2021-2022学年北京清华附中高一上学期期末数学试题（解析版）

1、2021-2022学年北京清华附中高一上学期期末数学试题一、单选题1若集合，则                           ABCD【答案】C【详解】因为集合，,所以AB=x0<x<2=(0,2),故选C.2已知命题，则是（）A，B，C，D，【答案】C【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得结果.【详解】由全

2、称命题的否定是特称命题知：，是，故选：C.3已知，则的大小关系为（       ）ABCD【答案】C【解析】根据函数的性质，指对数先和0，1比较大小，再比较的大小.【详解】由函数单调性可知，所以.故选：C4下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是ABCD【答案】A【详解】最小正周期，且在区间上为减函数，适合；最小正周期为，不适合；最小正周期为，在区间上不单调，不适合；最小正周期为，在区间上为增函数，不适合.故选A5已知是函数的反函数，则的值为（     

3、0; ）A0B1C10D100【答案】A【分析】根据给定条件求出的解析式，再代入求函数值作答.【详解】因是函数的反函数，则，所以的值为0.故选：A6在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（       ）ABCD【答案】A【解析】根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，所以，则.故选：A.【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，.7已知则“”是“”的（      

4、60;）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求解出成立的充要条件，再与分析比对即可得解.【详解】，则或，由得，由得，显然，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集.8已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（       ）ABCD【答案】D【分析】根据函数图象

5、变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，又因为，所以，整理可得，因为且，解得.故选：D.9已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为ABCD【答案】B【详解】由条件知道： 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到，由图像知道周期是 ，故，故，再根据三角函数的对称中心得到 ，故 如果 ，根据，得到故答案为B点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极

6、限值等等方法10已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围是（       ）ABCD【答案】B【分析】根据给定条件求出函数的值域，由在此值域内解不等式即可作答.【详解】因函数的值域是，于是得函数的值域是，因存在实数，使得，则，因此，解得，所以的取值范围是.故选：B二、填空题11已知，则的值为_.【答案】【分析】根据给定条件结合二倍角的正切公式计算作答.【详解】因，则，所以的值为.故答案为：12已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决

7、.【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数的图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，所以实数的取值范围是：.故答案为：13已知表示，这个数中最大的数.能够说明“，c，”是假命题的一组整数，的值依次为_.【答案】2，1，-1，-2【分析】根据给定条件不妨规定a，b，c，d的大小，确定命题为真的条件即可推理作答.【详解】依题意，不妨令，则有，则原命题等价于，因此当时，不等式不成立，即满足条件的只需排序后的第三个数小于0即可，所以，所求的一组整数，的值

8、依次为：2，1，-1，-2.故答案为：2，1，-1，-214已知函数，给出下列四个命题：函数是周期函数；函数的图象关于点成中心对称；函数的图象关于直线成轴对称；函数在区间上单调递增.其中，所有正确命题的序号是_.【答案】【分析】利用诱导公式化简函数，借助周期函数的定义判断；利用函数图象对称的意义判断；取特值判断作答.【详解】依题意，因，是周期函数，是它的一个周期，正确；因，即，因此的图象关于点成对称中心，正确；因，即，因此的图象关于直线成轴对称，正确；因，显然有，而，因此函数在区间上不单调递增，不正确，所以，所有正确命题的序号是.故答案为：【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，(1)存在常数a，

9、b使得，则函数图象关于点对称.(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.三、双空题15已知，则函数的最大值为_，最小值为_.【答案】          【分析】利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最小值作答.【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，即有当时，而当时，当时，则，所以函数的最大值为，最小值为.故答案为：；四、解答题16求下列关于的不等式的解集：(1)；(2)【答案】(1)或；(2)答案见解析.【分析】（1）将原不等式变形为，再利用分式不等式的解法可得原不

10、等式的解集；（2）分、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集.(1)解：由得，解得或，故不等式的解集为或.(2)解：当时，原不等式即为，该不等式的解集为；当时，原不等式即为.若，则，原不等式的解集为或；若，则，原不等式的解集为或.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为或.17己知集合，其中且(1)当时，求及；(2)若集合且，求的取值范围.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）当时，解出集合、，利用交集和并集的定义可求得集合及；（2）解出集合，分、两种情况讨论，解出集合，由可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.(1)解：当

11、时，由可得，解得，即，因为，故，.(2)解：由得，即，所以，.当时，此时；当时，由可得，解得.综上所述，实数的取值范围是.18已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数在区间在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)函数的最小正周期为，单调递增区间为；(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的单调递增区间；（2）由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值.(1)解：因为.所以，函数的最小正周期为，由，解得，因此，函数的单调递增区间为.(2)解：因

12、为，所以，所以，当时，函数取最小值，即，当时，函数取最大值，即.19已知函数.(1)若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；(2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据给定条件可得恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答.(1)因函数的图象恒在直线上方，即，于是得，解得，所以实数的取值范围是：.(2)依题意，令，令函数，而，即，则有，即，于是得在上单调递增，因此，即，从而有，则，所以实数的取值范围是.20已知，.(1)求的值；(2)求的值：(3)求的值.【答案】(1

13、)；(2)；(3).【分析】（1）同角三角函数平方关系求得，再由及差角余弦公式求值即可.（2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.（3）由（1）及和角正余弦公式求、，由（2）及平方关系求，最后应用差角余弦公式求，结合角的范围求.(1)由题设，又.(2).(3)由，则，由，则，又，则，而，故.21己知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；(3)若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.【答案】(1)不是，理由见解析；(2)；(3)

14、.【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.(1)假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，所以函数不是 “自均值函数”.(2)依题意，存在，对于，存在，有，即，当时，的值域是，因此在的值域包含，当时，而，则，若，则，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，于是得，要在的值域包含，则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，所以的取值范围是.(3)依题意，存在，对于，存在，有