第8章常微分方程

1、第8章 常微分方程8.1 基本概念一、问题的引出1. 求曲线方程的问题例1已知曲线上每一点P (x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，且该曲线经过点(3,10)，求曲线的方程。解：设曲线方程为yf (x)初始条件为y|x=310代入初始条件得109C，C12. 确定运动规律问题例2 列车在以20米/秒的速度行驶时制动，制动后的加速度为0.4米/秒2，求列车制动后的运动规律。解：设列车的运动规律为ss (t),则加速度是s的二阶导数，t0时，vs (0)20,s (t)0.4t20t0时，s (0)0,s (t)0.2t220t二、关于微分方程的基本概念含有未知函数的导数的方程称为微分方程

2、。如果导数是一元函数的导数，则称为常微分方程，如果导数是多元函数的导数，则称为偏微分方程。微分方程的阶数：微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数。微分方程的次数：微分方程中所含有的各项中未知函数及其各阶导数的次数之和的最大值。一次微分方程称为线性微分方程。线性微分方程的左边是关于y及其各阶导数的有理整式，右边是关于x的函数。由微分方程求原函数称为解微分方程。求出的原函数称为微分方程的解。含有任意常数的微分方程的解称为通解，不含有任意常数的微分方程的解称为特解。为求特解所给定的条件称为初始条件。8.2 一阶微分方程一阶微分方程的解法形如yf (x)的一阶微分方程总可用两边积分的方法直接求出微分方

3、程的解。一、变量可分离的微分方程形如yf (x)·g (y)或f1 (x)g1 (y)dxf2 (x)g2 (y)dy0的方程称为变量可分离的微分方程。对于变量可分离的微分方程，把y'写成的形式，微分方程一定可化为g (y)dyf (x)dx，两边积分可求得通解为G(y)F(x)C例如：解微分方程y'y2+xy2例1：求微分方程y'2xy的通解注意：在解微分方程时的结果通常不用再写成ln|y|,而直接写作lny，此时的积分常数通常也不写成，而写作lnC。例：求微分方程y'cosxy满足初始条件的特解两边积分得lnyln(secxtanx)lnClnC(

4、secxtanx)yC(secxtanx) (C为任意常数)以初始条件x0，y代入，得C则y(secxtanx)二、齐次型微分方程形如的微分方程称为齐次型微分方程。令，则yux，yuxu，原微分方程变形为uxuf(u)这是一个以u为变量的变量可分离的微分方程，两边积分后即可求出通解：F(u)lnxC，即。例3：求微分方程的通解例4：求微分方程y2+(x2-xy)y=0的满足初始条件y|x=11的特解把x1,y1代入，得e-1C，Ce-1三、一阶线性微分方程形如yp(x) yq(x) 的方程称为一阶线性微分方程，它的等式左边是关于y、y的一次式，右边的q(x)称为自由项。当q(x)=0时，微分方

5、程称为一阶线性齐次微分方程，否则，称为一阶线性非齐次微分方程。1. 一阶线性齐次微分方程yp(x) y0是变量可分离的微分方程，它可化为，解得ln yp (x)dxC，通解为例如 y3xy0可化为2. 一阶线性非齐次微分方程yp(x) yq(x)解法是这样思考的。把yp(x) yq(x)的两边同乘以ep (x)dx得ep (x)dx·y p(x)ep (x)dx·yq(x)ep (x)dx等式的左边恰好是(ep (x)dx·y)，两边积分得ep (x)dx·yq(x)ep (x)dxdx例：求微分方程的通解例：求微分方程ycos2xytanx0的通解解：

6、将原方程变形为小结一阶线性非齐次微分方程的解题步骤可以归结为下列4步1. 将含有y的项化为单独一个y2. 将含有y的项中与y相乘的x的函数式积分，求出它的一个原函数F(x)3. 方程两边同乘以eF(x)，则等号左边为 (eF(x)y)4. 方程两边同时积分8.5 可降阶的二阶微分方程一、y”f (x)型的微分方程解此类型的微分方程，只要把方程两边两次积分即可。例求微分方程 y”xcosx 的通解解：yxcosxdxxsinxsinxdxxsinxcosxC1y(xsinxcosxC1)dxxsinxdxcosxdx1dxxcosx2sinxC1xC2二、y”f (x,y)型的微分方程因为方程中

7、不含有y，可令yp，则y”p，方程降阶为p的一阶微分方程。例求微分方程 y”yx0 的通解解：令yp, 则y”p，方程降阶为ppx三、y”f (y,y)型的微分方程因为方程中不含有x，方程可看作为以y为自变量，未知函数pp (y)的一阶微分方程。例3 求微分方程 yy”1(y)2的通解8.6 二阶线性微分方程形如y”p(x) yq(x) yf (x)的二阶微分方程称为二阶线性微分方程。若f (x)0时，方程y”p(x) yq(x) y称为二阶线性齐次微分方程，否则，称为二阶线性非齐次微分方程。一、线性微分方程解的结构定理8.1如果y1(x)是线性齐次微分方程的解，则对于任意常数，Cy1(x)也

8、是该方程的解。如果y1(x)和y(x)都是线性齐次微分方程的解，则y1(x)y(x)也是该方程的解。如果y2(x)k y1(x)，则称y2(x)与y1(x)线性相关，否则，称y2(x)与y1(x)线性无关。定理8.如果y1(x)和y(x)是线性齐次微分方程的两个线性无关解，则该方程的通解为yC1y1C2y。C1y1C2y称为y1和y的线性组合或线性迭加。定理8.如果y*是二阶线性非齐次微分方程y”p(x) yq(x) yf (x)的一个特解，C1y1C2y是线性齐次微分方程y”p(x) yq(x) y0的通解，则非齐次微分方程的通解为yy*C1y1C2y。例如，y*x3ex是二阶线性非齐次微分方程y”2yy2xex的一个特解，齐次微分方程y”2yy0的通解为C1exC2xex，因此，二阶线性非齐次微分方程y”2yy2xex的通解为：yx3exC1exC2xex。二、二阶线性常系数齐次微分方程形如y”p yq y0的微分方程，当p、q是常数时，称为二阶线性常系数齐次微分方程。怎样来求二阶线性常系数齐次微分方程的两个线性无关解呢？例1 求微分方程y”7y6y0的通解解：特征方程为27