构建函数模型解决实际应用解读

1、构建函数模型，解决实际应用苏州工业园区第六中学 胡雪芹摘要： 随着新课程标准的实施与推进，对学生应用能力的考查显得越来越重要，而数学建模可以有效地解决实际中的应用。本文通过举例对构建函数模型，解决实际应用作了初步探讨。数学教师在新课程实施中要努力渗透数学建模思想，为全面实施素质教育服务。关键词： 函数建模，实际应用著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。”九年制义务教育数学课程标准（实验稿）基本理念的第二条明确指出：“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。”恩格斯说过：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。”由于数学建模就是把实际问题转

2、换成数学问题，因此如果我们在数学教学中用好建模这根有力的杠杆，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力是十分有益的。可以说凡有数学应用的地方就有数学建模，数学建模在今后的数学教育中必将占有重要地位。进入21世纪，不管是世界性的数学课程改革，还是我国的数学课程改革，也无论是哪一学段的数学课程，其中都加强了应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求。随着新课程标准的实施与推进，对学生应用能力的考查是中考的一大热点。中考中应用性试题的题量逐年增加，题型逐年丰富，问题的取材一改原先局限于工程问题、行程问题等老面孔，而富有时代气息，切合实际、贴近学生生活，或关系民情国情等实际问题

3、。特别是最近几年的中考应用题的设计背景材料趋于复杂，数学化比较困难，这就要求学生能读懂题目的条件和要求，将所学知识和方法灵活运用于全新的问题情境中，抽取出问题的数学本质，建立适当的数学模型，尤其需要借助函数的模型，创造性地求解。一、数学建模的含义及操作程序所谓数学建模就是要把现实生活中具体实体内所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，以求得实际问题的合理解决。其思想及操作程序如下：由此，我们可以看到，培养学生运用数学建模解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题。必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把

4、数学模型纳入某知识系统去处理，这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，也就是要不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。二、关于函数建模的具体实例分析各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。而函数更是一个典型的数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为函数来解决。纵观近年来全国各地的中考试题，

5、考查学生解决实际问题能力的试题，需经抽象、转化函数建模的可谓五彩缤纷，争奇斗艳。 1. 建立或化归为一次函数模型  如在市场经济大潮的现实生活中，普遍存在着最优化问题-最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，可运用一次函数知识和方法解决。例1：某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元；已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？（天数为整数），并求出最大利润。思路剖析： 通过阅读

6、、审题找出此问题的主要关系（目标与条件的关系），即是“生产童装和西服的天数”决定了“利润”，所以将生产童装的参数变量设为x天，则生产西服的天数为(30x)天，于是每项利润即可表示了。在把“问题情景”译为“数学语言”时，为便于数据处理，运用表格或图形处理数据，有利于寻找数量关系。 生产天数每月情况生产童装的天数x天生产西服的天数(30x) 天每月套数（套）200x50(30x)每月成本（元）40×200x150×50(30x)每月分利润（元）22×200x80×50(30x)从而建立总利润模型为：22×200x80×50(30x)，化简

7、得400x120000，同时注意到每月成本支出不超过23万元，据此可得40×200x150×50(30x)230000，从中求出x的取值限制为0x10，且x为正整数，显然当x取10时赢利最大，最大利润为124000元。在运用一次函数知识和方法建模解决时，有时要涉及到多种方案，通过比较，从中挑选出最佳的方案。例2：某单位计划在假期组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为1025人，甲乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元。甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠，问该单位应选择哪一家旅行社，才能使支付的旅游费用

8、较少？思路简析：通过阅读、审题可知由“人数”决定“旅游费用”，要确立选择哪一家旅行社，关键寻找出甲乙两家旅行社的旅游费用与参加人数间的函数关系式，于是将问题简单化、符号化，建立模型，合理求解纯数学问题（两者进行比较），解释并回答实际问题。通过构建一次函数模型求解，学生可体会到科学、正确决策的意义和作用，也体会到了正确的决策离不开数学，只有掌握更有用的数学知识和具有解决实际问题的能力，才能适应千变万化的市场。2.建立或化归为二次函数模型现在人们注重对普遍存在的诸如造价成本最低，而产出、利润最大，风险决策、最优化等问题的研究，透过实际问题的背景，抓住本质，挖掘隐含的数量关系，可抽象成二次函数的最值

9、模型。例3：苏州市某商场将进货单价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商场经理到市场上作了一番调查后发现，若将这商品的售价在每个18元的基础上每提高1元，则日销售量就减少5个；若将商品的售价在每个18元的基础上每降低1元，则日销售量就增加10个； （1）如果设商品涨价x元，则每个利润为 元，日销售量为 ，同时设每日利润为y元，则y= ，并探索涨几元时可获每日最大利润？（2）若经理将商品降价，则降几元能获每日最大利润？ （3）假如你是经理，你决定怎么做？思路剖析：教师引导学生审题，把学生置于“厂长”的位置，以调动他们的情趣和积极性。然后采用师生交流的方式，明确要研究的内容，估测

10、的依据和方法，使学生认识到首先要把实际问题转化为数学问题。由“涨价”决定“每个利润”，由“涨价”决定“日销售量”，因此商品涨价显然是自变量，利用二次函数模型来解决问题（1）和（2），问题（3）则是让学生转换角色，“假如你是经理”，把学生置于自主解决问题的地位，带有更大的责任感，激发了解决问题的动机，调动了情感因素。教学中，对于学生建模、演算的结果，教师应及时肯定和表扬，并采用小组合作的形式组织讨论，给他们展示学习成果的机会，以激发探索精神。把培养非智力因素和智力因素有机地结合起来，使数学建模的教学建立动力机制，有利于培养学生的应用意识，教师随即归纳整理建模的概念和基本程序，鼓励学生自己尝试运用

11、函数建模的方法去解决生活和生产中的一些实际问题。 建立直角坐标系模型，以解决投物、射击、喷泉灌溉等物体运动的轨迹有某种规律，或者变量的变化具有二次函数关系的实际问题：例4：某公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处竖一根柱子OA，O恰好在水面中心，OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷水头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，为使水流形状较为漂亮,要设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大的高度2.25m.（如图所示）。(1)如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外? (2)若水流喷出的抛物线开头与(1)相同, 水池的半径为3.5m.

12、要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达到多少米?OAOCAB思路简析：本题涉及公园美化的应用性问题，解答本题的关键是选择恰当位置建立坐标系，会给运算带来方便，显然点O作为原点为最佳选择，这样建立了二次函数作为数学模型，利用图象的性质可得到解答。直角坐标系是数与形转化的桥梁，由实际问题建立抛物线的数学模型，靠的也是这个桥梁，在利用函数图象解决问题时，这是一个共同的规律。通过以上四个实例，可见，函数建模是一种极其重要的思想与方法，它在表达问题的本质方面具有最突出的作用，它将实验的无序状态转化成明确的数学问题，在构建函数模型，解决实际问题的数学活动中，学生的基础知识、基本技能的训练得到了加强，运算

13、能力、逻辑思维能力、空间观念等三大能力得到了提高，应用数学的意识逐步增强，创新精神在数学活动中得到体现和落实。三、函数建模问题的教学应注意的问题  函数建模的关键是了解问题的实际背景，明确建模的目的，分析研究问题的各种信息如数据资料等，弄清问题特征。通过实践和探讨，笔者认为函数建模问题的教学，应注意以下几个方面：1.强化导向、应用、创新等意识编制建模例题时，必须考虑培养学生的创新精神和应用能力，从生活中的数学问题、容易引发学生学习兴趣的问题、富于时代信息与社会热点等问题出发，使学生真正体会到数学的应用价值。数学新课程标准指出：“应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息

14、、数学在现实世界中有着广泛的应用。”而数学建模经历的是从实际情境中抽象出数学问题，求解数学模型，回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际的过程，这一过程，可培养学生的创新精神和应用实践能力。2.突出函数基础知识的灵活应用图象法和解析法是表示函数的最基本方法，数形结合，函数和方程的转化是活用数学的基本思想。但也有相当部分学生，读完题目，在头脑中一下子难以形成“图象-函数-方程”，无法进行正确的“函数建模”，导致难以运用这些基本理论和基础知识分析解决问题。其实，“函数建模”的教学正是突出了函数基础知识的灵活应用。3.深度挖掘教材，适当注重对变式训练    注重

15、一题多模或多题一模。对课本中出现的应用问题，可以改变设问方式、变换题设条件，互换条件结论，结合推广类比成新的数学建模应用问题；对课本中的纯数学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则，编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题。按照这种方式开展教学活动，可使学生受到如何将实际问题数学化、抽象为数学问题的训练，从而增强学生将数学作为工具来用的意识。只要我们深入钻研教材，挖掘教材所蕴涵的应用数学的材料，并从中总结提炼，就能找到数学建模教学的素材。   函数建模的教学能使学生走出课本，走出传统的习题演练；使他们进入生活、生产的实际中，进入一个更加开放的天地；使学生体会到数学的由来、数学的应用，体验到一个充满生命活力的教学，这对于培养学生应用意识和创造精神显然是十分有