速度的延迟时间为距离除以光速 另外，对于一个视屏面与辐射源成夹角的方向，且辐射源是一个以振幅做简谐运动的振子所测量到的场来说，有关系式：以及对于电磁辐射，波数与频率之间有如下关系：其中，是为位相综上，就是我们在此讨论中所用到的大多数学工具与近似手段。二，对于反射定律之机制和导引在对反射定律的导引过程中，会假设反射面是近乎连续的电荷分布面，其电荷之间的间距小于电磁波长。首先我们来讨论干涉的数学。对于n个等间距的振子，其振幅都相同，但彼此间有不同的位相（或许是因为激励时不同相或者与视平面成角），我们将用复数来表示其和（因子将被忽略，一方面是这个效应较

3、小，并且由于我们所讨论的问题的对称性它会被对消掉）：易证（此处将不予推导），对于合振幅，有： （4）或对于强度（正比与场强的平方），有： （5）对于其极大值，在是应有一极大值，由正弦函数的周期性质可知， 为2的任意整数倍时均有极大值，但在我们的情况下（间距小于波长）将只有第一级极大值。接下来开始讨论反射的问题。我们可以假设在无限远处有一光源，它处在一定的倾角处使一束光以角入射，我们来讨论其散射光。对于激励引起的初相，在每个近似的“电荷振子”之间均相同：另外对于出射光与平面有一定的的倾角/2-，总之，相邻两个电荷之间的初相差为：一般而见的反射光当然是其极大值，对于我们的假设（电荷之间的距离小于波

4、长，即近乎连续）来说，是唯一的解。那么，对于两个夹角之间之间则有关系： （6）（当然这个角度是指与反射面的夹角而非一般意义上与法线所成的入射角与出射角）则入射角与反射角之间有两种可能的关系：相等或互补。以互补角散射的光就是我们所讨论的反射光，另一束光则直接“透射“过去（事实上这束光并不是入射光，实际情况下也不会以等角出射，因为我们忽略了一些诸如反射率这样我们将要讨论的效应）。这样我们从电磁辐射的经典理论出发导出了几何光学的一个非常简单的定律：反射定律。它可以这样表述：入射光与法线的夹角等于反射光与法线的夹角当然，在几何光学中，我们不可能得到对于这条简单定律的正确的机制的理解： 入射光使反射体中

5、的原子发生运动，从而反射体就产生一束新的波，散射方向的解是使两束光与法线的夹角相同！三，对于折射定律之导引相对反射定律，折射定律要复杂一些。几何光学中的折射定律可以如下表述： （7）其中的为折射面之间两种介质（也可能为真空）的折射率。这个定律又称斯涅尔定律。对于折射率应这样定义其中c为真空中的光速。从中很容易看出来折射现象不过就是因为在两种介质中的波速不同所引起的。事实上，如果知道了这个事实，折射定律是很好导引的。因为对于折射面的物质，可以认为是做受迫运动的振子。而它们必须与激励源有相同的频率。为了保证这点，在两种介质中的波的波峰在界面上必须位于同一位置。两种介质中的波长分别为：由上述边界条件

6、可知，必须满足：化简后得：即斯涅尔定律。四，折射率的机制及色散方程接下来我们将讨论折射率的机制（因为它是使波速不同的根本原因），并试图找出能确定折射率的方程。首先我们将想象如下装置：有一个较薄的透明物质板，左面一定距离内有一个光源，在板的右侧P点，我们将检测那里的电磁波。我们同样将做几个假设，首先是这个板较疏松，使得我们不用考虑板中的电场对自身的激励作用。另外，我们还将假设由光源所产生的电磁波在通过板时不受影响（事实上不是的，但是之后我们会在修正中考虑这个效应）。另外在真正的推导折射率之前我们还需要知道一些其他的公式，这个公式给出了震荡的电荷平面激发的电磁波（推导并不复杂，但是有一个付诸于物理

7、实用方面的与数学上不同的地方，就是我们在推导中会认为正无穷的余弦值为零。但是不作此改动也可导引出这个公式）： （8）其中N为平面内单位体积的原子数，z为距离。接下来让我们来正式的推导折射率的方程。根据我们的假设，p点所检测到的场可以表示成一个修正场（）与光源所产生的场（）的和。首先让我们基于辐射场在经过薄板时会慢下来的这一假设来导出修正场的形式。首先光源所产生的场为：设板的厚度为，在板中光以速度传播。那么考虑到这一附加时间，我们应该把上述方程中的延迟项做一下变换，则有：可以看出改场是没有物质存在时的场乘上一个修正因子。我们还可以对它做一下变形。根据欧拉公式：，那么当相角很小时，就有i在这里，我

8、们已经假设透明板很薄，所以我们可以直接将上式改写成： （9）第一项正好是没有物质时来自光源的场，那么，第二项应该就是我们所要找的修正场。其中包括因子n。事实上，因为除了n都是基本量或者测量量，所以这个式子可以作为测量折射率的一个方程。我们再来从另一个方面考虑一下这个现象。定性的看，它的过程是光源发出的电磁波激励板上的原子中的电子，使之一同发出电磁波。 那么我们就可以通过计算物质引起的场来得出折射率。如果前述的光源了距离板子足够远，那么由源所产生的场在板的附近可以写成：刚好在板上时，有：板上的电子将受到这个场的激励并作出相应运动。除此之外，从量子力学对原子结构的正确绘景来看，在处理有关电磁波的问

9、题时，电子的运动有如他们被拴在弹簧上一样（具有线性的恢复力），那么我们就可以写出每一个电子的运动方程：以及它的解： （10）现在我们对这个解取微商求出速度，并且带入式子（8），再计入延迟，得： （11）将式子（11）与式子（9）的第二部分比较是有趣的。事实上，如果时这两项取完全相等，那么就有： （12）考虑到我们之前的一些近似，我们可以对这个式子进行一些修改。首先我们的电子“振子”一定要是有阻尼的，否则它就会无法停止，所以我们在式子里可以加上阻尼项。这不过是在第二项的分母中的括号里加上一项（可以由阻尼振子的方程求解出，我们在这里只取它的稳态响应）。另外，由于一块物质中的电子的固有频率不会完全相

10、同，我们需要将这个式子修改为一个求和。综上，有： （13）式子（13）给出了由物质特性和光的频率来确定折射率的对应关系。它给了我们一个关于折射率的机制及其大小的“解释”。事实上这个方程预言不同色光因为频率不同应该有不同的折射率，也就解释了白光在通过三棱镜时的色散现象，所以我们也称这个式子为色散方程。几何光学中如此简单的斯涅尔定律在经典电磁辐射中竟有如此复杂的解释。事实上我们可以继续讨论这个复折射率并且对其虚部作出一些解释，但是有些离题太远了。五，尾声对几何光学中反射定律与折射定律的讨论也就到此为止了，事实上远非完整。事实上，从实用的角度来说，描述高频低能的光学情况的几何光学可以由这两个定律以及一个假设：光线（几何光学中的假想研究实体）在不遇到障碍物时延直